III. — Démonstration du théorème R
Théorème B. — Toute fonction ■2. p fois périodique de p variables peut s'exprimer par le moyen des fonctions 0.
Uiemann parait avoir connu ce tbéoréme; on tout cas, Weierslrass l'avait démontré et je crois qu'il avait dû dans son cours exposer les principes de sa démonstration ; quoi qu'il en soit, celte démonstration n'avait pas été publiée et ses élèves, s'ils l'avaient connue, no l'aviiienl communiquée à personne. C'est ce qui nous décida, M. Picard et moi, à aborder la question et nous donnâmes uine démonstration de ce théorème dans les Comptes rendus en i883 ('). Cette première démonstration, dont nous reparlerons plus loin, était-elle identique à celle de Weierslrass, nous l'ignorions. Ce n'est que longtemps après, au moment de la publication des œuvres complètes du grand géomètre que nous avons su que les deux méthodes ne difl'éraient pas essentiellement.
M. Appell donna ensuite (Journal de Liouville, 1891) une deuxième démonstration du théorème B entièrement difl'érentc de la première; puis vinrent deux autres démonstrations, l'une de M. Picard (Comptes rendus,
(') Voir ce i'omr [\ . p. .'jo;.
FONCTIONS ABELIENNES. 4^7
l. 124, p. 1490) et l'aiilrc de moi {Comptes rendus, l. 124. p. 1407 ai Acta Mathematica, i. 22) (').
Cette démoaslialion du Tome 22 n'était autre chose qu'une adaptation à un but nouveau de la démonstration que j'avais donnée au Tome 2 d'un théorème général sur les fonctions méromorphes ; j'ai énoncé plus haut un théorème général d'après lequel toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions entières, et j'ai dit qu'outre ma démonstration, il en existe une autre qui a été développée par M. Cousin dans sa thèse {Acta Mathematica, t. 19).
Eh bien, si ma démonstration peut être adaptée au théorème B, il en est probablement de même de celle de M. Cousin, ce qui nous fournirait une cinquième démonstration du théorème B, entièrement différente des quatre premières. Cependant quand j'ai cherché à développer cette démonstration en lui conservant sa forme primitive, j'ai rencontré certaines difficultés. J'ai donc dû y introduire certaines modilîcalions, et c'est cette démonstration modifiée, qui lient pour ainsi dire le milieu entre celle de M. Cousin et la mienne que je vais chercher à adapter à l'étude du théorème B. Rappelons d'abord les hypothèses que nous faisons. Nous avons dans l'espace à ip dimensions une infinité de domaines.
tels que tout point de l'espace appartienne au moins à l'un de ces domaines et que dans le domaine D, par exemple, la fonction abélienne F qu'il s'agit d'étudier soit égale à
P, etQ, étant holomorphos dans le domaine D,-.
Nous pouvons supposer qu'eu aucun point M de D,, les deux fonctions P, et Q, ne soient divisibles par une même fonction H, holomorphe dans le voisinage de M et s'annulant en M, de telle façon que l'on ait
l',= lll>;, q,= iiq;, P^ et Ql étant holomorphes dans le voisinage de M.
(') Voir ce Tome IV, p. 4'Jy el i<J3.
',HS FONCTIONS ABELIENNES.
On pourrail diro que si cela avait lieu oa diviserait P, et Q, par II, et que dans la partie D| du domaine D, où H est holomorphe, on écrirait
au lieu de F = j=r^-Mais ce raisonnement serait insuffisant, parce qu'on
pourrait craindre que dans le domaine D] , qui est une partie de D,, ne se trouvent des points où P| et Q| fussent eux-mêmes divisibles par une même fonction holomorphe, qu'on soit par conséquent obligé de détacher du domaine D| un domaine plus petit D," oîi l'expression de F devrait encore être modifiée, et qu'on ne soit forcé de poursuivre cette opération indéfiniment.
