V. Des fonctions intermédiaires

L'étude des fonctions abéliennes se trouxe ainsi naturellement raniem-e à celle des fonctions intermédiaires, c'est-à-dire des fonctions entières qui se reproduisent par l'addition d'une pi''ii(ide, à un multiplicateur |jrès qui est une exponentielle du premier degré.

C'est principalement dans le Tome 8 de V American Journal of Mathernatics (i886) (•), que se trouvent exposées mes recherches sur ces fimclions intermédiaires.

{' ) Voir ce Tome IV, p. 'iiX.

5lO FONCTIONS ABELIENNES.

On reconnaît lout de suite que les périodes et les innhi|ilicaleurs ne peuvent être quelconques.

Supposons que quand cj , augmentant d'une période, se change en i\ -+- ai./t, le logarithme de la fonction intermédiaire augmente de

de telle façon que le mulliplicaleur correspondant à la période rt,-./, soit e''* ; on voit que le nombre

*./=^ {^l.jCi.k— <^i.kai.i)

doit être égal à un entier multiplié par 27r\/ — i. 11 suffit pour s'en rendre compte d'exprimer que l'on obtient le même résultat en ajoutant d'abord la période a,-./,, puis la période cti.ji ou en ajoutant ces deux mêmes périodes dans l'ordre inverse.

Ces nombres M/,.y et les relations précédentes ont été étudiées par M. Frobenius dans le Tome 97 de Crelle dans son Mémoire sur les fonctions jacobiennes. J'ai repris cette étude à un autre point de vue dans le Mémoire cité de V American Journal.

Les fonctions intermédiaires se ramènent immédiatement aux fonctions 0; c'est-à-dire à celles où tous les nombres (pour un choix convenable des périodes) M/..y sont nuls, sauf/; d'entre eux qui sont d'ailleurs tous égaux enlre eux. En général cette réduction ne peut pas se faire de plusieurs manières essentiellement différentes; mais il n'en est pas de même quand les fonctions abéliennes considérées peuvent par une transformation convenable être ramenées soit aux fonctions elliptiques, soit à des fonctions abéliennes de rang moindre, c'est-à-dire dans les cas de réduction dont je parlerai plus loin.

Depuis M. Hunibert a reconnu <]u'il existe d'autres systèmes de périodes pour lesquelles, bien qu'on ne soit pas dans un des cas de réduction, il exisie des fonctions intermédiaires singulières réductibles de plusieurs numièrcs aux fonctions 0. Les fonctions de M. Ifumbert ont une grande importance.

Il est aisé de voir quelle est la signification de ces nombres M/,.y.

Prenons le prismaloïde des périodes H; c'est un domaine de l'espace à o-p dimensions. A chacune des

FONCTIONS ABÉLIENNES. 5ll

combiaaisons «les ip périodes q k q^ correspond un système de polyèdres en forme Ae parallélolopes ou de prisniatoïdes de l'espace à ^ dimensions, qui sont tous parallèles et égaux entre eux et qui sont au nombre de

C'est ainsi que dans l'espace ordinaire (^ip = 3), un parallélépipède a six faces (^:= 2) parallèles deux à deux (2'-''-'/= 2) et réparties par conséquent en trois

systèmes 1 -j — J=^ = 3 1 i el que d'autre part il a douze arêtes (q -- i) parallèles quatre à quatre (2'/' ■?= 4) et réparties par conséquent en trois systèmes

Parmi ces variétés nous avons considéré dans les paragraphes précédents celles qui correspondent à q ^= 2p — i et que nous avons appelées les faces du prismatoïde. Nous envisagerons maintenant plus particulièrement celles qui correspondent à q^i et que nous appellerons les arêtes, et celles qui correspondent à. q ^= 2 et que nous appellerons, non pas les faces, mais \es parallélogrammes (en abrégé prlg) du prismatoïde.

A chaque arête correspond donc une période, à chaque prlg un des nombres Mi.y.

Soit alors 0 une fonction intermédiaire quelconque et considérons l'intégrale

(/loKe

que nous prendrons le long du périmètre de l'un de nos prlg, correspondant par exemple au nombre M/,.y.

Le long du premier côté, l'intégrale sera

si les coordonnées du premier sommet sont i" ; le long du deuxième côlé, elle sera

Sa/./(""-i-«/.*) + li/.

le long du troisième

-î:o<,.<-(..,'' + «,-./) -pi,

et enfin le long du quatrième

5l2 FONCTIONS ABÉLIENNES.

L'inlôgrale lolale est donc

-f a/./"/.X — 'J-i.li'ii.i) = M/./-

Nous pouvons décomposer la surface de noire prlg en une inliuité de contours plans fermés infiniment petits; la somme des intégrales

<-/Ioa;e

prises le long de ces dlIFérents contours sera égale à M< y. Comme la quantité

sous le signe / est une diflérenlielle exacte, l'intégrale prise le long de l'un de

CCS contours sera nulle à moins que la fonction sous le signe / ne devienne

inlinie à l'intérieur du contour, c'est-à-dire que 0 ne s'annule à rint(;rieur du contour.

