ao (2) 2, """' ^n

2° que tous les points 6„ soient intérieurs à C ou sur le contour C lui-même; 3" que si l'on prend sur le contour (] un arc quelconque et aussi petit cpic l'on voudra, il y ait toujours une infinité de points i»,, sur cet arc.

Je pose

7/ =Z QO II ^ K

lip = / niod A„, S = 2. ""^'' '^'i-

(') Voir 'l'onie II. p. 1-7.

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 3l

La série (2) étant convergeute, ou pourra prendre p assez grand pour que R/, soit aussi petit que l'on veut.

Je dis d'abord que si x„ est extérieur à C. la fonction '^{x) définie par la série (i) peut se développer en série suivant les puissances de a? — x^, et que cette série est convergente à l'intérieur du cercle qui a pour centre x\ et qui est tangent extérieurement à C. Si en effet R est le rayon de ce cercle, on aura pour tous les points bn '■

mod (b„ — Xo) > R.

Posons

mod { X — i-(i ) = 6 . R .

Supposons que x soit intérieur au cercle qui a pour centre ./„ et pour rayon R, on aura

On aura évidemment

H := Il \ (/ =: U

Il est clair :

1° que la série à termes positifs et à double entrée

mod .\„e'7+<

od ( j;- — Xo ) est convergente;

2" que

.r. (œ — xo'yr "I modA„e'?+' mod A„ — ; < •

L 1,"// — Xu)'!'^'^ \ mod(a; — a;o) •

Il en résulte que les séries à double entrée

(4) "~y"'modrA. \^-^'^'^'' 1

sont convergentes et que leur somme est indépendante de l'ordre des termes.

32 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

La somme de la série (5) sera doac — 9 (a") quel que soil l'ordre des tenues. On aura donc

en posant

J'ai donc démontré à la fois :

i" que si x est extérieur à C la série (p.) est convergente et la fonction cp(,r) qu'elle définit est holomorphe et uniforme;

2° que si X est intérieur au cercle qui a pour centre Xo et pour rayon R et qui est langent extérieurement à G, la série (6) est convergente.

,Te ilis maintenant que la série (6) est divergente si x est sur ce cercle ou extérieur à ce cercle et pour le démontrer, je suppose d'aljord que .r,, soit sur la normale élevée à C en un des points b„, au point ù/, par exemple.

Je me propose de faire voir que le terme

ne tend pas vers zéro quand q tend vers l'infini ; je vais montrer en ellet (jue l'on peut prendre q assez grand pour que

raud K'/[B,,- Ai(6< — .r„)-'7+')] < £,

quelque petit que soil £.

Soityo un nombre entier assez grand pour que

Supposons en même temps

Décrivons du point x„ comme centre un cercle de rayon R' plus grand que R, mais assez petit pour que tous les points

bo, ht, bi, ,.., bt,—i, b/.^t, bk+\, bk+i, ..., bp

soient extérieurs à ce cercle. On aura

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

Soit maintenant (/ un nombre entier assez grand pour que

On aura On aura

{b„ — Xo)f'*

(6„ — xo;?-*-

{b„ — xo)<r-'

mod K'/ [ B,— Ai(6< — Xû)-l»+'i]

< moJ 7 — ; — - — - -T- /

A„Rv

(6„— .cuj'/^

mud A,i

- mod 2

T mod A„

rv V F/

+ Tf <^-

On a donc

I i m IV/ [ B,, — A i ( 6i — ^0 r''~' ] = "■

mod Ai

mod H'/ [A^X^iA—aro )-■?-'] =

Il est donc impossible que Rv A/, (6/. — Xo)"'''^ el par conséquent que R^ B,/ tende vers zéro.

Supposons maintenant que x„ ne soit pas sur la normale élevée à C en l'un des points b,,] je dis que la série (6) est encore divergente quand

mod {x — Xo) > R.

En effet supposons que cela ne soit pas vrai et que le cercle de convergence ail un rayon R' plus grand que R. Ce cercle de convergence découperait sur le contour G un certain arc sur lequel, par hypothèse, il devrait y avoir une iulinilé de points 6„. Soit bi. l'un de ces points. Elevons en ce point une normale à C et prenons sur celle normale un point x, assez voisin de 6/, pour que le cercle K qui passe par 6/, el qui a X\ pour centre soit tout entier intérieur au cercle qui a pour rayon R' et pour centre Xu ; cela est évidemment toujours possible. La fonction o{x) pourrait alors se développer en série suivant les puissances de x — Xt et celle série devrait être convergente, non seulement à l'intérieur du cercle K, mais sur la circonférence de ce cercle, ce qui est contraire à ce que je viens de démontrer.

34 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

11 est donc démonlrô que le cercle de convergence de la série (6) est toujours tangent extérieurement à G.

Donc la fonction cp (x) est holomorphe et uniforme à l'extérieur de G et présente un espace lacunaire à l'intérieur de ce contour.

Je vais maintenant citer quelques exemples de séries satisfaisant aux conditions imposées à la série (i).

Soit d'abord

II'!" u't- . . . u';;~

Je suppose :

i" que Wi, Mo, ..., «/, sont des quantités données de module plus petit que i ; 2" que y.\, a,, ...,«/, sont des constantes quelconques;

3" que m,, m-,, ■ . ■ , m,, prennent sous le signe i tous les systèmes de valeurs entières positives.

J'envisage le polygone P défini par les conditions suivantes :

I " 11 est convexe.

2" Tous ses sommets font partie du système des points cx^, (x->, . . . , ajj. 3° Tous les points «i, «o, ..., a/, qui ne sont pas des sommets du polygone P sont sur le périmètre de ce polygone ou à son intérieur.

II est clair que :

i" La série

S niod( m',"' «'!''...«;'>)

est convergente.

2" Tous les points

m, -xi -+- «i-2 Xo -+-.

sont sur le périmètre de P ou bien à l'intérieur de ce polygone.

3° Sur tout segment, si petit qu'il soit, de l'un des côtés de P, il y a une infinité de points :

»ii 2 1 -I- m» ao + . . . H- ni/i Xp Dii -H m, ^-. . .-H- /";,

Soit en efTet aia.j le côté du polygone considéré, il est clair qu'on pourra

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 35

choisir les entiers positifs //*, cl m^ (et cela d'une infinité de inaQiéres) de telle sorte que le point

m 1 -T- nii

soit situé sur un segment donné du côté «la.^.

Il en résulte que la fonction cp(a?) est holomorphe et uniforme à l'extérieur de P et présente un espace lacunaire à l'intérieur de ce polygone.

Dans le cas oà p ^= 3, l'espace lacunaire se réduit au triangle ai c-, a,.

Dans le cas où jd^2, l'espace lacunaire se réduit à une ligne singulière essentielle qui est le segment de droite y.\ y.-,.

Comme second exemple je citerai la fonclion dont voici l'origine.

Soit l'équation aux différences partielles

(iJ) "l F, -7^ -H M«Fo — ^ +. . .-(- u„V„ -T^ = z.

ilu.\ (lu, au,,

Fi. F2, .... F„ sont des fonctions des n variables n^, u,, ..., ii„ et du paramètre x, holomorphes pour toutes les valeurs de x et lorsque les uiodiiles de iii, u^, ..., m„ sont suffisamment petits. Elles se réduisent respectivement à

j; — ai X — X 1

quand on y annule tous les u.

