L'= SV

l'un des signes 2 se rapportant aux différentes variétés telles que U et l'autre aux différents Tn.ij dont une de ces variétés fait partie. Or si je considère l'une de ces variétés, par exemple U, et que j'étende la sommation à tous les T„ ,/ dont U fait partie, c'est-à-dire à T,.2, Tau, . . ., T/,.,, il viendra

-Jl.A-

Nous nous rappelons comment a été définie l'intégrale J,,.,, et le rôle que jouait la foncti(jn que j'ai appelée R„ 7- Nous voyons que l'intégrale totale — y,, ,^ se calculera de la même manière en remplaçant R,,../ par

Ri.î-t-rSî.:!-

l'intégration étant d'ailleurs étendue à U. Mais on a

Ri. -2 H- r!2.:i-l-- • ■-+- R/,.i = log

Donc on aura

lof

Or le point N n'est pas un point singulier pour <\)' puisqu'il n'est pas sur les coupures S'; ce n'est donc pas non plus un point singulier pour <^.

D'où nous concluons que ■]> est harmonique dans l'ensemble des domaines (3), sauf pour les points de D„ où P„ s'annule et où c'est '-}/ — log ] P„ | qui est harmonique.

Reprenons les intégrales V, W, J,,.,/; on se rappelle le rôle que jouait dans la définition de ces intégrales la fonction

qui dépend des x, des y, des a;' et des j'. Développons-la suivant les puissances des X et des j' et soit

'■---'' =Po+p',

où p,| représente l'ensemble des tc^rmes de degré o, i ou 2 par rapport aux x et aux 7 et p' l'ensemble des termes de degré supérieur.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 497

Soit maiatenantL,,.,/ une intégrale analogue à J,,.,/, mais où /•-"-'' est remplacé par p'; soit maintenant y une fonction définie comme <\i, mais où les J„ ,, sont remplacées par les L,,.,/, de telle façon que dans An on ait

X = log[P„j-i:L„.,;

la fonction y^ jouira des mêmes propriétés que la fonction ']/, dont elle ne différera d'ailleurs que par un polynôme du second degré en x el >•.

Mais supposons que l'on prenne un nombre de plus en plus grand de domaines (3) de façon que l'ensemble de ces domaines tende à embrasser l'espace tout entier ; de sorte enfin qu'à la limite la fonction ■/ (resp. -/^ — log| P„ | ) soit harmonique dans tout l'espace.

Pour que ce passage à la limite soit légitime, il faut que la série 2L„ ,y converge; or c'est ce qu'il est aisé de constater, tandis que la série iJ,,.,/ aurait été divergente. Nous n'avons qu'à reproduire ici la démonstration du Tome 22 (p. 167 et ifiS). La fonction /jouissant d'ailleurs des mêmes propriétés que la fonction V du Tome 22, la démonstration s'achèverait de la même manière.