Nous raisonnerons donc de la manière suivante :
Soit Vi=»i un point situé dans le domaine D/, et où
De l'équation P/,=: o, on pourra tirer r, par exemple en fonction algébroïde de «'2, l'a, • • •) '>• L'équation comportera d'ailleurs plusieurs solutions
(Bj, 02, . . . , »,/ étant des fonctions algébroïdes de co, C;,, . . . , i/, se réduisant à
«1 pour ('2= 3^2, ('3= 3^3, • • • , 1'/)=: «/),
Nous pourrons autour du point r,= a,, trouver un domaine A^ intérieur à D/. dans lequel les fonctions 9 restent algébroïdes et dans lequel enfin l'équation P^ = o n'admette pas d'autre solution que les solutions (2).
Les fonctions algébroïdes 9 pourront se répartir en groupes de la façon suivante ; si
(p,— Ol)(p,— 02) ... (f,— <pm)
est une fonction holomorphe de c, , cj, . . . , (7, dans le voisinage de (■,= a, (ce sera bien entendu un polynôme entier d'ordre m en Ci), et si cette fonction holomorphe est irréductible, c'est-à-dire n'est pas le produit de deux fonctions holomorphes de même forme, nous dirons que les fonctions cpi, ©.j, . . . , cp„, forment un même groupe.
D'ailleurs les dimensions du domaine A^ restant finies quel que soit le point (',= a,, nous pourrons diviser le domaine D/, en un nombre Jini de domaines analogues à Aa.
Supposons maintenant qu'en faisant i'i=:cp,, on annule identiquement non
FONCTIONS ABÉLIENNES. ^89
seulement P/;- mais encore Q* ; il en sera évidemment de même quand on fera
p», = coo, l'i = 9,, . . . , t', ^ !|)„, ; les fonctions tpo, 93, . . . , cp„, étant les autres fonctions du même groupe. Supposons pour fixer les idées qu'il j ait un second groupe de fonctions cp', , 9, , . . ., 9^ qui substituées à la place de Ci annulent identiquement P^ et Q/( et qu'il n'y en ait pas d'autre.
Alors P/, et Qyt seront divisibles dans le domaine à/, par la fonction holomorphe
IU = (Kl— ?i)(Ki— ?-2) . . . ("l— înOC"!— r'i X"^!— =2) • • ■ («^1— ?n)i
de sorte qu'on aura
les fonctions H^, P'^ et Q'^ resteront holomorphes dans tout le domaine A<- el l'on aura dans le domaine A/,
P'j (H Q'^. n'ayant plus de facteur commun s'annulant à l'intérieur de A^.
En résumé nous pouvons toujours supposer que P/t et Q^ ne sont jamais divisibles par un même facteur H, holomorphe dans le voisinage d'un point intérieur à D< el s'annulant en ce point.
Gela posé supposons que l'on ait F = ^ dans le domaine D, et F= ^^ dans
le domaine D^.. Si les doux domaines ont une partie commune, on aura dans cette partie commune
li Qi.
P,- ne peut s'annuler sans que P/, s'annule; car alors on aurait
et Q, s'annulerait en ce même point. Alors Q, serait divisible par P,, car ^ est
holomorphe puisque Pa ne s'annule pas. Donc P, et Q, seraient divisibles par un même facteur P,, ce qui est contraire à l'hypothèse que nous venons défaire.
Pt Donc p- ne peut devenir infini et par conséquent est holomorphe dans toute
P la partie commune aux deux domaines et il en est de même de p^-
Maintenant la fonction F étant périodique, chaque prismaloïde des périodes sera divisé en un certain nombre de domaines D/; ; et l'on pourra supposer que H. P. — IV. 62
Igo FONCTIONS ABÉLIENNES.
tous ces prismatoïdes sont divisés de la même mauière, c'est-à-dire que si l'un d'eux comprend n domaines
D,, D,, .... D„, l'autre comprendra n domaines
correspondant respectivement à Di, Do, . . ., D,i, de telle façon que Ion passe d'un domaine au domaine correspondant en augmentant les variables d'une période.