Dans une thèse que j'ai soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le i"'' août 1879 ('), j'ai démontré que si le point x est extérieur au polygone convexe P circonscrit aux n points «i, c.^, ..., y.n, il existe une série S ordonnée suivant les puissances des u, convergente et satisfaisant à l'équation (8) pourvu que les modules de ces variables soient assez petits. Les coefficients de cette série sont des fonctions rationnelles de jt; si l'on donne aux u des valeurs de module suffisamment petit et qu'on les considère comme des constantes, la somme de la série est une fonction de x, et l'on peut voir qu'elle est analogue à la fonclion o^x) définie par la série ( i ) et qu'elle présente comme elle un espace lacunaire. Le polygone P est compris tout entier dans cet espace lacunaire.

(') X'oir Tume I, p. XLix-cxxix.

SUR LES FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES

American Journal of malheinalics, I. 14, p. 201-321 (1892).

M. Weiersirass dans un Mémoire intitulé Zur Funklionenlelire et inséré dans les Berlincr Monatsberichle a appelé l'attention des géomètres sur certaines fonctions présentant des singularités spéciales. Au lieu de présenter un nombre fiui ou infini de points singuliers essentiels isolés elles offrent des lignes singulières essentielles ou même des espaces lacunaires à l'intérieur desquels elles cessent d'exister. Dans une lettre à M. Mittag-Leffler, insérée dans les Acta Societatis Scientiarum Fennicx M. Ilermite a retrouvé les mêmes résultats par une voie toute difTérente. D'après les conseils de M. Hermite j'ai entrepris de rechercher de nouveaux exemples de la particularité signalée par les deux savants géomètres.

Il y a une infinité de manières de définir une fonction, et si l'on ne s'imposait a p/v'o/'t aucune condition, rien ne serait plus facile que de concevoir une transcendante présentant un espace lacunaire quelconque; on pourrait imaginer par exemple une fonction définie de la manière suivante; elle devrait être égale à 1 à l'extérieur d'un certain cercle, et cesser d'exister à l'intérieur de ce cercle. Ce cercle serait alors un espace lacunaire. Si donc on donnait au mol, fonctions à espaces lacunaires le sens étendu qu'il semble comporter d'abord, on pourrait en imaginer arbitrairement une infinité. Il est donc nécessaire de préciser ce qu'on doit entendre par cette expression, fondions ci espaces lacunaires. C'est ce qui est facile, grâce à une conception nouvelle des fonctions analytiques qui a son origine dans les travaux de Caucliy et que M. Weiersirass a si clairement exposée dans son Mémoire Zur Functionenlehre {Monatsberichle. août 1880, p. 12).

Considérons une série développée suivant les puissances croissantes

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 37

de X — Xa. Elle sera convergente ù l'intérieur d'un certain cercle Co ayant pour centre Xu et pour rayon R. Si l'on ne s'occupait que du développement lui-même, on pourrait considérer la fonction définie par la série comme cessant d'exister à l'extérieur du cercle de convergence, et toute la région du plan extérieure à ce cercle comme formant un espace lacunaire. Ainsi comprise, la fonction à espaces lacunaires ne serait pas une notion analytique nouvelle. Mais il est un moyen bien connu d'étendre au delà du cercle de convergence le domaine où la fonction envisagée existe. Si l'on considère un point Xi intérieur au cercle de convergence, on pourra par la formule de Taylor développer la fonction en série ordonnée suivant les puissances de x — Xi cl convergente à l'intérieur d'un certain cercle Ci. A l'intérieur de Ci, on prendra un point X2 et l'on développera la fonction en série ordonnée suivant les puissances de x — x^ et convergente à l'intérieur d'un certain cercle Co- La fonction se trouvera alors définie non seulement à l'intérieur du premier cercle de convergence, mais à l'intérieur de Ci, de Co, etc.

Pour la plupart des fonctions qui ont été jusqu'ici l'objet des travaux des géomètres, les cercles tels que Ci, Co, etc., recouvrent tout le plan, soit une fois, soit plusieurs fois, soit une infinité de fois, en laissant seulement de côté certains points isolés, appelés points singuliers. La fonction existe partout, sauf en des points isolés. Il rCy a pas d'espace lacunaire.

Mais il n'en est pas toujours ainsi; il peut arriver que les cercles C,, Co, etc., laissent de côté non des points isolés, mais toute une ligne, où même toute une région du plan. M. Weierslrass a le premier mis celte vérité en lumière, et après lui M. Hermite a défini à l'aide d'intégrales multiples définies des transcendantes qui n'ont d'existence que dans un domaine limité.

On pourrait citer un grand nombre d'autres exemples de ce fait analytique. Ainsi l'on sait que les fonctions définies par les séries

iH — x'^^ -x^'-h...-\ a;'" + . . .

a; <f> ( I ) + a;- cp ( 3 ) + . . . -t- j;" !f ( /i ) + . . .

[où 'Jf{n) représente la somme des puissances premières des diviseurs de /;]

n'existent qu'à l'intérieur du cercle qui a pour centre l'origine et pour rayon

l'unité. Il en est de même de certaines fonctions que j'ai appelées fuchsiennes.

Les exemples que je veux étudier spécialement dans la présente Note pré-

38 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

senteronl les particularitos suivantes. Le plan sera divist' en deuxréj^ions, l'une extérieure, l'autre intérieure à un certain contour C. A l'extérieur du contour la fonction envisagée sera holomorphe et uniforme (et par conséquent finie, continue, monodrome et monogène). A l'intérieur du contour elle cessera d'exister. La région intérieure à C sera un espace lacunaire.

Je supposerai dans ce qui va suivre que la ligne qui limite C ait en chaque point une tangente et un rayon de courbure afin qu'on puisse construire un cercle tangent à cette ligne, ayant son centre en un point quelconque de la partie du plan qui est en dehors de C et de telle façon que ce cercle soit tout entier extérieur à C.

Si Xu est un point quelconque extérieur à C la fonction sera développable suivant les puissances de r — Tu] le cercle de convergence sera tangent extérieurement à C. Réciproquement si {x„ étant un point quelconque extérieur à C) une fonction est développable suivant les puissances de .r — x„, de telle sorte que le cercle de convergence soit tangent extérieurement à C, il est clair que cette fonction offrira un espace lacunaire qui sera la région intérieure au contour C.

Voici maintenant comment je définirai une transcendante jouissant de ces propriétés. Envisageons la série suivante :

.le suppose :

i" que la série

soit absolument convergente ;

2" que tous les points A„ soient intérieurs à C ou sur le contour C lui-même;

3" que si l'on prend sur le contour C un arc quolconcjue et aussi petit que l'on voudra, il y ail toujours une infinité de points b,, sur cet arc.

Je pose

La série (2) étant absolument convergente, on pourra prendre/» assez grand pour que R/, soit aussi petit que l'on veut.

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. Sg

Je dis d'al)Ord que si Xo est extérieur à C, la fonction (f{x) définie par la série (i) peut so développer en série suivant les puissances de x — Xo, et que celte série est convergente à l'intérieur du cercle qui a pour centre x^ et qui est tangent extérieurement à G. Si en effet R est le rayon de ce cercle, on aura pour tous les points b„,

\bn-Xo\>R.

Posons ,

[j: — Xo\ = 0.R.

