Soient
A et B deux points d'une cyclique, conjugues dans un systeme donnej; a et b les points nouveaux ou la droite AB coupe la cyclique; A' et B', a' et b' deux couples de points analogues, situes sur une seconde droite ;
II et H' les points oil les droites AB et A'B' touchent la conique C, enveloppe des droites joignant deux points conjugues dans le systeme s; M le milieu de AB; m le milieu de ab.
I. Les points A, B, a , 1/ sont sur un cercle 2; Les points A', B', a, b sojU sur un cercle £'.
II. Les cercles 2 et 2' se coupent en deux points, situes sur le cercle de contact de la conique C, et sur la droite WW.
III. Le centre du cercle de contact est le milieu de la ligne des centres des cercles 2 et 2'.
IV. Le point W est le centre de V involution delcrminee sur la droite AB
par les segments AB, ab ; on a ainsi
HA..HB = WaWb,
el la valeur commune de ces deux produits est egale a la puissance du point H par rapport au cercle de contact.
120. De la troisieme de ces propositions, on deduit une consequence interessante.
Le centre du cercle Sest sur la perpendiculaire, elevee a la droite AB en son milieu M; de meme le centre du cercle Zr est sur la perpendiculaire elevee au milieu m de ab. D'apres le theoreme III ci-dessus, le centre du cercle de contact est an milieu de la ligne ties centres des cercles £ et 2'; il en resulte que la perpendiculaire abaissee du centre du cercle de contact sur AB tombe au milieu des points M et m.
En d'autres termes :
121. Le pied de la perpendiculaire abaissee du centre de la cy clique sur une droite quelconque est le centre des moyennes distances des qualre points oil cetle droite coupe la cyclique.
122. Corollaire I. — Les pcrpendiculaires elevees aux liuit tangenUs doubles d'une cyclique, au point milieu des deux points de contact, concourent au centre de la cyclique.
123. Corollaire II. — Si Ton connait le centre d'une cyclique, et trois points de cette courbe, situes sur une droite D, le quatrieme point ou cette droite coupe la cyclique est determine.
124. Corollaire III. — Le centre de la cyclique est le centre des quatre coniques-deferent.es,
Soient, eneffet, A etB deux points conjugues dans un systeme principal; a et b les deux points coujugues dans le meme systeme, oil la droite AB coupe la cyclique; M le milieu du segment AB; m celui du segment ab.
D'apres ce qui a etc dit au n°107, les deux droites elevees perpendiculairement a AB aux points M et m touchent la conique deferente correspondant au systeme principal considere; par suite le centre de cette
conique est sur la droite P, elevee perpendiculairement a AB au milieu du segment Mm, et les droites telles que P passent ainsi par un point fixe, qui est le centre de la deferente. Or nous savons, d'apres le theoreme precedent, que la droite P passe par le centre de la cyclique; il en resulte, puisque la droite P a une direction variable avec la direction de la droite AB, que lc centre dc la deferente consideree coincide avec le centre de la cyclique.