Nous sommes donc conduit à rechercher les zéros de 0 situés sur la surface des prlg; c'est-à-dire les intersections de la variété à ip — 3 dimensions 0 = o avec le plan du prlg.

Je supposerai que nous n'avons que des intersections simples, c'est-à-dire que ce plan et la variété 0 -= o ne sont pas tangents l'un à l'autre. Il est clair que sauf des cas exceptionnels, il suffira de déplacer d'une façon convenable le prismatoïde parallèlement à lui-même pour qu'un pareil contact n'ait pas lieu. D'ailleurs dans ces cas exceptionnels, où ce contact ne peut être évité, les résultats que je vais démontrer s'appliquent encore, grâce à une généralisation presque immédiate.

Quelle est la condition pour que ce contact ait lieu? Soient 0^ et 0i les parties réelle et imaginaire de 0, xi et >',■ celles de c, ; alors 0,, et 0i sont des fonctions des x et des >'; soient bu, et c,-.a celles de rt,/,.

La condition cherchée peut s'écrire

Nous supposerons donc que l'expression D n'est pas nulle en même temps que 0 à l'intérieur du prlg. Considérons donc un des zéros de 0 à l'intérieur de notre prlg. Notre intégrale prise le long d'un contour entourant ce zéro sera évidemment égal à

FONCTIONS ABÉLIENNES. Slî

Quant au signé il dépendra évidemmeat de celui de D/,.y. Nous pouvons faire des cunvenlions telles que ce signe soit celui de D/,.y.

Nous sommes ainsi amené à distinguer les zéros pour lesquels Dji.y est positif de cens pour lesquels D^.y est négatif; je les appellerai pour abréger les zéros positifs et les zéros né'gatifs; et j'arris^e à celle conclusion que le nutnbre entier

est égal il l'excès du nombre des zéros positifs sur celui des zéros négatifs. Quand on permute les indices A' et y', le nombre M/, ^ change de signe; Il en est de même de D/, y; le prlg reste le même, mais il est parcouru en sens contraire.

Ce résultat csl le même que celui que j'avais obtenu par une tout autre voie dans le Tome 9 des Acta mathemalica, pages 869 et suiv. ( ').

Considérons un segment de droite quelconque dont la projection sur l'axe des Xi soit t,i et dont la projection sur l'axe des )', soit ri,-. Posons

îp

ç< =^ i^kbi.i-- ■''1'=^ -JiCi.t;

les coefficients ,u ainsi définis pourront s'appeler les coefficients caractéristiques du segment considéré.

La longueur du segment est la racine carrée de

<|i(p) étant une forme quadratique définie positive par rapport à p.i, |j..i, . . . , p-2/,.

Lorsque les ;ji sont entiers, le segment représente en grandeur, direction et sens une période, 2/jL/,«,i-, et les quantités a correspondantes seront 2|jl<. a,-./,.

Cela posé, envisageons deux segments ayant respectivement pour coefficients caractéristiques p./; et p.'^, et pour projections sur les axes t,, ru et £) , r,[ . La surface du parallélogramme construit sur ces deux segments sera la racine carrée de

Si les p. et les jjl' sont des entiers, et que les deux segments soient des périodes,

(' } ]'oir Tome III, p. 44o-4^9'

5i4 FONCTIONS ABELIENNES.

nous pouvons nous proposer de calculer le nombre M correspondant; pour cela dans l'expression de M^y, il faut remplacer

"i.k, ^i.k, a;./, ^i.i par

Su/",-./, ï:,a/,2/,(, Z'i'iUjj. Z'x) -Xj i.

On trouve ainsi

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des deux indices A' ety. On volt que M est une forme bilcnaire par rapportaux coefficients ^et,u.'. De même pour calcider le nombre D correspondant à notre parallélogramme, il faut dans l'expression de D/; ,, remplacer b,,i., r, *, b, j. c, j par

i:aj-6,-./, SfX/C/j., S'a;. i,-.x. ^>/kCi.i,

ce qui donne

D(!j:, ul') = ZDi,j(in}x'j — ;-i'< a/').

Si nous distinguons encore les zéros positifs ou négatifs suivant le signe de D(,u, jjl'), nous verrons que l'excès du nombre des zéros positifs sur le nombre des zéros négatifs, est sur notre parallélogramme

Considérons maintenant une aire quelconque dans le plan de ce parallélogramme qui soit limitée par des segments représentant des périodes en grandeur et direction. Cette aire sera décomposable en un certain nombre ri de parallélogrammes égaux, et Ton aura

S étant la sur/ace de faire.

L'excès du nombre des zéros positifs sur les zéros négatifs sera

M(^ ,a') S M(;JL, jx')

? T. y/— I ■> - \l— I \l Q ( |Jl, 11.')