De plus, dans deus domaines correspondants D^ et D'^ les fonctions P et Q reprendront les mêmes valeurs; de telle sorte que l'on aura dans D<. :
et dans D'^ :
et f[uc
QH^'i, ''-2, .... 1^,,) = Qx(c,-+-p,, i'i-i-{i-. ..., '>-)-p/,);
(3,, (3^, . . . , pp étant la période par laquelle on passe de D/, et D'^.
Les domaines D,, D^, etc. empiètent les uns sur les autres, mais je puis considérer une infinité de domaines Ai, A^, etc., de telle façon : i" que le domaine A/, soit intérieur à Dx ; z" que tout point de l'espace appartienne à un des domaines A et à un seul, à moins qu'il n'appartienne à la frontière qui sépare deux de ces domaines.
Il est clair que les domaines A restent encore arbitraires dans une certaine mesure et que je puis leur faire subir de petites déformations pourvu que A/, reste intérieur à D/.
Considérons deux domaines D„ et D,j ayant une |)artie commune; nous aurons respectivement dans ces deux domaines
Soient A„ et A,^ les domaines A correspondant à D„ et à D,^, et soit S„ ,, la frontière qui sépare An de A^,.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 4gl
Je considère une fonclion $ définie de la façon suivante. Dans le domaine A/, on aura
'I' = logP<.
Ce n'esl pas unefonclion f[ui jouil de la continuité analytique, car quand en franchissant S„ ,, on passe de A„ dans A,,, cette fonction subit un saut brusque égal à
lo"^.
'"o Ij ' n
On peut dire encore que si l'on appelle <!> la continuation analytique de 'I' au delà de S,,^ quand ayant franchi celle coupure on a passé de A,; dans A,y, on aura dans A^ :
'1> - <!' = log ^ • < /i
Ce qui nous intéresse c'esl que dans la partie commune à D„ et à D,^ cette
P fonction log 5^ sera holomorphe. car le rapport de P, à P„ ne peut ul s'annuler
ni devenir infini.
Posons
vk = ■«;*+ iyk,
de telle façon que les parties réelles et imaginaires, c'esl-à-dire les x et les 1' soient les coordonnées d'un point dans notre espace à 2/) dimensions.
Soil ÎM' un point situé sur la variété Sn ,/ qui a 2/) — i dimensions, et doul les coordonnées seront x',- et j-^.
Soit M le point de coordonnées courantes x^ et j'^. Soit
r = v^ï 1 Xk — x't y- -^ ï (y/c — y'k )-
la distance de ces deux points. Soit rfco' un élément de la variété S,,.,/ ayant pour centre de gravité le point Î\I'. Soit ^' une fonclion quelconque des coordonnées du point M' et envisageons l'intégrale
étendue à tous les éléments d'J de la variété S,,.,. C'est ce qu"on appelle le potentiel d'une simple couche. Pour tous les points situés en dehors de S„ ,,, c'est une fonction holomorphe des x et des y; cette fonclion reste finie ainsi
492 FONCTIONS ABÉLIENNES.
que ses dérivées quand le point M vient sur S„ ,,. Si la variété S,,.,, est analytique et si d'autre part 5' est une fonction analytique des coordonnées de M', il arrivera que la fonction V pourra être continuée analyliquemenl au delà de la coupure S,,.,. Soit alors M( et M^ deux points voisins l'un de l'autre, mais situés de part et d'autre de cette coupure. Soient V, el Vo les valeurs de l'intégrale V en ces deux points; soit V la continuation analytique de la fonction V quand partant du point M, on franchit la coupure et soit V, la valeur de V en Ma-
Alors V!, comme V2 seront des fonctions analytiques des coordonnées de IMo, mais V, ne sera pas en général égal à Vo. Nous devons observer que dans le cas d'une simple couche, la fonction V ne subit pas un saut brusque quand on franchit la coupure; de sorte que sur la coupure même
II n'en est pas de même des dérivées, et si l'on représente en particulier par -j- la dérivée estimée suivant la normale à la coupure S„ ,,, la difl'érence
dn dn
sur la coupure même ne sera pas nulle, mais elle sera égale à ô' à un facteur constant près qui ne dépendra (jiie du nombre ?,/> des dimensions.
