IK
qui est du genre i . jouit de la même propriété. En ellel, je dis ([ue l'on a
lim e"''F(.r) = o,
si l'on fait tendre x vers l'infini avec un arguinenl dt)nné et si x est un nombre tel que x.f soit réel et négatif. Pour cela, il suffit de faire voir que
lim — : : — = o,
bUl l x.v
puisque, dans ces circonstances, on a
lime*'' sin («a; = — .•
Or on n
F(x) I II / H-I/-/(
d'où, si .r est assez grand et que ^ soit son module et a celui de a,
,„„dJl<:^<.i( '^^"^ | = ri(n„);
on peut toujours prendre /i assez grand jiour (pjc
et, par conséquent, pour que le facteur II„ correspondant soit plus petit que I. Nous poserons alors
fi("")=ri<"")'< ri(H„).
Nous pourrons prendre /. nssez grand pour que
II,, < I quand n > k.
On auiii alors
mod^li;^ <r|(ii„).
snita,c iJ.
Mais, quand c, tend vers l'inlini, II„ tend vers
r. = -^i— ■ d'où
lim iniid
\\(Gn).
Or on peut prendre n assez grand pour que le second membre de cette inégalilé soit aussi petit qu'on le veut, (^n a donc
Il m iiKid —. — : = o;
!-Ml ( /..V
d'où
limF(a:)e*' = o.
Do là on déduit ([ue la fonction F(.r) jouit do toutes los propriétés que nous avons démoatrées plus haut pour los fonctions entières de genre zéro.
Considérons maintenant une fonction du sfenr'e i :
F(x) = lle="ïi — t^x).
Je dis que, si y. est choisi de telle façon f/ue
liine"''= o,
on aura
lime*''F(.r) = o,
En edet, posons encore
a = a 1 + ao + . . . + a., -t- • -1 nous aurons
Quelle est la condilion pour que le module du fadeur
OU pour que
(i) partie réelle (x.,x--^ t.,x) ^ partie réelle L(i — ^.jX) -Col
Supposons qu'on ait choisi a., de telle façon que, à partir d'une certaine valeur de v que j'appelle A', i° c..,t'- soit réel et négatif ; 2" niod :<,= /« mod e^ ; h étant une quantité indépendante de y et que nous allons déterminer. Je dis d'abord qu'on peut choisir h de façon à satisfaire à (i ).
En effet, si l'on pose
t.,X = ç -I- Ït).
l'inégalité (1) s'écrira
Je dis qu'on peut prendre h assez grand pour satisfaire à celle inégalité, quels que soient c et r,.
En effet, la fonction
? + iL[(i-|p+ri^]
reste inférieure à une certaine limite, car elle ne pourrait devenir infinie que si ï ou T) tendaient vers l'infini, mais alors la fonction tend vers zéro; ou si ^ etr) tendaient vers zéro, mais alors, en posant
Ç ^ p co^c). T| = p sinw,
on trouve
. cos:>(t) pcos3(t> p-eos.î(o
qui reste finie. Nous avons donc pour h une limite inférieure finie, c. q. f. d.
Posons alors
argx.,x- = -, niodz.; = A modî.; (v > /:),
V=: as
Ol.,X- = ^jX-.
Nous aurons
F2(ar) = TT e«-^'+=.--(, £^x).
On pout prendre k assez grand pour que la valeur absolue de (3.?- soit aussi petile que l'on veut et, par conséquent, pour que la partie réelle de (a — P)^' soit négative; on aura alors
limFi = o, mndF2<l,
d'où
lime*''F(a;) = o. c. y. F. d.
En général, si F(.r) est une fonction de genre n. on aura
limF(x)e='->''*'= o
toutes les fois que
lime"'" '= o.
Il suit de là que l'intégrale
représente une fonction <t( - |) <!• étant une fonction entière. Posons
Nous aurons, en changeant ; en zx,
Jr"" C.
é'-~r + 'zPdz= — ^.