Supposons que x soit intérieur au cercle qui a pour centre Xo et pour rayon R, on aura

On aura évidemment

Il est clair :

i" que la série à termes positifs et à double entrée

est absolument convergente ;

2" que

mod A„ -i — < =

| ( 6„ — :Co )'/^' J moAix — Xo)

Il en résulte que la série à double entrée

(x — x^yi

est absolument convergente et que sa somme est indépendante de l'ordre des termes.

La somme de la série (4) sera donc — 9(a?) quel que soit l'ordre des termes. On aura donc

^O FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

en posant

J'ai donc démontré à la fois :

i" que si x est extérieur à C la série (2) est convergente et la fonction o{x) qu'elle définit est holomorphe et uniforme;

2" que si X est intérieur au cercle qui a pour centre x„ et pour rayon R et qui est langent extérieurement à C, la série (5) est convergente.

Je dis maintenant que la série (5) est divergente si x est sur ce cercle ou extérieur à ce cercle et pour le démontrer, je suppose d'abord que Xo soit sur la normale élevée à C en un des points hn, au point 6/, par exemple.

Je me propose de faire voir que le terme

ne tend pas vers zéro quand r/ tend vers l'infini ; je vais montrer en effet que l'on peut prendre q assez grand pour que

mod Yi'J[B^— \),{bi — Xo)-f'r+'^]< t,

quelque petit que soit £.

Soit/> un nombre entier assez grand pour que

R,<iR.

Supposons en même temps

Décrivons du point Xa comme centre un cercle de rayon R' plus grand que R, mais assez petit pour que tous les points

b„, ùi, Ih, ■■■, bk-1, bic-i, bk+\, bk+o., ■■■■, bu soient extérieurs à ce cercle. On aura

Soit maintenant 7 un nombre entier assez grand pour que

R' V RV 2

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 4>

On aura

mod R-/ [B^— A^r^A — Xo )-!''+"]

Vr' mod A„ / R\i "^ mod A„ / R \'/ v" mod A„ - S / R y Rj,

On a donc Or

H'i \n,j- Xi{bt- x,)-'>-'] = o.

, , . . , mod Ax nu.d[R'?AA(tx.-.r„)-'/->]= -— ^ •

Il est donc impossible que R«'Aa(6a — Xu)^i~' et par conséquent que R''By tende vers zéro.

Supposons maintenant que x„ ne soit pas sur la normale élevée à C en 1 un des points b„; je dis que la série (5) est encore divergente quand

mod (a; — a;o) > R.

En elTet supposons que cela ne soit pas vrai et que le cercle de convergence ait un rayon R' plus grand que R. Ce cercle de convergence découperait sur le contour C un certain arc sur lequel, par hypothèse, il devrait y avoir une infinité de points b,i- Soit bk l'un de ces points. Elevons en ce point une normale ù C et prenons sur cette normale un point Xi assez voisin de b/t pour que le cercle K qui passe par b/^ et qui a Xi pour centre soit tout entier intérieur au cercle qui a pour rayon R' et pour centre o^u ; cela est évidemment toujours possible. La fonction <f{x) pourrait alors se développer en série suivant les puissances de x — Xi et cette série devrait être convergente, non seulement à l'intérieur du cercle K, mais sur la circonférence de ce cercle, ce qui est contraire à ce que je viens de démontrer.

Il est donc démontré que le cercle de convergence de la série (5) est toujours tangent extérieurement à C.

42 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

Donc la foaclion (f{x) esl holomorphe et uniforme à l'extérieur de C et présente un espace lacunaire à l'intérieur de ce contour.

Je vais maintenant citer quelques exemples de séries satisfaisant aux conditions imposées à la série (i).

Soit d'abord

/n I y. I -t- ninXi -h . . .-h ni/, Xf,. /«i -h ni>-h . . .-i- ni/,

Je suppose :

i" que Ml, Uo, .••, w,, sont des quantités données de module plus petit que I ; 2° que <Xi, y.T, • • • . y-j, sont des constantes quelconques;

3" que m,, nin, .... nip prennent sous le signe i tous les systèmes de valeurs entières positives.

J'envisage le polygone P défini par les conditions suivantes :

1° Il est convexe.

2" Tous ses sommets font partie du système des points «i, ix-,, . . ., y./,. 3" Tous les points ai, c.-,. . . ., oip qui ne sont pas des sommets du polygone P sont sur le périmètre de ce polygone ou à son intérieur.

Il est clair que :

i" La série

2 mod ((«',"■ m'^... «;;'/•)

est convergente.

2" Tous les points

/rti ai + rn^a^-

nii ■+- ni«-

sonl sur le périmètre de P ou bien à l'intérieur de ce polygone.

3" Pour tout segment, si petit qu'il soit, de l'un des côlés de P, il y a une infinité de points

/«i a, -I- Woocj-H. . .-I- nipXp m\-\- ni.-h. . .-h ni f,

Soit en effet a, «o le côté du polygone considéré, il est clair qu'on pourra choisir les entiers positifs m^ et m2 (et cela d'une infinité de manières) de telle

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 43

sorte que le point

m, ai ■+- m-iOLn riii -+- m«

soit situe sur un segment donné du côté aj a,.

lien résulte que la fonction (^(x) est holoiiiorphe et uniforme à l'extérieur de P et présente un espace lacunaire à l'intérieur de ce polygone.

Dans le cas où p := 3, l'espace lacunaire se réduit au triangle «i ao °^i-

Dans le cas où p ^ 2, l'espace lacunaire se réduit à une ligne singulière essentielle qui est le segment de droite arj a,.

Comme second exemple je citerai la fonction dont voici l'origine.

Soit l'équation aux différences partielles

(7) UlF, -T^ -h UlF,-^ -i-...-h U„F„-y^ = z.

Fi, Fo, ..., F„ sont des fonctions des n variables «i, Mo, ..., m„ et du paramètre x. holomorphes pour toutes les valeurs de x et lorsque les modules de Ml, «2; . . . , Un sont suffisamment petits. Elles se réduisent respectivement à

quanil on y annule tous les u.

Dans une thèse que j'ai soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le i" août 1879, j'ai démontré que si le point x est extérieur au polygone convexe P circonscrit aux n points «i, a,, . . . , a„, il existe une série S ordonnée suivant les puissances des u, convergente et satisfaisant à l'équation ('j) pourvu que les modules de ces variables soient assez petits. Les coefficients de cette série sont dos fonctions rationnelles de x; si l'on donne aux u des valeurs de module suffisamment petit et qu'on les considère comme des constantes, la somme de la série est une fonction de x^ et l'on peut voir qu'elle est analogue à la fonction ^{x) définie par la série (i) et qu'elle présente comme elle un espace lacunaire. Le polygone P est compris tout entier dans cet espace lacunaire.

On remarquera que dans la démonstration qui précède, il y a un procédé qui joue un rôle essentiel. On décrit du point Xt, comme centre un cercle avec un rayon R' plus grand que

R = I Xa~ b/c I,

et cependant assez petit [lour que tous les points

i>o, i>,, i),, ..., bk-i, bk-i, b/;^,, bk+1, ■■■, b„,

44 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

c'esl-à-dire les points 6„ tels que n^p^ n^k soieiiL tous extérieurs à ce cercle, et que

la sommation étant ainsi étendue à tous les indices n >/»• Les points b,, sont ainsi répartis en deux catégories :

i" ceux pour lesquels n^p; ils sont en nombre fini et ils sont tous extérieurs au cercle de rayon R' à l'exception dun seul, le point è/, ;

2° ceux pour lesquels /i>/J qui sont en nombre infini, mais si /> est assez grand la somme des modules des coefficients correspondants A„ sera aussi petite qu'on voudra.

