PC"/), Q('',) = P
P(Pi-ai)
auraient un facteur commun P(('() s'annulanl à l'intérieur de D.
Nous allons maintenant définir une fonclion auxiliaire que nous appellerons W. Soient M et M' deux points ajant pour coordonnées, le premier x^, jA, le second x'^, y',-; soit
'• = v/- ( ^* — ^'k y- ■+- s ifk — y'k )-
leur dislance.
Soit M" un point ajant pour coordonnée Xi.-\-b'i.^ j'a + c'^ en désignant par b'j. cl c'i. les parties réelle et imaginaire d'une des périodes a'^. de notre fonclion abélienne (je veux dire, soit d'une période fondamentale, soit d'une des combinaisons en nombre fini de ces périodes fondamentales, c'est-à-dire d'une période quelconque).
Soit p la distance des points M et M".
On sait que r'---'' est une fonction liarmouique des x et des )•, et il en est évidemment de niéuie de p-' '''' . Supposons qu'on développe p--'-'' suivant les puissances des x et des j' et que l'on écrive
en représentant par <j l'ensemble des termes de degré o, i el 2 et par r l'ensemble des termes de degré supérieur. En envisageant la période zéro, on aura en particulier
11 est clair que t est encore une fonction harmonique. Nous poserons alors
W = Sx,
la sommation étant étendue à toutes les périodes, en y comprenant la période zéro.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 499
Il est aisé de voir que la série ir converge uniforménienl et l'on en conclul que W est une fonction harmonique des x et des j' satisfaisant à l'équation de Laplace AW = o, sauf quand le point M se confond avec le point M", c'eslà-dire quand le vecteur MM' représente une période quelconque en grandeur et direction.
Soient maintenant cp et ^\ deux faces opposées du prismaloïde II; soit a la période fondamentale correspondante, de telle sorte qu'on passe de J/ à cp en changeant c,- en f, + a,-. La face cp appartient alors à la fois aux domaines D et D'. Dans la partie commune à ces deux domaines, qui comprend la face <p, la fonction
logP(t',-a,)-logP(P,)
est holomorphe ainsi que nous l'avons vu. Nous appellerons U + i\ cette fonction holomorphe, et sa partie réelle U sera évidemment une fonction liarmonique des x et des )'.
Soit (f'jj'un élément de la face 'y et supposons que le point M' défini plus haut soit au centre de gravité de dw' . Soit U' la valeur de U au point M'.
Considérons alors l'intégrale
tiri dn
] = j (W^ -'-^llUlf/co'
étendue à tous les éléments rfo/ de hi face cp. Je désigne, bien entendu, par —p- dn
d\V et --T— dn les accroissements que subissent les fonctions U' et W quand le
point M' subit un déplacement dn., normalement à la face es.
Il est clair que J est une fonction harmonique des x et des i-, sauf cjuand le point M se trouve sur la face <p ou sur l'une de ses transformées par l'addition d'une période. Et en effet quand le point M coïncide avec le point M' (qui est sur la face cp) ou avec l'un des points M" (c'est-à-dire avec un des transformés de M' par l'addition d'une péiiode), la fonction W devient infinie.
La face <p jointe à ses transformées par l'addition d'une période forme une suite indéfinie de variétés planes à ip — i dimensions, parallèles et équidistantes. Soient S ces variétés.
Alors la fonction J est analvtique, sauf quand on franchit l'un des S. Qu'arrive-t-il maintenant quand le point M franchit l'un des S? Soit N" un point de l'un des S, et JN' le point correspondant de o. Déformons alors légèrement la face o dans la partie voisine du point N' et soit cp' le résultat de la
5oo FONCTIONS ABÉLIENNES.
déformation. Nous pounoas supposer que N' n'est pas sur cp', et que toute la partie de o qui n'est pas voisine de N' n'a pas subi de déformation et coïncide par conséquent avec la partie correspondante de o'.
Alors entre 9 et o' il y aura un petit domaine A dont la frontière se composera de la partie de -^ qui n'appartient pas à o' et de la partie de o' qui n'appartient pas à cp.
Nous considérerons également les transformés de w, de s' et de A par l'addition d'une période. Le point N" se trouve sur l'un des transformés de 9, mais non pas sur l'un des transformés de 9'; il est donc sur la frontière de l'un des transformés de A, que j'appellerai A'.
Cela posé, considérons l'intégrale J' qui est fonnée comme J, ni;ii.s étendue à 9' et non plus à 9. Elle sera analvtique sauf quand le point M sera sur 9' ou sur l'un de ses transformés.