En diiïérentiant celte relation, on trouve
ou
/ c"")''+'-"+i(« -+- ija;"5/'rf= =
ou. faisant ,r = i ,
Si donc on pose
p = a(n -i-i) -i- r, r < /( + i , il vient
r —( \nr f^+ '^ Yr + \') + in -+- \\\\(r-^\) + -i{n -i- i')]. . . [fr -i- i) h- (« — i) (» -i- i i]
ou, posanl
r,/,= (— 0" CrS(s -4- l)(i + ■-',). . .(s -)- O — I).
Or, quand a tend vers l'infini
,. S( s -hl )( s -h ■'- ). . .( s -h II I)
i.->.. .t II — i)
Si l'on pose
il vient
d'où
car
F(g)= SA,,,;'", *
mod n^, = modC,.mod A;,s(i -\- i)(s -h -i). . .(s -\- a — i), lim A/, I .J. . .(« — i) = o pour « = oc,
Mais, comme on a aussi
on aura
lim H/, = o.
limy) B^, = o,
\\mar>p = o, lim A/, « ! = o.
Or nous avons
/>!<(/( -1-1/'+' [:'."+•(" + !)"+'][ 3"-*-' ("-t-')"^'J- .•[«""^'(« + i)"^'Jy'''i
ou
ou
A/.r vV<lA„ |«!(n -h !)" + '//'-*-'< |A/,| (a -!)!(« -f-ir + '/'"
sf .s -T- I ). . .(i -H a — I)
dont la limite est zéro.
Donc
lim A^, y'/) : = o.
Ainsi, diins une fonction entière de f^enre n, le coefficient de tP multiplié par la racine « + i''""' du produit des p premiers nombres tend vers zéro quand p croît indéfiniment.
SUR LES FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES
Comptes rendus de l^ Académie des Sciences, t. 96, p. ii34-ii36 (i6 avril i8S3).
Dans une Noie récente, M. Goursnl, généralisant un i-osullat de M. Picard, a montré qu'une fonction uniforme admettant n coupures séparées peut être regardée comme la somme de n fonctions, admettant chacune une seule coupure. Le théorème que j'ai l'honneur de communiquer aujourd'hui à l'Académie est analogue à celui de M. Goursat. Ce qui lui donne peut-être quelque intérêt, c'est qu'il jette une certaine lumière sur le mode d'existence des fonctions à espaces lacunaires.
Considérons le plan des x comme divisé en deux parties par l'axe des quantités réelles. Soity(x) une fonction n'existant que dans la partie supérieure et étant partout holomorphe dans celte partie; soit f[{x) une fonction n'existant que dans la partie inférieure et étant partout holomorphe dans celte partie. La moitié inférieure du plan est pour f{x), la moitié supérieure pour/, (.r), un espace lacunaire. Je dis que je pournii trouver deux fonctions (p(a;) et '\i{x) jouissant des propriétés suivantes : elles existeront dans tout le plan; la somme 9 + 4' ^'^'"^ égale à / dans la moitié supérieure du plan et à/, dans la moitié inférieure. La fonction cp admettra pour coupure le segment ( — I, +i) et la fonction (|; admettra les deux coupures ( — oo-, — i) et(+i, + a>).
En effet, désignons par la notation V{x) une fonction qui sera égale à /' dans la partie supérieure du plan et à /", dans la partie inférieure. Décrivons sur le segment ( — i, + i) comme diamètre une circonférence C qui aura pour centre l'origine et pour rayon l'unité. On démontre aisément qu'on peut toujours trouver deux fonctions entières G(^x) et G'(a?) telles que
26 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.
tende vers zéro quand x lend vers — i ou vers + i en suivant la circonférence C.
Cela posé, si l'on pose a? = pe'™ et qu'on fasse p = i, ¥{x)fi{x) sera une fonction de w développable par la formule de Fourier, de sorte que
F(j:) 6(:f) = 2c,„ cosmo) -+- l,d„, sinm lo, ou bien, en supposant toujours p ;= i ,
posons
<p(j;)0(a-)= Za,„.i-"', 6(:r)9(.f) = lb,„x"'.
