DU

dxk

rfV ~ dyk

dyk

r/V dXk

d^M d^\ d'-V rf^V

dxkdxj dykdxj dxkdyj dykdyj

dyi^dxj dxkdxj dykdvj dxkdyj

Ce sont là nos équations (/j). Pour avoir les équations (3), il suffit de remplacer U et V par H et H'. Ces équations peuvent donc s'écrire

rf rfll rf rflT ^ :m d dW

dxk dxj dyk dx j dyi dxj dxk dxj

avec les équations qu'on en déduirait en remplaçant Xj par Yj- Ces équations signifient que

d\\ I r/ir r/H , — dW

dx i dXj dy j dy j

c'est-à-dire les dérivées premières de H + ^ — i H', sont des fonctions analytiques des variables compleies <•.

Nos équations (a) qui peuvent s'écrire

dxk dxk dvk dvk

signifient alors que les dérivées secondes de i + \J — i ,1' sont des fonctions analytiques des variables complexes c.

Donc J -f- y — i J' sera égal à une fonction analytique des c, plus un polynôme du second degré par rapport aux x et aux )-.

Comme O + \/ — i <&' est par définition une fonction analytique de c, nous

devons conclure que Q. + y — i £2' est égal à une fonction analytique des c, plus

FONCTIONS ABÉLIENNES. SoQ

ua polynôme du second degré par rapport aux x et auxjK; toutefois celte fonction devient logarithmi(|uement inlinie aux points où F s'annule.

Soit nr le polynôme du second degré dont il vient d'être question; alors

Q -f- ^/^ Q'ro et e = e'^+^'^^'-'^

sont des fonctions analytiques des variables complexes r; la dernière 0 est une fonction entière; en effet elle ne pourrait cesser d'élre liolomorplie qu'aux points où F s'annule, en ces points

1> -I- v/^ Q'— ra — log H(i-,— «; ) = .V

est holomorphe et par conséquent

fc) = |'(,,.,.-«;jeA

est holomorphe également.

Les dérivées secondes de 12 + ^ — i 12 — ro sont périodiques; nous l'avons vu pour i2; nous le verrions de la même manière pour i2', et les dérivées secondes de CT se réduisent à des constantes.

Il résulte immédiatement de là que 0 se reproduit multiplié par une exponentielle dont l'exposant est un polynôme du premier degré, quand les variables augmentent d'une période.

C'est une fonction intermédiaire pour employer l'expression assez mal justifiée de Briot et Bou(|uel. Notre fonction F est donc le quotient de deux fonctions inl(!rniédiaires.