IV. — Autre forme de la démonstration

Mais on aura avantage à mettre la démonstration sous une forme un peu différente.

Nous pourrons supposer d'abord que dans un certain domaine D, assez grand pour qu'un prismatoïde des périodes H y soit contenu tout entier, notre

P fonction abélienne F p(mt être mise sous la forme du quotient de deux séries

entières convergeant dans tout le domaine D.

Cela peut s'établir aisément en partant des hypothèses du paragraphe |)récédent, et cela de plusieurs manières, soit par la mélhode de M. Cousin, soit par ma méthode du Tome 2, soit par la méthode mixte du paragraphe précédent.

D'ailleurs P et Q n'auront pas de facteur commun s'annulant à l'intérieur doD.

Si nous augmentons nos variables d'une période fondamentale a,-, P(^',) et Q((',) deviendront P(<^, + a,) et Q{(>i+ ai). Les séries V{vi) et Q(^'i) convergent dans le domaine D; les séries !*((', — a,) et Q(c,- — a,) convergeront dans un domaine D' que l'on obtiendra en faisant subir à D une translation représentée en grandeur el direction pur la période a,-, f^es deux domaines D et D' H. P. — IV. (J3

498 FONCTIONS ABÉLIENNES.

ont une partie commune puisque D est plus grand qu'un prismatoïde des périodes. Dans cette partie commune, les deux séries r*(('i) et P((',-|-«i) convergent et leur rapport

P{^U-ai)

ne peut devenir ni nul ni infini. Si en effet il s'annulait par exemple, les deux

séries