C'est sur la possibilité de celte répartition que repose toute la démonstration et c'est pour cette raison qu'elle n'est pas susceptible de diverses généralisations que l'on croirait d'abord possibles.

Soit par exemple dans le plan une courbe fermée C et 3 un point mobile assujetti à rester sur cette courbe; soit x un point extérieur à la courbe et /(-) une fonction quelconque de z. L'intégrale

étendue à la courbe fermée C définit une fonction cp(a;) dei\ On pourrait croire que les raisonnements qui précédent lui sont applicables, à condition que l'intégrale

' \f(z)dz\

soit fini(!, et que la fonction 9(^) admet l'intérieur de G comme espace lacunaire. Il n'en est rien à cause de l'impossibilité de la répartition dont nous venons de parler. Il est vrai que cette fonction cp(a;) reste holomorphe à l'extérieur de C, mais non pas que si a^o est extérieur à C, le cercle de convergence relatif au développement de 9(^) suivant les puissances croissantes de x — x^ soit tout entier à l'extérieur de C. Il suffit pour s'en convaincre de se rappeler que nifi^x) est une fonclion quelconque holomorphe à l'extérieur de C et tendant vers zéro quand le point x s'éloigne indéfiniment, l'intégrale

•f{z)dz

prise le long de G est précisément égale à litifix).

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 45

De même si le point ; n'csl plus assujetti à rester sur la courbe C elle-même mais peut prendre une position quelconque à l'intérieur de cette courbe, sif(z) est une fonction continue quelconque de z et rfw unélément de l'aire limitée par cette courbe, et que ;; désigne précisément l'aflixe du centre de gravité de rfw, l'intégrale

étendue à l'aire limitée par G représentera une fonction cp(x) qui sera holomorphe à l'extérieur de C mais qui n'admettra pas en général la région intérieure à C comme espace lacunaire.

On obtient des résultats analogues dans la ibéorie du potentiel newtonien.

Soient M|, M,, . . ., M„, . . ., un nombre infini de points dont les masses /)(,, m.,, . . . , /;/„ soient toutes positives. Supposons que la série

soit convergente; que tous ces points attirent un point mobile P de coordonnées X, y el z conformément à la loi de Newton; que tous ces points soient à l'intérieur d'une certaine région R limitée par une surface S; el enfin que sur chaque élément si petit qu'il soit de cette surface S il j ait une infinité de ces points.

Soit alors V(x, y, z) le potentiel de ces points attirants. On verrait aloi's par un raisonnement tout pareil à celui qui précède, que la fonction V est liolomorphe à l'extérieur de R et qu'elle admet cette région 11 comme espace lacunaire.

Supposons au contraire que nous ayons affaire non pas à des points attirants discrets quoique en nombre infini et infiniment rapprochés les uns des autres, mais à une surface attirante, ou à un volume attirant, il n'en sera plus de même.

Si l'on considère par exemple un volume attirant limité par une surface S sans point singulier et que la densité soit une fonction holomorphe de x, y el z, la fonctions V pourra être prolongée par continuation analytique à l'intérieur du volume attirant.

Supposons en particulier une sphère attirante homogène ayant son centre à l'origine, ayant pour rayon R et pour masse M. Alors on sait que la fonction

46 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

loin d'admeltre comme espace lacunaire rintérieur de la sphère

poul être prolongée par continuation analytique jusqu'au centre même de cette sphère.

Il arrive quelquefois qu'on a à envisager des développements en séries de la forme suivante :

R„(ar) étant rationnelle en x.

Supposons que ce développement soit convergent à l'intérieur d'une certaine courbe C, convergent également à l'extérieur de cette courbe, mais qu'il diverge pour tous les points de la courbe elle-même. Les développements de celte forme ont été étudiés par M. Weierstrass dans le Mémoire que j'ai cité plus haut, ainsi que les diverses circonstances que je vais signaler.

Soit oi(.r) la somme de la série à l'intérieur de la courbe C, 93(^) la somme de cette même série à l'extérieur de la courbe C. Il peut se faire d'abord que les fonctions (f\{oo) et ©^(x) puissent être prolongées, par le procédé de la continuation analytique exposé au début du présent travail, la première à l'extérieur de G, la seconde à l'intérieur de C.

C'est ainsi que par exemple la série de M. Tannery :

/ï=zac

a pour somme + i à l'extérieur du cercle

et — là l'intérieur de ce cercle. Il est clair alors que les fonctions +1 et — 1 peuvent être prolongées dans tout le plan.

Mais il peut arriver aussi que les fonctions 91 et o-, admettent comme espace lacunaire, la première l'extérieur de C, la seconde l'intérieur de C. M. Weierstrass cite des exemples de ce fait dans son Mémoire et d'ailleurs plusieurs des développements en séries de la fonction modulaire présentent la même particularité.

Une question se pose alors. Nous avons

9,(^) = SP.„(a;)

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 47

à l'intérieur de C et

?.2(a7)= SR„(a;)

à l'extérieur de C. Avons-nous le droit do dire que la fonction cp, cesse d'exister à l'extérieur do C et la fonction cpo à l'intérieur, ou bien ne devrons-nous pas plutôt considérer les deux fonctions cp, et cp^ comme le prolongement naturel l'une de l'autre ?

On en serait d'abord tenté; mais on renoncera à cette manière de voir si l'on réfléchit qu'à ce point de vue, une fonction à espace lacunaire aurait dans cet espace une infinité de prolongements naturels possibles. C'est ce dont on peut se rendre compte par deux raisonnements dlIFérenls r[ue je vais appliquer à des courbes C particulières mais qu'on pourrait étendre, mitttilis nmtandis, à des courbes C quelconques.

Supposons d'abord que la courbe C soit un cercle.

Soit encore

3,(a;) = SR„(a:), 90(3:) = 2 R„(a;),

la première égalité ayant lieu à l'intérieur du cercle, la seconde à l'extérieur. Supposons que les deux fonctions cb) et cpa ne puissent être prolongées analjtiquement au delà du cercle.

J'ai démontré l'existence de certaines fonctions que j'ai appelées fuchsiennes et létafuchsiennes qui n'existent qu'à l'intcirieur du cercle C et pour lesquelles par conséquent la région extérieure à ce cercle est un espace lacunaire. Les fonctions télafuclisiennes sont susceptibles d'un développement dont les termes sont des fonctions rationnelles de a;; je me suis longuement étendu sur ces développements dans mon Mémoire sur les fonctions fuchsiennes {Acta Matliematica, t. 1) (^).

Soit

un de ces développements. ïl représentera, en général, à l'intérieur de C une fonction tétafuclisienne qui cessera d'exister à l'extérieur de ce cercle, et à l'extérieur de C il représentera une autre fonction tétafuchsienne qui cessera à son tour d'exister à l'intérieur de ce cercle.

C) Voir tome II, p. 16^-257.

48 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

Dans ce développemenL H(j;) est une fonction rationnelle quelconque, m est

un entier et ix. ""^"'"f" ) une substitution quelconque du groupe fuchsien.

Si tous les infinis de H (a:) sont à l'extérieur de C, la fonction tétafuchsienne représentée par notre développement à l'intérieur de C n'aura pas d'infinis et, ainsi que je l'ai montré dans le Mémoire cité, on peut d'une infinité de manières choisir H de telle sorte que celte fonction soit identiquement nulle. On aura alors

2H„(a;) = o (à rintcriciii- de C),

2H„(a;) = 0(.r) (à Pexu-rifur do C),

0 étant une fonctinn tétafuchsienne.