Ces développements ne définissent la fonction cp qu'à l'extérieur et la fonction ']/ qu'à l'intérieur du cercle C. Mais il est aisé de définir ces fonctions pour toute l'étendue du plan, à l'exception de leurs coupures respectives. Soit, par exemple, à définir la fonction <p(j;) pour un point x situé dans la moitié supérieure du plan. Soit AMB un arc du cercle C situé tout entier dans la moitié supérieure. Soit BNA ce qui reste de C quand on en a enlevé cet arc AMB. Soit APB un arc de courbe ne coupant pas l'axe des quantités réelles et laissant le point x en dehors; on définira (f{x) de la façon suivante : on posera
'FCsiOl ;-),/;
rFi
l'intégrale étant prise le long du contour AI'BNA. On posera ensuite
et les fonctions 9 et ■]/ ainsi définies satisferont aux conditions énoncées.
Il est clair d'ailleurs que ce qui précède s'applique au cas où la fonction/(a-), au lieu d'être limitée par l'axe des quantités réelles, admettrait un espace lacunaire quelconque.
Voici le point sur lequel je désirerais attirer l'attention. On pourrail croire qu'il existe une fonction f\{x) qui serait le prolongement naturel de f{x) dans la moitié inférieure du plan, de telle sorte que, si deux fonctions 9 et (]; existant dans tout le plan ont pour somme / dans la moitié supérieure, elles devront avoir pour somme /i dans la moitié inférieure. Il n'en est rien; je puis choisir tout à fait arbitrairement les deux fonctions/ et/, ; de sorte que/ n'a
FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 27
pas à proprenieut parlur de prolongement naturel au delà de l'axe des quantités réelles. C'est le résultat auquel conduisait déjà l'étude des développements infinis.
(^n pourrait se demander ce qui arriverait si l'axe des quantités réelles était pour f et pour J\ une limite artificielle et non une limite naturelle, si, par exemple, on prenait/= i ety\= o. Les coupures des fonctions cp et i|; seraient alors aussi des coupures artificielles et, si l'on voulait les prolonger au delà de ces coupures par la série de Taylor, elles cesseraient d'être uniformes.
SUR LES FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES
Acta Societalis scienliaruni Fennicir, t. 12, p. 3|3-35o (iSSS).
M. Weier.strass dans un Mémoire inlilulé Zur Fnnklionenlelire el inséré dans les Derliner Monatsberichle a appelé l'allention des géomètres sur cerlaines fonctions présentant des singularités spéciales. Au lieu de présenter un nombre fini ou infini de points singuliers essentiels isolés elles offrent des lignes singulières essentielles ou même des espaces lacunaires à l'intérieur desquels elles cessent d'exister. Dans une letU'e à M. Mittag-Leffler, insérée dans les Acta Societalis Scienliaruni Fennicic M. Hcrmite a retrouvé les mêmes résultats par une voie toute difTérente. .D'après les conseils de M. Hermile j'ai entrepris de rechercher de nouveaux exemples de la particularité signalée par les deux savants géomètres.
Il y a une infinité de manières de définir une fonction, et si l'on ne s'imposait a priori aucune condition, rien ne serait plus facile que de concevoir une transcendante présentant un espace lacunaire quelconque; on pourrait imaginer par exemple une fonction définie de la manière suivante; elle devrait être égale à i à l'extérieur d'un certain cercle, et cesser d'exister à l'intérieur de ce cercle. Ce cercle serait alors un espace lacunaire. Si donc on donnait au mot, fonctions à espaces lacunaires le sens étendu qu'il semble comporter d'abord, on pourrait en imaginer arbitrairement une infinité. Il est donc nécessaire de préciser ce qu'on doit entendre par cette çx^rGss\on] fondions à espaces lacunaires. C'est ce qui est facile, grâce à une conception nouvelle des fonctions analytiques qui a son origine dans les travaux de Cauchy et que M. Weierslrass a si clairement exposée dans son Mémoire Zur Functionenlehre {Manatsberichte., août 1880, p. 12).
FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 29
Considérons une série développi'e suivant les puissances croissanles de X — Xa- Elle sera convergenle à l'inlàricur d'un certain cercle Co ajanl pour centre aro et pour rayon R. Si l'on ne s'occupait que du développement luimême, on pourrait considérer la fonction définie par la série comme cessant d'exister à l'extérieur du cercle de convergence, et toute la région du plan extérieure à ce cercle comme formant un espace lacunaire. Ainsi comprise, la fonction à espaces lacunaires ne serait pas une notion analytique nouvelle. Mais il est un moyen bien connu d'étendre au delà du cercle de convergence le domaine où la fonction envisagée existe. .Si l'on considère un point ^r, intérieur au cercle de convergence, on pourra par la formule de Taylor développer la fonction en série ordonnée suivant les puissances de x — x^ et convergenle à l'intérieur d'un certain cercle Ci. A l'intérieur de Ci, on prendra un point Xj et l'on développera la fonction en série ordonnée suivant les puissances de 2: — x^ et convergenle à l'intérieur d'un certain cercle Co. La fonction se trouvera alors définie non seulement à l'intérieur du premier cercle de convergence, mais à l'intérieur de Ci, de Co, etc.
Pour la plupart des fonctions qui ont été jusqu'ici l'objet des travaux des géomètres, les cercles tels que C,, Co, etc.. recouvrent tout le plan, soit une fois, soit plusieurs fois, soit une infinité de fois, en laissant seulement de côté certains points isolés, appelés points singuliers. La fonction existe partout, sauf en des points isolés. Il n\y a pas d^ espace lacunaire.
Mais il n'en est pas toujours ainsi; il peut arriver que les cercles Ci, Co, etc., laissent de côté non des points isolés, mais toute une ligne, ou même toute une région du plan. M. Weierstrass a le premier mis cette vérité en lumière, et après lui M. Hermite a défini à l'aide d'intégrales multiples définies des transcendantes qui n'ont d'existence que dans un domaine limité.
On pourrait citer un grand nombre d'autres exemples de ce fait analytique. Ainsi l'on sait que les fonctions définies par les séries
et
x ip (i) + a^- ?( 2 ) + . . . -I- a;" ç ( /i ) -t- . . .
[où cp(n) représente la somme dos puissances premières des diviseurs de n)] n'existent qu'à l'inlérieur du cercle qui a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. I! en est de même de certaines fonctions (|ue j'ai définies dans une Note
3o FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES
insérée aux Comptes rendus de C Académie des Sciences de Paris (séances des 1 4 et 2 1 février 1 88 1 ) el que j'ai appelées fonctions fuchsiennes ( ' ).
Les exemples que je veux étudier spécialement dans la présente Note présenteront les particularités suivantes. Le plan sera divisé en deux régions, l'une extérieure, l'autre intérieure à un certain contour C convexe. A l'extérieur du contour la fonction envisagée sera liolomorphe et uniforme (et par conséquent finie, continue, monodrome et monogène). A rintérieur du contour elle cessera d'exister. La région intérieure à C sera un espace lacunaire.
Si ^u est un point quelconque extérieur à C la fonction sera dévcloppable suivant les puissances de x — x„; le cercle de convergence sera tangent extérieurement à G. Réciproquement si [x„ étant un point quelconque extérieur à C) une fonction est développable suivant les puissances de x — a,,, de telle sorte que le cercle de convergence soit tangent extérieurement à C, il est clair que cette fonction offrira un espace lacunaire qui sera la région intérieure au contour C.
Voici maintenant comment je définirai une transcendante jouissant de ces propriétés. Envisageons la série suivante :
Je suppose :
i" que la série
