Cela pose, soit une courbe de degre m, ) = o passant
par tous les points d'une correspondance, dont nous designerons les arguments par a, u,(a), ?//;,(«). La fonction f[x,(t), jc3(t), cc3(t)'\ ou f(t) renfermera (n° 55) le facteur
etant pose
La somme a -+- i*, (a) -K-..H- up{ (a) est egale a c -+- Ago •+- nA'o/; on peut, en ajoutant ou retranchant ;i t'une des quanlites */<■(«) un certain
l4" (JI.UVRES DK GEORGES HUM DERT .
n ombre de periodes, ce qui ne change pas sur la courbe S le point d'argument fairc en sorte que cette somme soit exactement egale
a c; on a alors
A (t + ») = fx ( 0, ftU + nit) =/,(*) r"*"?"*' ^~(-
et Ton en conclut aisement que /, (t) s'exprime lineairement a l'aide des fonctions IT,, II2, 11^, definies aii numero precedent.
D'ailleurs la fonction M(/)N(a) — N(/)M(a), qui est une fonction lineaire de II,, II2, IL„ admet les zeros a, ut(a), w7,,(a); puisque Ton a
Z{t) = WT) el Z[«/(01 = Z(0.
II en resulte que Ton a, x etant un facteur constant,
/,(/) = A[M(/)N(a)-N(OM(fl)] et, par consequent,
/(0 = [M(OiN(«)-N(OM(«)][...]
ou, sous forme symbolique,
Remarque. — La quantite a etant quelconque, le quotient sera
aussi quelconque, et Ton pourra ecrire, a et [3 etant deux conslantcs arbitraires .
91 . De la se deduisent, par la methode appliquee aux nos 61 et 65, les resultats suivants.
Dans ce qui suit, il s'agit des correspondances definies par une fonction donnee Z(i).
Soit
mn =. 2kl-+- k2-\- pit (mtn — 2).
Les courbes de degre m, passant par k{ points doubles, k2 points simples donnes de S, et ayant avec S en pi points, formant I correspondances, un
SUR LKS COUKUES J)E GENRE LJV. [ £j
contact d'ordre r — i, forment r*~*« groupes; V equation generate des courbes d un mSme groupe est
Pi A,-,o,o o + '^'r'/^^-i.i.o o+ • • • + Kt-i-S-wi-.Ao.o o, r - o,
pnp,, elanl des conslantes arbitraires ; A/>0 ... des polynomcs de degre m en xK , x2, x%.
Les points de contact avec S de r courbes d'un meme groupe, les kK points doubles el les k2 points simples donnes sur S, sont sur une courbe de degre m, R.
Si
Pi) Pii •••> P/+l—rj+/sti Pl> Pi* ' ' • » '
Fl i Fi i • • • i
sont les valeurs des parametres correspondant aux r courbes consi derees, l'equation de la courbe R sera
o = I **Vi*i A*- *• . (cr,, x2, x3),
/.',, //,, ... etantdes entiers, non negatifs, de somme r, et <A>*;, ... designant la somme des produits
Fi Ft •••Ft Fi •••Ft • • • + • • • '
ou a,, a2, aA< ; (3,, ... sont des entiers, prenant les valeurs o,
92. On pent deduire de ces theoremes quelques consequences. Soient
r — i, k{ = - n(n — 3 ) — I -f- 2, in n — 1 /.", + /. , + pi.
L'equation generale des courbes de degre m, qui passent par /•, points doubles et lc2 points simples donnes sur S, et qui coupent cette courbe en pi autres points, formant / correspondances, sera
Pi Ci -+- Pi C2 + p3 C3 = o.
1 48 OEUVRES DE OEOR.GFS HUMBERT.
pi>p2>Ps etant des constarites arbitrages. Nous doniierons aces courbes le nom de courbes C.
D'apres ce qui precede (n° 90), la fonction C, [%t (t), x2(t), oc3(t)] est de la forme
C, [A, ( 0, • • • ] = C, ( /) = 0 (a, M + f3, N) ( «; M + Pi N ) (a", M + N )
Oil
C1(0 = N'(0[^,Z(0 + |31]...[^-,1Z(0 + P,/-1>]+(0. On en conclut, puisquc Z [«,(/)] = Z('*),
C,K(0] =N/[«/(^][«iZ(/)4-(3l]...[«,/-"Z(O + P(,/-n]J'[«/(0^ et, par suite,
CfDMQ] = C,[»f(Ol (%[>/( 0] P ' C,(<) C3(0
Cela pose, soit un point X du plan, defini par les relations
Les fonctions C,-(/) out, dans un parallelogram mc (<*>, «co'), y;/ zeros variables; comme, de plus, elles satisfont aux relations (p), la courbe decrite par le point (X,, X2, X3) sera line courbe unicursale de degre / (nos 32 et 33).
Soit G (X, , X2, X3) = o son equation .
Par la substitution
Xj= Ci(.r,, x2,
cetle courbe so transforme en courbe de degre Im, qui se decompose evidemment en la courbe S et en une courbe D, de degre Im — n.
Par cette transformation, une droite pK X, -hp-, X, -+-p3 X3 — o devient une courbe C quelconque. On en deduit aisemcnt les resultats suivants :
Les courbes C tan gent es a S en tous les points d'une correspondance touchent en m2 — kt — k2 — p points une courbe D de degre Im — n\ par ces points et les p points de la correspondance de contact, passe un faisceau de courbes C.
SUn LES COUTIBKS DE GEXRE UN. 1 49
La courbe D a un point multiple d'ordre I — i en chacun des k, points simples donnes sur S, el un point multiple d'ordre I — i en chacun des kt points doubles donnes.
Par un point du plan, passent il — 2 courbes C tangentes a S aux points d une correspondance.
11 y a 2 (/ — 2)(/ — 3) courbes C tangentes a S aux points de deux correspon dances.
II y a 3(n — 2) courbes C osculatrices a S aux points d'une correspondance.