Quel serait alors le prolongement naturel de '^\{x) à l'extérieur de C. Comme

ce prolongement sérail In somme de ce développement à l'extérieur de C, c'està-dire 92.

Mais on a aussi à l'intérieur de G

o, = S{'R„+H„) |)uisi|iR' SlI„ = o.

Le prolongement naturel de oi à l'extérieur de C devrait encore être la somme de ce développement 2(R„+ H„), c'est-à-dire 9., 4-0.

Ainsi une fonction à espace lacunaire serait susceptible de plusieurs /?/o/ortgements naturels: c'est assez dire qu'il n'y en a aucun qui mérite ce nom.

Mais on peut s'en rendre compte encore d'une autre manière.

Considérons le plan des r comme divisé en deux parties par l'axe des quantités réelles. Soit f{x) une fonction n'existant que dans la partie supérieure et étant partout holomorphe dans cette partie; m^\.f^{x) une fonction n'existant que dans la partie inférieure du plan et étant partout holomorphe dans cette partie. La moitié inférieure du plan est pour/(a?), la moitié supérieure poury'i(^), un espace lacunaire.

Je dis alors que je pourrai trouver deux fonctions <?(/') iit<\i{x) jouissant des propriétés suivantes :

r Elles existeront dans tout le plan, sauf le long de certaines coupures. 2" On aura cp -4- ij' =/dans la moitié supérieur!' du plan. 3" On aura cp -H 4^ =/i dans la moitié inférieure.

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 49

4° .La fonclion 9 admettra pour coupure le segment de l'axe des quantités réelles compris entre les points x ^=- — 1 et x- := -4- 1 .

5" La fonctiou d/ admettra pour coupure les deux autres segments de l'axe des (juanlltés réelles, c'est-à-dire les segments ( — 00, — 1 ) et (+ 1 , + 00).

S'il en est ainsi, il est clair que si la fonction f avait un prolongement naturel dans la moitié inférieure du plan, ce prolongement ne pourrait être que /) ; car les fonctions cp et t]> existent dans tout le plan et le prolongement naturel de/' devrait être comme la fonction /elle-même égal à la somme cp + 4'- Mais y'i est une fonction quelconque assujettie seulement à n'exister que dans la moitié inférieure du plan. Une fonclion quelconque pourrait donc être regardée comme le prolongement naturel de/'.

Pour démontrer le lliéorème que je viens d'énoncer, j'ai besoin d'abord d'établir le lemme suivant.

Soit F(j') une fonction que je n'assujettis pas à être analytique, mais qui doit rester finie et continue pour toutes les valeurs réelles et positives de x, tout en croissant indéfiniment avec x.

Je dis alors que quelle que soit cette fonction ¥(x), on pourra toujours trouver une fonction analytique entière G(x) qui croisse assez rapidemment pour que le rapport

xG(a:)

tende vers zéro quand x croit indéfiniment par valeurs réelles positives.

En effet, on peut toujours trouver un nombre positif A,i assez grand pour que la plus grande valeur que prenne le module de F(:r) quand x varie de « à n-\- i soit plus petite que A„.

On aura alors (pour n <C x <^ n -\- i)

lF(^)l<A„<A„(jy'"

Je puis supposer que In est un entier positif plus grand que n et assez grand d'ailleurs pour que

Considérons alors la série

o<.)=2*.fâ'-

5o FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

Je dis d'abord que celle série converge pour toules les valeurs de x et représente par conséquent une fonction entière. Il vient en eiïel

iAHÏf-:(f)'<t

Quand n croît indéliniuienl tend vers zéro et comme — est plus grand

que I il en sera de même de

La série est donc convergente.

Je dis ensuite que pour les valeurs réelles et positives de x, on a

En effet tous les termes de la série G(.7') sont positifs, et l'inégalité (8) prouve qu'il y a toujours un de ces termes qui est plus grand que | F(.r) |. Il est clair alors que

V (x) Mm— -r— — 7=0 (i)our a:= + <»). c. Q. F. D.

On peut tirer de ci; lemme divers corollaires. Comme G(j:) est une fonction entière dont les termes sont tous positifs et contiennent des puissances de x dont l'exposant dépasse toute limite, on aura quand x croîtra indélinlment par valeurs réelles positives

et par conséquent

lira 7^- — - = o, lim — ttH- = o,

lim F(^) e-'-l')= o.

Je dis maintenant que si F(x) est (inie pour les valeurs réelles de x tant positives que négatives et suffisamment grandes en valeur absolue, on pourra trouver une fonction entière G (a?) telle que

limF(a;)e-G(')=o,

quand x croît indéfiniment par valeurs réelles soit positives, soit négatives.

Soient en efl'et F, (x-) la plus grande des deux quantités | F{x) | et | F( — x) {, ce sera évidemment par définition même une fonction paire de x, c'est-à-dire ne changeant pas quand on change j" en — x.

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 5l

On pourra alors d'après le leinine qui prc^céde irouver une fonction G[{x-)

telle que

lim Fi(.r2)e-G.(i')=()

pour x- = -\- 00 {x- réel positif).

Si alors G| (a?-) = G{x) on aura

lim F(a;)e— ''1''= o

pour .r ^zh oo (x réel, positif ou négatif).

Gomme les valeurs que prend F(x) quand ] j? | est suffisamment grand, influent évidemment seules sur cette limite, il suffit pour que le lemme soit vrai que F{x) soit fini pour les valeurs réelles de j: suffisamment grandes, il suffit par exemple que F(.r) ne devienne infini que pour un nombre fini de valeurs réelles de x.

Considérons maintenant la circonférence

décrite sur le segment ( — i, -f- i) comme diaméire et supposons que sur cette circonférence que j'appellerai G pour abréger la fonction F(,/) n'ait qu'un nombre lini d'infinis parmi lesquels le point x = -h i .

Je dis qu'on |iourra trouver une fonction entière (j[x) telle que

lim F(.r)e ^ -"-'^ =o

quand x tendra vers i en suivant la circonférence. Posons en eflet

Si X est sur la circonférence G, r sera réel; si x tend vers i en suivant lune des moitiés de la circonférence, y tend vers 4- oo ; si j" tend vers i en suivant l'autre moitié, y tend vers — oo. Si nous posons F{x) =^ Fi(j'), la fonction F| n'admettra qu'un nombre fini d'infinis réels. Alors on pourra irouver une fonction G{y) telle que

lim Fi(j) e~'"l.'' =o (pour lim j' = ±00),

on en déduira par conséquent

lim F(.r) e ^ -^ '•' = o. c. Q.

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

De même, alors même que F(j;) deviendrait infinie pour j- = — i , on pourra trouver une fonction entière G'[x) telle que

lim F{x)e ^ '^ '^ = 0,

quand .f tend vers — i en suivant la circonférence.

Ces corollaires établis, venons à la question qui nous occupe.

Nous désignerons par F{x) une fonction qui sera égale kf{x) dans la moitié supérieure du plan et à f,(x) dans la moitié inférieure. Sur la circonférence que j'ai appelée G, la fonction F(x) ainsi définie ne pourra avoir que deux infinis, x ^=-{-i et r = ^ i .

On pourra alors construire les deux fonctions entières

im) " <im

que je viens de définir.

