III. — Cercles doublement tangents a une cyclique
106. Soit un cercle, bitangent a la cyclique S en deux points, d'arguments 0 et 0'. On a
,et, par suite :
Les deux points cie contact d'un cercle bitangent a la cyclique sont conjugues dans un des systemes principaux.
II y a ainsi quatre systemes de cercles bitangents, et l'equation generale ties cercles d'un systeme sera tie la forme (n° 61)
o = or A + 2 w B + C,
to etant une constante arbitraire.
II en^resulte aisement que :
Les centres des cercles bitangents d'un meme systeme decrivent une conique.
Les quatre coniques ainsi obtenues se nomment deferenles ; chacune d'elles correspond a un systeme principal et a un pole principal. La puissance d'un pole principal par rapport aux cercles bitangents
du systeme correspondant est evidemment egale au carre du rayon ducercle directeur qui a ce pole pour centre; par suite :
11 y a dans un systeme de cercles bitangents quatre cercles de rayon nul; leurs centres sont a V intersection de la deferente et du cercle directeur correspondant au systeme.
Ces quatre points sont appeles foyers. Une cyclique a ainsi seize foyers. Tous ces resultats sont bien connus, et nous n'y insisterons pas davantage.
107. La conique harmonique el la conique deferente correspondant a un pole principal sont polaires reciproques I une de 1' autre par rapport au cercle directeur qui a ce pole pour centre.
Soient, en effet, A et B deux points de la cyclique conjugues dans le systeme principal correspondant au pole 0 considere; il est geometriquement evident que la deferente est l'enveloppe des perpendiculaires elevees aux segments AB en leurs milieux. Soient M le conjugue harmonique de 0 par rapport au segment AB, p, la distance OA, p2 la distance OB, p la distance OM. On a
- — 1 ou p „ =pipi=*-i
k etant le rayon du cercle directeur du centre 0. Par suite :
Le point M est le pole par rapport a ce cercle directeur de la droite elevee perpendiculairement au segment AB en son milieu.
Corollaire. — Les quatre points de contact d'un cercle directeur avec les tangentes communes a ce cercle et a la conique harmonique correspondante sont des foyers de la cyclique.
108. Par un pole principal passent deux tangentes doubles de la cyclique.
Ces droites sont les tangentes menees du pole principal a la conique harmonique correspondante. Les quatre points de contact de ces deux droites et de la cyclique etant deux a deux conjugues dans un meme
l6o OEUVllES DE GEORGES HUMBERT.
systeme principal sont sur un cercle. On trouve ainsi huit tangentes doubles. II n'existe pas de tangenle double ne passant pas par un pole principal; car, si 0 et 0' sont les arguments des deux points de contact d'une tangente double, on a
2(0 + 6') — ha +
et, par suite, ces deux points sont conjugues dans un systeme principal.
109. Remarque. — Le cercle directeur de centre 04 est un cercle decrit de 04 comme centre, et par rapport auquel le triangle 040203 est autopolaire; par consequent (n° 100), ce cercle a pour equation
(a) px\ -+- qx\ -+- rx\ = o.
La conique harmonique qui correspond au point 04 a pour equation
(i — a-)x\ + iax\ + (i + ai)x\ = o.
La conique deferente correspondant au ineme point est, par rapport au cercle directeur, la polaire reciproque de la conique harmonique; on a ainsi, pour son equation,
(13) P^L^9lfl^llfL = 0.
i — a2 ia i -+■ ci
Or on a vu que la cyclique a quatre foyers a l'intersection d'une deferente et d'un cercle directeur correspondants ; de la forme meme des equations (a) et ((3) resulte le theoreme suivant :
110. Dans le quadrilale re forme par les quatre foyers d^une cyclique equidistants d un pole principal, les points de rencontre des cotes opposes el des diagonales coincident avec les trois autres poles principaux.
