V. — Proprietes du centre

118. Le centre commun des cercles de contact jouit de proprietes importantes; nous l'appellerons dorenavant centre de la cyclique. Les propositions suivantes justifieront cette denomination.

Soient deux droites quelconques, joignant respectivement deux points conjugues dans Ie systeme s,

Les equations aux arguments des points d'interseclion de ces droiles avec la cyclique sont respectivement

( op', -t- X <p^ ) ( <p2 -+- p tpa ) = Oj (©', + X'<p'j ) (cp'2 -f- /jl'cp'j ) = o.

u. et [// etant lies a X et X' par les relations

o = r/A^jt. + 6X + cjx + c?, o = aX'|j.'+ 6X'h- Cfi'-H c/.

Les huit points ou les deux droites considerees coupent la cyclique forment quatre couples; deux de ces couples sont conjugues dans le systeme s, les deux autres le sont dans le systeme — s. II en resulte que ces huit points sont quatre a quatre sur deux cercles, et les equations aux arguments des points d'intersection avec S de ces cercles sont respectivement

o = ( o\ + X'<pi) (<pj -4- p. ©I).

Par suite, on a, pour les equations de ces cercles,

o = l f/A + X B + fA'C + I), o = X'[jl A + X'IJ + fjt C + D

ou, en tenant compte des relations qui lient X et a, X' et \l' ,

o = XX'(aB — bA)-hl (cB — dX) 4- X'(aD — 6C) + cD — dC, o = XX'(aB — bA) 4-X'(cB -d\)+ X(aU— £C) + cD — dC,

OEUVMiS DE UEOHGES HUM11EUT.

ce qu'on peut ecrire (n° 11.'})

o = (a J) + d A - cB — bC) + >./' A' + tfci B' + C,

o= -^^(aD + ^A — cB — 6C) + >./.' A'-f- '—^-W + C.

Si Ton remarque (|iio le cercle de contact de la conique B'2 — 4 AC a pour equation (n° 114)

aD + dk — c H — bC — o,

et que l'equation de la droite qui joint les deux points de contact des droites considerees avec cette conique est

>.VA'+ — — B' + C'=o,

on arrive, par des considerations simples de Geometrie analytique, aux resultats suivants :