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les p étant des coefficients complejoes quelconques.
Soient y,- et ô, les parties réelle et imaginaire de (3,-, nous pourrons envisager en particulier deux droites du plan P parallèles respectivement aux deux droites
3v ^ .IV yj. a-, XI. .n , .22 .
Ti V* ''I ''k — 2/ — '>li ï< ^k
Ce sont les coefficients caractéristiques de ces deux droites que nous appellerons respectivement [J-k et p', , de sorte que nous aurons
,,, ( ",'/= -6;./i;-i«, 0,= Sr,.x;-t/,,
et par conséquent
^ V' 7/7, ^'''77.) lu [- "• 717, ^ ■' 717, ) ' Or il est aisé de voir que
FONCTIONS ABELIENNES.
a pour parlie réello
Z ['■' Jjy, -"'Th-J =Z [-^ '" 717, "- "■' ' 7h-, , el pour partie imaî;inaire
^ ['''777,^ "■vrrj =-'2j {- '" ^ ^ ""Tjyj
ào sorte (jiie
est, essentiellement positif.
// /j'j' « plus alors que des zéros positifs.
Le rapport ç- représente alors la densilc moyenne des zéros dans iiu plan
parallèle à P, c'est-à-dire la limite vers laquelle tend le rapport du nombre des zéros contenus dans une aire située dans ce plan, à la surface de cette aire, rpiand cette surface croit indéfiniment. Cette densité moyenne est donc égale à
JQ
les coefficients [j. el [j! étant déterminés par les équations (4). Il résulte de là que pour ces valeurs des p. et p.', r(;xpression
est essentiellement positii'e.
Ce résultat peut se mettre encore sous d'autres formes. Posons
alors notre expression
deviendra une forme hilinéaire des t et des ;' que je puis écrire
FONCTIONS ABÉLIENNES. Ôig
Celle forme devra pire essenliellemeni posilive si l'on v fiiil
b = "h ?; , /^ = S,, ?! =f — ^1 J ?i'+// = Vi
Or par celle subslilulion nolro forme doit devenir une forme quadratique par rapport aux y el aux ô; celle forme quadratique doil être définie positive. Posons maintenant
I^x -t- v^— I i-tf = ■'•/. , i-tx — v'— I !■'•'* = ^î .
les équations (4) nous donneront
Il vient alors
de sorte que
'^' = ^:ùM/.:/{x,x!'^X,x",).
La forme à variables conjuguées qui figure dans le second membre est donc essentiellement positive, si ^ai.icXi est assujetti à être nul.
On reconnaît là l'inégalité de Riemann, généralisée par Frobenius (Crelle, l. 97, p. 2 1). Mais la voie par laquelle nous y sommes parvenu diirére beaucoup à la fois de celle de Riemann cl de celle de Frobenius.
Je crois que les considérations qui précèdent sont de nature à mieux faire comprendre la signification des nombres M/, /, et les relations de ces nombres avec la répartition des zéros des fonctions 0.
