IV. — Systemes gen6raux de conjugaison

111. Soient deux points A et B de la cyclique, d'arguments 9 et s — 6; ces deux points sont, par definition, conjugues dans le systeme s. Tout cercle qui passe par ces deux points coupe la cyclique en

deux nouveaux points, conjugues dans le systeme — s. On en deduit immediatement ce theoreme, de M. Darboux :

Si Von coupe une cyclique par un cercle que'conque, que par deux des quatre points d' intersection on fasse passer un cercle, et, par les deux autres, un autre cercle, les deux nouveaux cercles coupcront la cyclique en quatre points nouveaux, situes sur un cercle.

112. L 'equation generate des cercles qui coupent la cyclique en quatre points, dont deux sont conjugues dans le systeme donne, s, s'obtient comme il suit, Les deux autres points d'intersection d'un de ces cercles et de la cyclique etant conjugues dans le systeme — s, l'equation qui donne les arguments des points d'intersection du cercle et de la cyclique sera de la forme (35)

f(t) =^(0(«l?'l + + (MD =°

ou, a un facteur constant pres,

A et \k etant des constantes arbitrages.

Les fonctions ']> (/), y[ (t), ®"2 (t) sont de la forme indiquee au n° 55; les quatre zeros de <J> (t) sont les quatre arguments qui correspondent aux deux points doubles de S.

L'equation generate cherchee sera done de la forme

o — 1[J.A + AB + /JlC-t-I),

et, comme elle represente un cercle, quels que soient >. et a, les courbes A = o, B = o, C — o, D = o sont des cercles. On a d'ailleurs

et, par suite,

A(i)D(0-B(OC(0 = ».

On en conclut que le premier membre S de l'equation de la cyclique

l62 GEUVWES HE GEORGES IlUMIiEHT.

divise le polynome du quatrieme degre AD — BC; on d'autres termes, on a