On remarquera que le rapport

FONCTIONS ABÉLIENNES. 5l5

ne change pas, ni qii.iud on inultiplie lous les [J- par un même facteur constant, ni quand on multiplie tous les [j.' par nn même facteur constant. 11 ne change pas non plus quand on fait subir à f/i et à p.', une substitution lint^aire, et en même temps à p./, et (j.'/. la même substitution linéaire.

Ce rapport dépend donc seulement au moins en valeur absolue de la direction du plan du parallélogramme; cependant il changerait de signe si la substitution linéaire dont je viens de parler avait un déterminant négatif.

Considérons maintenant une aire qui ne soit plus plane, mais qui soit limitée par des segments de droite représentant eu grandeur et direction des périodes.

Considérons les zéros de 0 qui sont sur celte aire; nous distinguerons les zéros positifs et négatifs d'après le signe de D(p., p.'), en appelant ;ji/, et jj.'^ les coefficients caractéristiques de deux droites menées dans le plan tangent à l'aire au point envisagé. Nous remarquerons que D{;jt, p.') ne change pas quand on fait subir à p.i et à ix\ une substitution linéaire de déterminant + i, et en même temps à p./- et jj.'^. la même substitution linéaire.

Je me propose alors de démontrer que l'excès N du nombre des zéros positifs sur celui des zéros négatifs est égal à

ch M(|j., [x )

V/-I \'il{ix,\x)

ch représentant un élément de l'aire, et p. et p' les coefficients caractéristiques de deux droites menées dans le plan tangent. Je diviserai la démonstration en trois parties :

i" Je suppose d'abord que l'aire se décompose en un certain nombre de parallélogrammes construits sur des périodes; la formule est alors une conséquence Immédiate de celle que nous venons d'établii-.

2" Je suppose que l'aire soit fermée.

Dans ce cas je remarque d'abord que N est nul. En effet l'aire étant fermée peut être considérée comme la frontière complète d'une variété V à 3 dimensions. Les points de cette variété où 0 ^ o formeront une ligne; les points où celte ligne percera la frontière pour entrer dans V seront les zéros positifs, ceux où elle percera la frontière pour sortir de V seront les zéros négatifs. Il en résulte immédiatement que le nombre des zéros des deux espèces est le même.

Gif) FONCTIONS ABÉLIENNES.

D'aulre part, je dis que l'inlégrale double du second membre est nulle; on peut l'écrire en effet

en désignant par [j-l les coefficients caracléristiques du vecteur qui va de l'origine au centre de gravité de l'élément du.

L'aire étant fermée, on voit aisément que chacune des intégrales / t/p." (/^u" est nulle.

3" Je suppose enfin que l'aire A soit quelconque, mais limitée par des segments représentant des périodes.

Dans ce cas je puis construire une aire A' ayant même frontière que A et décomposable en jjarallélogrammes construits sur des périodes. Le théorème est vrai pour A', il est vrai pour l'aire totale A + A' qui est fermée; il est donc vrai pour A.

Supposons enfin que l'aire A soit tout à fait quelconque et ne soit plus limitée j)ar des segments re|)résenlant des p(''riodes. Dans quelle mesure l'équation (2) reslera-t-elle vraie? Supposons que l'aire A soit très grande, que par exemple ses dimensions linéaires soient des infinis grands du premier ordre et sa surface un infini du second ordre. Je dis alors que légalité (2) dont les deus membres sont des infinis grands du second ordre, reste vraie à des quantités près infiniment grandes du premier ordre.

Nous pouvons eu effet construire une ligne brisée fermée, composée de segments représentant des périodes, et s'écartant peu du périmètre de l'aire A; je veux dire par là que la distance de cette ligne brisée à ce périmètre restera plus petite que la plus grande diagonale du prismaloïde II. Nous pourrons alors construire une aire A', limitée d'une part par le périmètre de A, d'autre part par cette ligne brisée, et dont la surface sera du même ordre que le périmètre de A, c'est-à-dire du premier ordre.

Soient alors N et J la valeur des deux membres de l'égalité (2), (c'est-à-dire de l'excès de l'intégrale double) pour l'aire A, soient N' et J' les deux quantités correspondantes pour l'aire A'; N -j- N' et J 4- J' les deux quantités correspondantes pour l'aire A-|- A'.

Comme l'aire A + A' est limitée par des segments représentant des périodes,

on a

N-t-N'= J-hJ'.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 5l7

D'aulre part N' ot J' sont du même ordre que la surface de A', c'est-à-dire du premier ordre. Donc

aux quantités prés du premier ordre. c. q. f. d.

Si en particulier l'aire A est plane, mais quelconque, on aura aux quantités près du premier ordre

Les /JL/, et les p.'^ sont les coefficients caractéristiques de deux droites quelconques du plan; nous n'avons plus besoin de supposer qu'ils sont entiers ou même commensurables.

Mais parmi les plans possibles, nous distinguerons ceux qui sont parallèles à un plan I' dimno [)ar les équations