La différence des deux intégrales est égale à
'-'-/(wf-ï")*.
l'intégration étant étendue à la frontière du domaine A. Elle reste analvtique sauf quand le point M est sur la frontière de A ou de l'un de ses transformés. Voyons par exemple ce qui se passe quand le point M est voisin de la frontière de A' et plus particulièrement voisin de ^" .
Quand le point M vient en iN " et le point M' en N', la fonction W -= ir devient infinie mais un seulement des termes de la somme ir devient inlini; soit Pi"''' le p'--'^'' correspondant. Alors W — p]'''' reste finie. Posons
Nous aurons
avec
les deux intégrales étant étendues à la frontière do A.
La fonction H est une fouclion iiarmoniquc, des a'el dos y' (nous avons déjà vu qu'elle est harmonique par rapport aux x et aux r. mais je la considère mainlenant comme fonction des j;' et des )'"i. Elle reste analylique à l'intérieur
FONCTIONS ABÉLIENNES. 5ol
de A, que le point, M soil intérieur ou eslorieur à A' on qu'il soit sur la frontière (le A', pourvu toutelois que ce point M, restant voisin de A' comme nous le supposons, ne soit intérieur à aucun des autres transformés de A.
De même la fonction U' est harmonique et analytique à l'intérieur de A. Dans ces conditions le théorème de Green nous enseigne que l'intégrale K est nulle. En ce qui concerne l'intégrale Ki, ce même théorème nous enseigne qu'elle est nulle si le point M est extérieur à A'. Si le point M est intérieur à A', notre intégrale Ki est égale, toujours d'après le même théorème, à
aU„,
x étant un coefficient numérique qui ne dépend que du nombre 2p des dimentions et U„ la valeur que prend U' quand la distance pi s'annule.
Or quand la dislance pi s'annule, c'est que le point M' vient au point de l'intérieur de A qui correspond à la position du point M à l'intérieur de A'. Or soil a'f.^= b'f.-\-ic'^ la période dont l'addition transforme le point N' en N" et A en A'. Quand les points I\I et M' occuperont les positions que j'ai dites, on aura
Xk = x'k -+- h\ , yk = y'k -I- c'k ; on aura donc
U„= U(a;*— h\, yk— c'*)
et
K, = :>.Vi{xk— b'k, yk—c\).
Donc quand M est extérieur à A', on a
Quand le point M franchit la coupure S dans le voisinage de N", pour pénétrer dans A, l'intégrale J n'est pas continue, mais l'intégrale .1' l'est. Donc .1' est la continuation analytique de J au delà de la coupure S. Quand M est intérieur à A', on a
J' = J — a\}{xk—b'k, yk—c'k).
Donc la continuation analytique de .F au delà de la coupure est
J — aU(x/-— b'k, yk — c'k).
C'est la conclusion luiale à laquelle je voulais arriver.
Le prismatoïde a 2/? couples de faces opposées, cp, et ij'i, 9^ et i]/^, . . ., cf.,/,
502 FONCTIONS ABELIENNES.
el ']>2p- Soient U,/ el J,y la fonclion analogue à U et l'intégrale analogue à .1, relatives à la face o,, .
Soit •!» une fonction qui dans le prisrnatoïde H est égale à
log|P(<.v)|
et qui dans le prisrnatoïde H' transformé de II par l'addition de la période a'^ = b\ + ?Cj. est égaie à
log |P(.,- -«,■)!•
La fonclion $ est donc harmonique dans chacun des prismatoïdes, sauf aux points pour lesquels F s'annule ou devient indéterminée. Mais elle est discontinue quand on passe d'un prisrnatoïde dans l'autre. De plus elle est périodique par définition.
Si nous désignons par a,,,, la période fondamentale qui correspond à la face dfq el par bi,,,el ci^q ses parties réelle et imaginaire, nous voyons d'abord que quand le point M franchit la face œ,, pour sortir de H, la fonction <1> subit un saut brusque égal à
log 1 P(r,- «,■.,)[ - logi P(P,) ; = u^(<'i).
Lorsque le point M franchit la transformée de la face cp,, par l'addition de la période a\ , la fonction <I> subit un saut brusque égal à
log I P(.>,- «;— a,,,,) I - log I P(,.,.-^ ai) I = \]^{Vi-a'i). Considérons maintenant la fonction
H = <I>-I- -(J,-l-Jo + ...+ J,„).
Nous voyons tout do suite que celte fonction est harmonique sauf en deux sortes de points :
i" Ceux où F s'annule; en ces points ce n'est pas S^, mais
<>-log|P(<',)| ou Q iogiP(„,.-«;)| qui est harmonique.
2° Ceux qui sont sur la frontière de deux ou plusieurs prismatoïdes, points pour lesquels les fonctions <I» et .1 subissent une discontinuité analytique.
