VII. — Cycliques homofocales

127. L'etude des cycliques homofocales est liee intimement a celle des points conjugues. Le theoreme suivant est dans ce sens fondamental :

Le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points d une cyclique S conjugues dans un sysleme donne s, est une cyclique S', homofocale a S.

i° Le lieu est une cyclique. En effet, les cercles passant par deux points conjugues dans le systeme s ont pour equation generale (n° 112)

A/jtA -+- AB -+- fJtC -I- I) =o,

~k et pi etant des constantes arbitraires, A, B, C, D les premiers membres des equations de quatre cercles. Soit, en coordonnees cartesiennes,

A = a(x2-+- j2) + i{a^x + (3,/) -+- y,, B = 6(.rs + y-) 4- 2(a,.r 4- (32y) 4- y2, C= c(x*-hy2) 4- 2{azx -+- pijO 4- y3, D = d(x2-\- y"1) 4- i{a,x + fcy) 4- y4.

Le cercle XptA + XB-+-[jlC + D = o sera de rayon nul si les equations

Iplax -+- (3, ] + ").[bx 4- a, | 4- f/.(c.r 4- a3) 4- fl^c 4- oc4 =o,

*f*[«T+M +m>y + Ps] 4-/A(cy;4-{33) + %■ -f-f 4 =o, >;p.[a,x-t- (3, j)- + y,]+-)v[aoj: + |32 j+y2]4-^(a3J" + j33j4-y3)+ a4.r 4-|34 r4-y4 = o

sont compalibles, et le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points conjugues s'obtiendra en eliminant X et fx entre ces trois equations.

OEUVRES Dl (1EOKGES HUMBERT.

On trouve, en les resolvant par rapport a X et a,

P, Q, T, R etant les premiers membres des equations de quatre cercles. Le lieu cherche a pour equation