Soit alors

e(ar) = e V-^— >/ V r+i / = g-G-G'.

On voit que 0(x) est une fonction de x holomorphe dans tout le plan et n'admettant d'autres points singuliers que deux points singuliers essentiels .r = I et ar = — i.

Je dis maintenant que

lim F(j:-)e(.r) = o,

quand .r tend vers — i ou vers + i en suiiant la circonférence G. En ellel

F 9 = F<'-Ge-G'.

Si X tend vers -|- i , Fe~'' tend vers zéro et e~'' vers une limite finie; si x tend vers — I, Fe"*" tend vers zéro et e~'' vers une limite finie. Soit donc

to étant réel; x est alors sur la circonférence G; le produit F(j:) ^i{x) peut ainsi être regardée un instant comme une fonction dew. Cette fonction est analytique sur tout arc de la circonférence G qui ne contient ni le point a' == + i , ni le point a? = — ■ I, et quand x se rapproche indéfiniment de l'un de ces deux points

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES. 53

elle tend vers zéro. Elle est donc développable par la formule de Fourier et je puis écrire

F 9 = S c„, cos m (o -H S d,„ siii m o),

ou bien encore

F9 = Sa,„e-""w+ i;6,„e""'"' («0= o)

les coefficients a,n et bn étant des constantes qu'il est aisé de calculer. On a en effet

2;ifl,„= / Ff)e'«'"r/to,

iT.bm= I FOe-"'""rfoi.

Considérons les deux développements

Le premier de ces doux développements est convergent à l'extérieur de la circonférence G et sur la circonférence elle-même, mais diverge à l'intérieur de cette circonférence; le second développement au contraire converge à l'intérieur de C et sur la circonférence elle-même, mais diverge à l'exléricnr de G. Sur la circonférence elle-même, on a

<p(x)0(j;) + 4/(x)0(.r) = Srt„,,'C-"'-i- S6„.r"'= F(.r)9(,r)

et par conséquent

Pour reconnaître si celle égalité a encore lieu pour les valeurs de x qui n'appartiennent pas à celte circonférence, il faut cherciier à prolonger anal} liqucinent cp(j?) à l'intérieur de G et '\i{x) à l'extérieur de G.

Nous avons

2izia,n=i I Ff)e""M r/w = / Vflx'"-'fix,

2;ij6„,= j / Ffie-"'''»do) = j F 0.t— '"-W/.c,

les intégrales étant étendues à la circonférence G tout entière. Si je désigne alors pour éviter toute confusion par la lettre z un point de la circonférence C

54 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

et par la letlre x un point n'appartenant pas à cette circonférence, il viendra

■2{7:a,n= Cf(z)^(z)z"'-U/z; ■j.iKb,,, =J F(z)^{z) z-'"-' dz,

et par conséquent si x est extérieur à G

2inzj(j-)e{x)=^ 2l7zl.a,nX-"'= jF{z)D(z} Iz'"-' j;-"' dz, ou enfin

et si .r est au contraire intérieur à G,

2i-'\,(x)Q{x) = ■iixZbmX'"= r V { :) Q{z) 1. z-'"-' jc'" dz ou

Toutes ces intégrales doivent être prises le lonj; de G.

Ges intégrales ne définissent encore les fonctions cp et 4*, la première qu'à l'extérieur de G seuleuient et la seconde qu'à l'intérieur de G seulement.

Mais on peut modifier le contour d'intégration.

Je représente sur la figure i l'axe des quantités réelles AOB, l'axe des quantités imaginaires DOE, et la circonférence BNEMAM'DN'B qui n'est autre chose que la circonférence G. Le point A est le point j" =: — i et le point B est le point X ^= + I .

Joignons deux points M et N de la moitié supérieure de G par un arc de courbe quelconque MPN restant tout entier dans la moilié supérieure du cercle limité par G. Joignons de même deux points M' et N' de la moitié inférieure par un arc de courbe M'P'N'.

On peut remplacer le contour d'intégration G par le contour BNPMAM'P'N'B que j'appellerai G'. Je dis que si x est extérieur à G, on aura encore

• / Nn/ ^ rF{z)Q{z)dz

l'intégrale étant prise le long de G', ou en d'autres termes que l'intégrale

rFiz)Hz)dz

prise le long de G' est égale à cette même intégrale prise le long de G.

FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

II suffit de montrer que celte même intégrale prise le long du contour NEMPN ou le long du contour N'P'M'DN' est nulle.

En effet F(3)Q(3) est holomorphe sauf sur l'axe des quantilt's réelles, __ ^

est holomorphe sauf pour z ^ x. Si donc x est extérieur à C, la fonction sous

signe / sera holomorphe tant à l'intérieur du contour NEMPN qu'à l'intérieur

du contour N'P'M'DN'; ce qui démontre la proposition énoncée.

Mais l'intégrale (i i) prise le long de C, définit une fonction de x qui reste holomorphe pour tous les points extérieurs à C, et comme on peut rapprocher les deux arcs- MPN cl M'P'JN' autant que l'on veut de la droite AOB, on peut

définir ainsi la fonction o(x) pour toutes les valeurs de x sauf pour le segment AOB, c'est-à-dire pour le segment ( — i, -+- 1) qui sert de diamètre à la circonférence C.

La fonction 9(.r) ainsi définie est holomorphe sauf pour les points qui appartiennent à ce segment ( — i , + i )•

Je me propose maintenant de démontrer qu'on aura pour un point x intérieur à C

.Supposons en effet que le point x vienne en X, c'est-à-dire à l'intérieur du contour NEMPN. L'expression — 2 i t: ']/ (x) (i (x) sera égale à l'intégrale (11) prise le long de C; l'expression 2j'7r9(.r) <p(x) sera égale à l'intégrale (i 1) prise le long de C Par conséquent l'expression

56 FONCTIONS A ESPACES LACUNAIRES.

sera égale à l'inlégrale (i i) prise le long de NEMPN qui est égale à

en vertu du théorème de Cauchj, plus l'inlcgrale (i i) prise le long de N'P'M'DN' qui est nulle en vertu du même théorème; il vient donc

tp -<- 'L = F. C. Q. F. D.

On définirait de la même manière la fonction ^'(■ï) à 1 extérieur de C. Il suffit pour cela de prendre l'intégrale (lo) le long d'un contour C" formé en remplaçant les arcs NEM et M'DN' de la circonférence par deux arcs de courbe quelconques NQM et N'Q'N' situés en dehors de C et ne coupant pas l'axe des quantités réelles. On pourra alors choisir ces deux arcs de courbe de telle façon que le point x quel qu'il soit se trouve à l'intérieur de C".

L'intégrale (lo) prise le long de C" est alors égale à 2«'7t'|( j-) 0(,r), ce qui définit la fonction 4'(^)-

On verrait aussi que '\'{x) est holomorphe dans tout le plan et qu'elle n'admet d'autres singularités que deux coupures qui sont les deux segments ( — oo , — i) et (+1, +oo).

On démontrerait d'ailleurs par un raisonnement identique à celui qui précède

que l'on a à l'extérieur de C

Celte égalité a donc lieu dans tout le plan; c'est-à-dire qu'on aura

dans la moitié supérieure du plan el

^(x)-^-'\i{x)=/^{x) dans la moitié inf(''ii('iire. c. q. f. n.

