VI. — Cas de réduction

Dans quels cas une intégrale abélienne appartenant à une courbe de genre y; peut-elle être réduite à une intégrale abélienne nppartenant à une courbe de genre moindre ?

Dans quels cas une courbe de genre /> admettra-l-elle q intégrales abéliennes de première espèce, admetlanl seulement zq périodes ? Ou, ce qui revient au même, dans quels cas une intégrale abélienne appartenant à une courbe de genre /> peut-elle être calculée à l'aide de svslémes de fonctions abéliennes de rang moindre que p, c'est-à-dire admettant moins de p variables ?

520 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Enfin flans quels cas des fonctions abéliennes de rang p peuvenl-elles être réduites à des fonctions abéliennes de rang moindre ?

Telles sont les questions qui ont occupé d'abord Weierstrass et M. Picard et que j'ai abordées à mon tour, d'abord dans le Bulletin de la Société mathématique de France (t. It2), puis dans le Tome 8 de V .tmerican Journal ( ').

Nous trouvons d'abord le cas où la fonction 0 peut être regardée comme le produit de p fonctions 0 elliptiques. C'est ce que j'appelle le cas singulier elliptique.

Puis nous avons le cas où la fonction 0 est le produit de plusieurs fonctions 0 abéliennes de rang moindre. C'est ce que j'appelle le cas singulier abélien.

Nous avons ensuite les cas, qui par une transformation d'ordre convenable, peuvent être ramenés soit au cas singulier elliptique, soit au cas singulier abélien.

11 n'y a pas d'autres cas de réduction.

Mais, circonstance remarquable, un système quelconque de périodes, difTère toujours infiniment peu d'une infinité de systèmes correspondant à des cas de réduction, de la môme façon qu'un nombre réel quelconque diffère toujours infiniment peu d'une infinité de nombres rationnels.

Enfin si un système de fonctions abéliennes peut de deux manières différentes être ramené par une transformation, au cas singulier elliptique, celte réduction peut se faire d'une infinité de manières différentes. C'est ce qu'avait déjà remarqué M. Picard dans certains cas particuliers.

Je me borne à énoncer succinctement ces résultats; mais je dois cependant expliquer le parti qu'on en peut tirer pour l'étude des fonctions abéliennes les plus générales.

On peut les utiliser de trois manières différentes :

i" On peut résoudre un problème dans le cas singulier elliptique, et montrer ensuite que le résultat ne peut être différent dans ce cas singulier de ce qu'il est dans le cas général.

C'est ainsi par exemple f|ne j'ai délenniné le nombre des zéros communs à p fonctions 0 ; et M. Wirtinger a également tiré un grand parti de ce procédé.

2" On peut profiter de cette circonstance signalée plus haut qu'étant donnée

(') Voir Tome III, p. 333-35i et ce Tome IV, p. 3i.S.

une fonclion abélienne quelcouque, on peut toujours trouver une infinité de fonctions abéliennes réductibles qui en difrérent aussi peu qu'on le veut.

C'est comme cela que j'ai déterminé la somme des zéros communs à p fonctions 0.

3" On peut étudier spécialement les cas qui ditl'èrent peu du cas singulier elliptique, ou du cas singulier abélien.

C'est ce que j'ai fait dans le Journal de LioiniUe iSçp ( ' ) quand j'ai voulu étudier les conditions auxquelles une fonction 0 de rang/* doit satisfaire pour être une fonclion 0 spéciale, c'est-à-dire une fonction 0 de Riemann engendrée par une courbe algébrique de genre/).

Enfin cest sur l'élude des cas de réduction qu'est fondée la démonstration du théorème B qui a été imaginée d'abord par Weierstrass et que nous avons retrouvée, M. Picard et moi, et publiée dans les Comptes rendus ('-).