Soit maintenant s! une autre fonction analytique des coordonnées de M', et considérons l'intégrale
, dr"--"-!'
W = / e' dw'
dn
c'est ce qu'on appelle le potentiel d'une double couche. Alors si nous appelons encore Wi et W^ les valeurs de W aux points Mi el M.j, nous verrons que Wj est une fonction analytique des coordonnées de M^ , comme W2 de celles de M2. De plus W peut être continué analytiquement au delà de la coupure, et si l'on appelle W celte continuation et W'„ la valeur de W en Mo, alors W'., sera fonction analytique de M2.
Sur la coupure même on aura , = —y^i mais la différence Wj — W'„ ne
^ dn dn
sera pas nulle, elle sera égale à s' à un facteur constant près ne dépendant que du nombre 2/) des dimensions.
FONCTIONS ABELIENNES.
Noas repreudrons maintenanl noire fonclion holoinorphe
'I.-<I.=log5/ * /(
et nous considérerons sa parlie réelle (|U(; j'appellerai R„ ,,
Nous prendrons alors
et j'envisagerai l'intégrale
!!«../= log
lin
J„ ,^ = ii\ -^- b W,
les a et les b étant des constantes.
J'appellerai.!^,,^ le prolongement analytique de J,,.,/ par delà la coupure. Si les coefficients constants a et b sont convenablement choisis (c'est-à-dire s'ils sont les inverses des coefficients constants dont je parlais tout à l'heure et qui ne dépendent que du nombre 2/) des dimensions), nous aurons
Soit en effet 1" une fonction qui soit égale à J,,.,/ d'un côté de la coupure et à 1/1.7+ R/i.f/ de l'autre côté de la coupure. Des deux côtés de la coupure 1' sera une fonction harmonique des ip variables jc et y; je veux dire par là qu'elle sera holomorphe el satisfera à l'équation de Laplace A1'= o; nous ne savons pas encore s'il en sera de même sur la coupure même; mais sur cette coupure la fonclion *F est continue (si nos coefficients a el 6 sont convenablement
choisis) et il en est de même de —;—• On en conclut Que la fonction W reste
' lia '
holomorphe sur la coupure même el que J„ ,/ + Rn.,/ est la continuation analytique de J,!,,,.
Si donc on a une fonction qui soit égale à log j P,, | — J,,., dans le domaine A,, et à log I P„ I — .J,i 7 dans le domaine A„, cette fonction restera analytiquement coalinue quand on franchira la coupure S,,.»/; elle sera harmonique dans l'ensemble des deux domaines A, el A„ (sauf pour les points de A„ ou de A^ où P„ ou P^ s'annulent; en ces points c'est la différence T — log | P„ ! ou W — log I P,/ [ qui est harmonique).
/Jg-I FONCTIONS ABÉLIENNES.
L'inlégrale S,,.,/ joue le rôle que joue dans la démonsiralion de M. Cousin rintéfi;rale de Cauchj
l'(.fn—/pldz
mais c'esl une intégrale multiple.
Une propriété importante rapproche encore notre intégrale de celle de Cauchy. Soit S'„. une coupure peu dilFérenle de S„ ,^; je suppose que la frontière complète de S'„ soit la même que celle de S,,^ de façon que l'ensemble des deux coupures forme une variété fermée enfermant un certain domaine A'. SoitK,, ,, la même intégrale que.!,, ,/ mais prise le long de S'„ . On aura alors en deliors de A' :
et à l'intérieur de A' :
Il en résulte que si <h est une fonction égale à log | P^ j — J„.y dans A,, et à log I P„ [ — J„ ,/ dans A„ et si d'autre part y est une fonction égale à log I P,, I • — K„ ,, dans le domaine A,,+ A'. à log | P„ ' — K/, 7 dans le domaine
A„ — A', on aura
En d'autres termes on aura pu déplacer et déformer un peu la coii|inre S,,,,, sans changer la fonction 'J/.
