partie réelle I^(i )<L|i-i- inod — ) < niod — i

de sorte que l'inégalité ( i ) sera satisfaite si l'on a (2) inodav>mod —

On peut choisir les a., de telle sorte que, pour toutes les valeurs de v

supérieures à une cerlaine limite /.', cette inégalité soil satisfaite. On a alors

liin F 1 (".(■) = o, nind F«(.r ) < r;

d'où

liiii e»'^F(^) = o. c. 0. F. n.

Il résulte (le là que l'intégrale définie

a une valeur finie toutes les fois que le chemin d'intégration est tel

que lime''^= o. Celte intégrale définit donc une fonction <!>( ] -, <I> étant une

fonction entière.

Soit

il viendra

V(z) = SA,

d'où

On déduit de là

lim mod (m ! A,„) = o pou

r m = ce.

ixF(x) = / *(— z)e

-.dz

celte intégrale étant prise le long d'un contour entourant l'origine.

Si l'on se reporte maintenant au savant Mémoire de M. Halphen intitulé Sur une série dWbel ('), on reconnaîtra que F(,r), c'est-à-dire une fonction quelconque du genre zéro, peut être représentée par la série d'Abel dont il est question dans ce Mémoire, et cela quelle que soit la constante (3.

(') Bullelin de la Soriété mathèmalique de France, t. X, p. G7.

Mallicureiisemonl ce n'est pas là une propriété caraclérislique des funclinns de genre zéro. En effet, la fonction