Parmi ces points nous distinguerons : i" ceux qui n'appartiennent qu'à deux prismatoïdes et qui forment des variétés à 2/> — i dimensions, variétés qui ne
FONCTIONS ABÉLIENNES. 5o3
sont autre chose que les faces cp^ et leurs transformées; et 2" ceux qui appartiennent à plus de deux prisniatoïdes et qui forment des variétés à 2/) — 2 dimensions ou à moins de ip — 2 dimensions.
Eu ce qui concerne les premiers, on voit tout de suite que la fonction 12 reste analytique, et en effet 4> subit un saut brusque égal à U,y, i,, un saut brusque
égal à — aU,, ; de sorte que le saut est nul pour <!• J,y et par conséquent
pour Î2, et que i2 coïucide avec son prolongement analytique.
Il est aisé d'en conclure qu'il en est encore de même en ce qui concerne les autres points qui font partie de plus de deux prismatoïdes.
Soit en effet A l'un de ces points; il appartiendra également à plusieurs des faces cp,, ou de leurs transformées. Reprenons l'intégrale
étendue à la face 9. D'après l'hypothèse, le point A appartient à plusieurs des transformées de cp, par exemple aux transformées de 9 par l'addition des périodes aj", a^', . . ., «!"", transformées que je désignerai par cp"', cp''^', . . ., 9'""'. Si je représente alors par A"', A'-', . . . , A'"'' les points qui se déduisent de A par la soustraction des périodes a]", a)"', . . ., a\"'\ ces m, points seront tous sur 9, ou plutôt sur la frontière de la face <p.
Quand le point M viendra en A et le point M' en A''', celle des expressions p'--'-p qui correspond à la période a'*' et que je représenterai parp^"'"'' deviendra infinie. Nous avons donc m de ces expressions à savoir
qui peuvent devenir infinies quand M est en A et que M' est sur la face 9 ou sur la frontière de celte face. Toutes les autres expressions p-"^/' restent finies. Posons alors
Comme la fonction W reste régulière, quelle que soit la position de M' sur tp,
5o4 FONCTIONS ABÉLIENNES.
quand le point M est voisin de A, nous devons conclure que l'intégrale .1* est régulière dans le voisinage de A.
Quant ày, elle est égale à l'intégrale
-v — U' 1 di.,'
dn dii
étendue, non plus à 9, mais à l'ensemble des transformées cp'*', ç'-', . . ., cp'"''. Soit E cet ensemble. Il est clair que le point A appartient à la variété E et qu'il n'est pas sur la frontière de E (car dans ce dernier cas, il j aurait de l'autre côté de celte frontière une transformée de 9 dont A devrait faire partie et d'après noire hypothèse 9", 9'-', . . ., (p""' sont toutes les transformées de <p dont A fait partie).
L'intégrale (i) est une fonction holomorphe des x et des )', sauf quand le point M est sur E. Quand le point M vient en A, la fonction / éprouve donc une discontinuité analytique. Soit maintenant E' une autre variété à ip — 1 dimensions, ayant même frontière que E, de telle façon que E et E' limitent un domaine ô. Comme A n'appartient pas à la frontière de E, nous pouvons supposer que A ne fait pas partie de E'.
Soit y l'intégrale analogue à l'intégrale (i) étendue à E'. Ce sera une fonction holomorphe des x et des y sauf quand M est sur E'. Elle sera donc holomorphe dans le voisinage du point A.
Or en vertu du tliéorème de Green, les deux intégrales j et f sont égales entre elles en dehors du domaine ô. Donc l'intégrale j , et par conséquent aussi l'intégralei, est susceptible d'être prolongée analytiquement au delà de la coupure dans le voisinage du point A.
C'est là ce que je voulais d'abord démontrer.
Revenons maintenant à la fonction i2. D'après ce qui précède, cette fonction pourrait admettre pour coupures les diverses transformées des faces y^; mais elle est toujours susceptible d'être prolongée analytiquement au delà de ces coupures, même dans le voisinage de A. De plus nous avons vu que quand on franchit l'une de ces coupures, la fonction Î2 coïncide avec son prolongement analytique. La fonction iî reste donc analytique et harmonique en A.
II y aurait exception évidemment si au point A la fonction F s'annulait; ce serait alors il — log|P(i'i)| ou iî — log|P(p',- — a| ) | qui serait analytitpie et harmonique.
La fonction £2 jouissant des mêmes propriétés que la fonctions y du para-
FONCTIONS ABÉLIENNES. 5o5
graphe précédent et la foncMon V du tome "l'i, p. i6g el suivantes, pourra jouer le même rôle.
D'après la délinilion même de la fonction VV, ses dérivées secondes sont des fonctions périodiques des x el des y. Soit on effet DW une des dérivées secondes de W par rapport aux variables x el j ; plus généralement D sera un signe de dérivation par rapport aux. x et aux j-, et D' sera la dérivée correspondante prise par rapport aux varialjles x' et y'.