Les fonctions cp et <\i ne sont d'ailleurs pas les seules qui jouissent de cette propriété. Si en efTel "^{x) est une fonction de x n'ayant d'autre point singulier que deux points singuliers essentiels -|- i et — i. la fonction cp(r) + ).(r) n'aura d'autre singularité qu'une coufiure ( — i , 4- r ) ella fonction 4'(.r) — l{x) n'aura d'autre singularité que deux coupures ( — «, — i)el(+i, + oo).

On aura d'ailleurs dans tout le plan

SUR UN THEOREME

Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 11, p. ii2-ij5 (i8 mai i883).

Voici le théorème que je me propose de démonlrer :

Soit y une fonction analytique quelconque de x, non uniforme. On peut toujours trouver une variable z telle que x et y soient fonctions uniformes de z.

Pour démontrer ce résultat, je me servirai du beau théorème de M. Schwarz [Monatsbericlite, octobre 1870), connu sous le nom à& Principe de Dirichlet. Voici quel en est l'énoncé :

Appelons ï et y] les parties réelle et imaginaire de x.

Etant donné un contour quelconque C sur un plan ou sur une surface de

Riemnnn, on peut toujours trouver une fonction u de \et de ri qui satisfasse

il Vé<juation

qui reste liolomorplie à r intérieur de C et qui prenne des valeurs données le long de C.

Je dirai qu'une fonction u devient logarithmiquement infinie au point Ç=a, Y) ^ è quand la différence

reste holomorphe dans le voisinage de ce point. H. P. — IV.

En vertu du théorème de IM. Schwarz, on pourra aussi trouver une fonction u qui satisfera à l'équation Aa ^ o, qui prendra des valeurs données le long de C et qui restera holomorplie à l'intérieur de G, à l'exception de un ou plusieurs points donnés où elle deviendra logarithniiquement infinie.

Formation de la surface de Riemann S.

Considérons m fonctions de x,

(0 jri> .>'"-. ■••> y m,

analytiques, non uniformes en général. Ces fonctions seront complètement définies lorsque l'on connaîtra, non seulement la valeur de .r, mais encore le chemin par lequel la variable x a atteint cette valeur en partant du point initial O.

Nous considérerons la variable .r comme se mouvant non sur un plan, mais sur une surface de Riemann S. Cette surface sera formée de feuillets plans superposés comme dans les surfaces de Riemann, à l'aide desquelles on étudie les fonctions algébriques : seulement ici le nombre des feuillets sera infini.

Traçons dans le plan un contour fermé quelconque C partant d'un point iiiilKil X quelconque et revenant finir à ce même point .r. La surface S sera complètement définie, si nous disons à quelles conditions le point initial et le point final de ce contour devront être regardés comme appartenant à un même feuillet <ui à des feuillets dilierents.

Or il y a deux sortes de contours C :

i" Ceux qui sont tels que l'une au moins des m fonctions j' ne revient pas à sa valeur initiale quand la variable x décrit le contour C ;

2" Ceux qui sont tels que les m fonctions^ reviennent à leurs valeurs initiales quand la variable x décrit le contour C.

Parmi les contours de la deuxième sorte, je distinguerai encore deux espèces :

i" C sera de la première espèce, si l'on peut, en déformant ce contour d'une façon continue, passer à un contour infinitésimal de telle façon que le contour ne cesse jamais d'être de la seconde sorte;

2" C sera de la seconde espèce dans le cas contraire.

THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS. 5çf

Eh bien, le point inilial et le point final de G appartiendront à des feuillets différents si ce contour est de la première sorte, ou de la seconde espèce de la seconde sorte. Ils appartiendront au même feuillet si G est de la première espèce de la seconde sorte {voir Note I, à la fin du Mi'moire).

La surface de Rieinann est alors complétonient définie. Elle est simplement connexe et ne diffère pas, au point de vue de la Géométrie de situation, de la surface d'un cercle, d'une calotte sphérique ou d'une nappe d'un hyperboloïde à deux nappes.

Définition des contours C.

Notre surface de Riemann S étant simplement connexe, nous pourrons y tracer une infinité de contours G s'enveloppant mutuellement et enveloppant le point ( ). Par chacun des points de la surface S (excepté par le point O) passera un de ces contours G et un seul.

Voici, d'ailleurs, comment on peut se rendre compte de la disposition de ces contours G. Gonsidérons un cercle K ayant pour centre le point () et de rayon assez petit pour que les m fonctions y soient holomorphes à l'intérieur de ce cercle et même sur sa circonférence. On tracera ensuite une infinité de cercles G intérieurs et concentriques à K. Des différents points de la circonférence de K comme centres nous décrirons des cercles K' assez petits pour c|ue les fonctions jk restent holomorphes à l'intérieur de chacune d'eux et sur sa circonférence. Soit Kl la portion de l'enveloppe des cercles K' qui est extérieure à R. La portion des cercles K! qui est extérieure à K recouvrira une région annulaire limitée par K et K|, et l'on pourra sillonner cette région d'une infinité de contour G s'enveloppant mutuellement et enveloppant K.

Des divers points de K, comme centres, nous décrirons des cercles K" assez petits pour que les fonctions y restent holomorphes à l'intérieur de chacun d'eux et sur sa circonférence. Soit Kj la portion de l'enveloppe des cercles K" qui est extérieure à Ki. La portion des cercles K" qui est extérieure à Kj couvrira une région annulaire limitée par Kj ot K3, et l'on pourra sillunner cette région d'une infinité de contours G s'enveloppant mutuellement et enveloppant Ki, et ainsi de suite. On voit qu'on aura construit ainsi une infinité de contours fermés G, tels que par chaque point de la surface S passe un de ces contours et un seul.

6o THÉORIE GENERALE DES FONCTIONS.

Parmi ces contours C, j'en choisirai une infinité

tels que Cn+i enveloppe C„ et que tout point de la surface de Riemann soit intérieur à un des contours C;, .

Définition de la fonction >„,.

Soient A^ le module d'une fonction elliptique, K et R' ses périodes. Définissons l'algorithme cp par la relation suivante :

On sait que la fonction cp est holomorphe, sauf pour

k- = o, A- = I , /.- = co,

et qu'elle ne peut prendre que des valeurs dont la partie imaginaire est positive. Soit <\i une fonction de x définie par l'équation

■ Vt^ + W 1__.

La fonction '\i a son module constamment plus pelil f|ue i, cl elle est holomorphe, sauf pour (l'o/r Note 11, à la fin du Mémoire)

Je supposerai de plus f[uo (3 et o aient été clioisis de lelle sorte que

de lelle façon que '} s'annule pour a: ^^ o.

Je supposerai ([ùe la fonction y,,,, la dernière du Tahleau ( i ), soit précisément '\i. Si cela n'étail pas, et si ij; ne faisait pas partie du Tableau (i), on l'y adjoindrait.

Posons maintenant

l = loi; inod -p •

THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS. 6l

La fonclioQ t satisfera à l'équaliou \t =^ o. Elle sera essentiellement posiiive, et elle deviendra logaritlimiquenient infinie au point O et en divers autres points de la surface S, points que nous appellerons Oi, O. . ....

Définition des fonctions ii„-

J'appellerai «„ une fonction qui est assujettie à satisfaire à l'équation Am„ = o, à s'annuler le long du contour C„ et à rester liolomorphe à l'intérieur de ce contour, sauf au point t) où elle devient logarithmiquemenl infinie.