Gela posé, considérons quelques-uns de nos domaines en nombre fini
et les coupures qui séparent ces domaines (.>). Soit']/ une fonction (|ui est égale dans A„ [A„ étant l'un des domaines (.i)] à
.!; = logîP„|-i:J,,,,
la sommation étant étendue à toutes les intégrales J„ y relatives avix coupures qui séparent les domaines (.j).
La fonction ■]> est harmonique, dans l'ensemble des domaines (3) sa.vî peutêtre pour les points qui appartiennent à plus de deui de ces domaines (et sauf certainement pour les points où l'un des P„ s'annule, car en ce point c'esl <\i — ■ log 1 P„ I qui est haruionique).
Soitdonc N un des points qui appartiennent à plus de deux des domaines (3). De ce point comme centre décrivons une hvpersphére H; déformons ensuite les
FONCTIONS ABÉLIENNES. ^gj
coupures de façon qu'elles ne changent pas ni en dehors de l'hypersphére, ni sur l'hypersphére elle-même, mais seulement dans l'intérieur de l'hypersphére et qu'après la déformation, le point N ne soit plus sur une coupure.
Je dis que la fonction 4' n'a pas changé. Nous avons vu plus haut que cette fonction ne change pas quand une des coupures est déformée sans que sa frontière complète varie. Ici les choses ne se passent pas tout à fait comme cela, puisque le point N se trouvant sur la frontière commune de plusieurs coupures, nous sommes obligés de déformer ces frontières si nous voulons que le point N cesse d'être une coupure. C'est seulement en dehors de l'hypersphère H que les frontières ne varient pas.
Soit alors .S,, </ l'une des coupures. S), ,, la coupure déformée; ce sont des variétés à 2/» — i dimensions; soit V la frontière de S,,.,,, F' celle de S^, ,, ; ce sont des variétés à ip — 2 dimensions ; quand pendant sa déformation continue, cette frontière va de sa position initiale F ù sa position finale F', elle engendre une variété à 9.p — 1 dimensions que j'appelle T,,.,/. Alors la frontière de T„ ,, est formée de F et de F'; et la variété S," ,^ = S'„ „ + T„ ,, a pour frontière F, c'est-à-dire même frontière que S„ y.
La fonction '\i ne change donc pas quand on remplace les coupures S„ 7 par les coupures S)j . Qu'est-ce à dire? Soit C une variété à 7.p — 2 dimensions appartenant à plus de deux domaines (î); par exemple aux domaines A,, Aj, .... Aa; ces domaines doivent être contigus deux à deux, par exemple Aj à A.j, A2 à A:,, ..., A/, I à A/,, A/, à Al . Alors C fera partie de la frontière de h coupures, à savoir S, a, So.:,, ..., S/,i./,, S/,,i. Pendant la déformation, C ira de sa position initiale C à sa position finale C et engendrera ainsi une variété U à ip — I dimensions. D'après sa définition même, U fera partie de Ti ., , T..> :,, • ■ • , Ta ,.
Cela posé si nous appelons '1' et <\i" ce que devient ij> quand on remplace les coupures S„ ,, par les coupures S'„^ et S," ,^ ; nous avons déjà vu que ij; = d/". Quelle est la différence entre <]>' et ']' • Ces deux fonctions ne pcLivenl dillérer que par les intégrales y',, ,/ c'est-à-dire par des intégrales de même forme que les J„ ,, mais prises le long des variétés T,, ,,, nous aurons donc
la sommation étant étendue à tous les y„ </■ c'est-à-dire à tous les T,, 7, mais nous pouvons écrire
Jr.q — "J n.qi
FONCTIONS ABELIENNES.
en appelant y',, la même intégrale étendue à l'une des variétés telles que U dont se compose T,i.,y. Il vient alors