Si alors D est une dérivée seconde, nous aurons
DW = S Dt, Dp'--V' = Da -I- Dt.
Comme ît est un polynôme du second degré, Da se réduit à une constante; d'autre part comme p est une foncllon des différences x — x' , y — )'', nous aurons
Dp2-V= D'p---/'.
Comme r ne contient que des termes du troisième degré au moins, Dr est du premier degré au moins el s'annule avec les x el les j; nous avons
D'p2-2/'= Da-l-D-:.
Soit pu ce que devient p quand les x et les >• s'annulent. La formule précédente devient donc pour x = y ^ o :
D'p5--/'= Ds.
Comme nous savons que Du est une constante, celle formule nous donne la valeur de Do- et nous pouvons écrire
Dt = d'p'î-=/'— r>'pi-'-p.
La série
DW = S(D' p2-'-/' D' pg-V')
est absolument convergente. Quand x el y augmentent d'une période l'expression p---P se transforme en une autre expression p'--'-''. Quand x' el y' diminuent de la même période p--'-'' se change encore en p'-~-'', mais en même temps pj""'' se change en p'„'~'''- Nous pouvons écrire
DW = S(D' p' =-2P— D' p;,---''),
car les deux séries ne différent que par l'ordre des termes.
5o6 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Si maintenant X el y augmentent de la période en question, alors D^^ devient
2 (D'p' ---/'- D'p'ô-^/'), donc DW a augmenté de
Celte série est absolument convergente, et il est aisé de vérifier que la somme en est nulle. Donc DW est une fonction périodique.
Si DW est périodique, il en sera de même de D'ailleurs D<I> est périodique par définition et il doit en être de même de
Dt> = D<I>+ -SPJ,,.
Ainsi les dérivées secondes de Di2 sonl des fonctions périodiques des x et des y.
Nous allons introduire une autre fonction analogue à 12 et que j'appellerai i2'. A cet effet je commence par définir une intégrale analogue à J et que j'appelle
Cette intégrale diffère de J parce que D' y est remplacé par V; V est la valeur de la fonction V au point M', et je rappelle que V est la partie imaginaire de la fonction
l0gP(ç,,.-«,.)-logP(<'i),
dont U est la partie réelle.
On voit que dans le voisinage du champ d'intégration envisagé, la fonction V reste holomorphe.
Je définirai la fonction <!•' comme il suit; dans le 'pr\sm{MoiAeW' {vide supra) elle sera égale à
argP(i',-— aj).
Elle ne sera donc définie qu'à un multiple près de in.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 507
Je poserai
ol il est clair que la foaclion il' jouira des mêmes propriét(''S que la fonction ii, à cette différence près qu'elle ne sera déterminée qu'à un multiple près de 27r. Quelles relations aurons-nous maintenant entre iî et Q,' ; la fonction J étant analytique et harmonique sauf sur les coupures, et ayant pour prolongement analytique
J — aU(^A:— 6'*),
la dérivée DJ sera analytique et harmonique saiif sur les coupures et aura pour prolongement analytique
DJ — aDU(a:*— 6'^.)-
Ue même la dérivf^e DJ' sera analytique et harmonique sauf sur les coupures et aura pour prolongement analytique
DJ'— aDV(ari— 6;.)-
Mais U et V sont les parties réelle et imaginaire d'une même fonction analytique des variables complexes r. On en conclut que chacune des dérivées secondes de U est égale à une des dérivées secondes de V. On aura par exemple
DU = DiV.
Comparons maintenant DJ et DiJ'. Toutes deux sont harmoniques et analytiques sauf sur les coupures et elles ont respectivement pour prolongement analytique
DJ-=<DU(^i-è'i), D,J'-xD,V(xi — 6'^.) = DlJ'-aDU(a;i-è'i.)• Ainsi la différence DJ — DiJ' reste analytiquement continue sur les coupures; elle est donc analytique et harmonique dans tout l'espace.
De plus DJ de même que D|J' est périodique; notre différence est donc analytique, harmonique et périodique dans tout l'espace; c'est dire qu'elle se réduit à une constante (cf. Appell, Acta, t. 3).
Il résulte de là que les dérivées de DJ sont égales aux dérivées correspondantes de D,J'
(2) -J— DJ = -J— DiJ'; -J— DJ = -J— D,J'
dxk dxk dyk dyk
5o8 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Quelle est maintenant la significnlinn des (équations (3) DH = D,H',
H et H' désignant deux fonctions quelconques des x et des y. Pour nous en rendre compte formons explicitement nos équations
Nous avons
d'où