Pour étudier les propriétés de cette fonction, je m'appuierai sur le tliéorènie suivant, bien connu :

Si une fonction u satisfait à l'équation Aa ^ o, si elle est positive le long d'un contour C; si de plus, en tous les points intérieurs à ce contour, elle est ou lioloinorphe ou logaritlimiquenient infinie, elle sera positive en tous les points intérieurs au contour C.

De là, on déduit que les fonctions a„, m„+i — m„ et < — m„ sont positives à l'intérieur du contour C„.

•Ainsi, en un point quelconque de la surface de Riemann S, la fonction m„ est constamment croissante avec n et constamment plus petite que /. Elle tend donc vers une limite finie u quand n croît indéfiniment.

En d'autres termes, la série

(2) u = Ui-hiU-z— Ui)-h.. .-+-(m„+i— Un) -t-.. .

est convergente.

Emploi des fonctions /,.

Cette démonstration ne s'appliquerait pas aux points O, , O-j, . . . , où la fonction t devient infinie pendant que u,, reste finie. En effet, t devenant infinie, nous n'aurions plus de limite supérieure pour u„. Considérons, par exemple, le point O,- et de ce point comme centre décrivons un cercle K( ne contenant aucun point singulier. On pourra construire une fonction ti qui satisfera à l'équation A/,- := o, qui deviendra égale à / le long de K,-, et qui sera holomorphe à l'intérieur de ce cercle. Cela posé, la fonction ti — u,, sera positive à l'intérieur de K,; par conséquent, même au point ();, nous aurons une limite supérieure de u„, qui sera /,.

Continuité de la fonction u.

Il fauL démontrer maintenant que u est une fonction continue de t et de rj. Pour cela, je m'appuierai sur le théorème suivant, facile à démontrer :

Si u est fonction de c^ et de ri qui, à r intérieur d\in cercle K de rayon R, satisfait à Véquation Aw^o et reste constamment comprise entre zéro

et A (A étant une constante positive), ses dérivées —^ et -^ à l'intérieur d'un

cercle k de rayon r et concentrique à K resteront plus petites en valeur

absolue que -7- ••

Considérons donc deux cercles concentriques quelconques K et k ne contenant aucun point singulier. Soit A la plus grande valeur que puisse prendre la fonction l à l'intérieur de K, nous aurons à l'intérieur de k (et cela quel que soit n)

du,,

(lu,,

'Ih

Considérons maintenant deux points x' et j" , situés à l'intérieur de /■', et soient u„ et u„, u' et «" les valeurs correspondantes de a„ et de u. Je dis que l'on pourra prendre la distance p des points x' et a" assez petite pour que l'un ait

I îi'— U"| < £,

quelque petit que soit z.

En effet, nous aurons, (juel que soit n,

4ARÎ v/2

Nous pourrons donc toujours prendre p assez petit pour que l'on ait, (juelque soit «,

Les points x' et x" sont alors déterminés. Nous pourrons prendre alors n assez grand pour que

Oq aura alors

Ainsi u est une fonction continue de £ et de o.

Uniformité de la convergence.

Nous avons vu que la série (2) est convergente, mais cela ne suffirait pas pour ce que nous avons en vue; il faut encore faire voir qu'elle est uniformément convergente {gleichmcissig). En d'autres termes, il faut montrer qu'autour de chacun des points de la surface de Riemann S on peut trouver une région P jouissant de la propriété suivante; on pourra prendre n assez grand pour que la différence u — u„ reste plus petite que e à l'intérieur de la région P, et cela quelque petit que soit i. Pour cela, il suffit de montrer qu'on peut toujours prendre n assez grand pour que la différence a„^y, — u,, reste plus petite qu'une quantité donnée £ pour tous les points de P et quel que soit le nombre positif^.

En efiet, prenons pour région P un carré intérieur au cercle />•, et dont les côtés soient parallèles aux axes des ? et des n.

Soit / le côté du carré. Partageons le carré P en h- carrés égaux par // — i parallèles équidistantes menées à cliacun de ces côtés; les côtés de ces petits

carrés seront j • Considérons un quelconque de ces petits carrés; soient a' le

centre de ce petit carré et x" un point quelconque intérieur à ce même petit carré ; on aura

moà(x' — x") <. — — ■

Soient u' . u" : u',^, u"/, a'„^^,, «)]+,, les valeurs correspondantes de u, u„ et u„+p; je dis qu'où peut prendre n assez grand pour que

Gela suffira pour démontrer le tliéorèaie énoncé, puisque x" est un point quelconque du carré P.

On aura évidemment, quels que soient /( el p,

I 'in+p— "«— "n+p+ Un \ < (^H rY- II'

On pourra doue prendre le nombre entier h assez grand pour que l'on ait, quels que soient n et/»,

Le nombre h est désormais déterminé. Formons la somme des h- quantités m'„, i.«'„ : elle aura évidemment pour limite lu'; ou pourra donc prendie n assez grand pour ([ue

On aura alors

et, enfin,

La série (2) est donc uniformément convergente.

Propriété de la fonction 1/.

Je dis que la fonction u satisfait à l'équation Am = o et est holomorphe si ce n'est au point O. En ellet, considérons un contour c quelconque intérieur à P. La fonction u étant continue, nous pourrons construire une fonction U iioloinorplie à l'intérieur de c et satisfaisant aux condition suivantes :

AU = 0 (à l'intérieur de c), V — u (le long de c).

Nous pourrons toujours prendre n assez grand pour que u — u,, reste plus petit que s le long de c. On aura alors

le long de c et, par conséquent, à l'intérieur de r. On aura donc

U = lim ii„ ])our /( = 03 ou

11 suit de là que la fonction u est holomorphe comme U et satisfait à l'équation Au = o.

La démonstration précédente ne s'appliquerait pas au cas où l'un des

(joints O; se trouverait à l'intérieur du cercle K, car alors la fonction t deviendrait infinie à l'intérieur de ce cercle; mais on tournerait la diflicullé en remplaçant t par d. Il n'y aurait rien d'ailleurs à changer aux démonstrations précédentes, il n'y aurait qu'à changer partout t en /,. Ainsi la fonction u est liolomorplie, même aux points O,, ()o, ....

On démontrerait de même que la fonction u devient logarlthmiquement infinie au point O.

Considérons un cercle K' de rayon R' intérieur au carré P, et un cercle A-' de rayon r' intérieur et concentrique à K'. On pourra toujours prendre /i assez grand |>our que

u — ii„ < £

pour tous les points intérieurs à K'. On aura alors, à l'intérieur de Â',

dlln

du,,

de,

dUn

du,,

'Ik

Donc on peut prendre n assez grand pour que les valeurs absolues des

,.,,., (hi du,, <lu du,, . , . , .-. . 1

dillerences -r; -rr et -^ -r- soient plus petites qu une quantité donnée a

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pour tous les points intérieurs à A"'.

Considérons maintenant une région quelconque G : je dis qu'on pourra prendre n assez grand pour que les inégalités

subsistent pour tous les points de G. En effet, nous pourrons décomposer la région G en un nombre fini de régions partielles assez petites pour que chacune d'elles soit contenue dans un cercle tel que A'; alors nous pourrons prendre n assez grand pour que, dans chacune de ces régions partielles, les inégalités proposées soient satisfaites. En donnant à n la plus grande des valeurs ainsi obtenues, les inégalités auront lieu dans toute la région G. En d'autres termes, les séries

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sont unitormémenl corweri^entes et ont pour sommes -rr et -r--