Par consequent
V enveloppe des droites joigna.nl deux points conjugues dans un systeme donne est une conique.
L'equation de cette conique, le systeme donne etant le systeme s, est
Or on peut ecrirc identiqueincnl
A2(B'2 — 4A'C') = [(«D + tfA — c\i - 6C)]v+ 4 (6c— ad) (AD - HC)
ou
A2(B'2- 4A'C) = (fll) + f/A-c!!-M',)! + 4(6c — arf)S.
Celte identite montre que la conique cnveloppe louche la c\ clique en quatre points, situes sur le cercle
a I) + dk — cH — bC = o.
Ainsi :
115. Les droitcs jo gnant deux points d une cyc/ir/ue, conjugues dans un systeme donne, enveloppent une conique, qui louche la cyclique en quatre points.
Nous dirons qu'une pareille conique est inscrite dans la cyclique, et nous appellerons cercle de contact le cercle qui passe par ses quatre points de contact avec la cyclique.
Remarque. — Ces resultats sont un cas particulier de ceux qu'on a etablis au n° 80.
A chaque valeur de s correspond ainsi une conique inscrite et un cercle de contact; nous aliens deniontrer que :
1 16. Tous les cercles de contact ont meme centre.
Supposons pour un instant que les points doubles de S soient deux points quelconques E, et E2 du plan.
On peut considerer le systeme forme par une conique inscrite a S et par la droite A des points doubles, comme une courbe adjointe du troisiemc degre, tangente a S en quatre points, situes sur une courbe
adjointe du second degre, que nous nommerons conique de contact. Par suite, si T = o, T = o sont les equations des tangentes a S au point double E, ; si
A = T -+- agT' = o, T + fl,T'=o
sont respectivement les equations de la droite des points doubles et de la tangente en E, a la conique de contact, on aura (n° 41)
puisque ici = a%, d'ou
La solution a, — a?, est a rejeter, car elle cxprime que la conique dc contact touclie A au point E,, et, par suite, puisqu'elle passe par E2, se decompose en deux droites, dont Tune est A, et dont l'autre est une droite D du plan; la conique inscrite correspondante serait alors la droite D comptee deux fois.
Pour obtenir une conique inscrite proprement dite, on doit done prendre le signe — ; on a ainsi a, — — ag.
De la cette consequence :
Les co nig ties de contact onl en an qaclconqae des points doubles de S une tangente commune; cette tangente est conjuguee harmonique de la droite des points doubles par rapport aux deux tangentes de S, au point double considere.
Dans le cas ou S est une cyclique, on voit ainsi que tous les cercles de contact ont meme centre.
On appelle foyers singuliers d'une cyclique les quatre points d'intersection des tangentes a cette courbe en un de scs points doubles avec les tangentes en l'autre point double; ces quatre points sont evidemment situes deux a deux sur deux droites rectangulaires, se coupant en leur milieu.
II resulte de ce qui precede que :
117. Le centre commun des cercles de contact coincide avec le point de rencontre des deux droites rectangulaires qui joignent deux a deux les foyers singuliers de la cyclique.
