VIII. — Fonctions spéciales

Quelle est la condition nécessaire el suffisante pour qu'une fonction abélienne soil spéciale ?

Riemann a démontré que pour les fonctions spéciales, la variété k /> — i dimensions

est une variété doublement de translation.

Sophus Lie a établi ensuite que cette condition n'est pas seulement nécessaire mais qu'elle esl aussi suffisante pour qu'une fonction 0 soit spéciale.

J'ai donné dans le Bulletin de la Société mathématique de France, 1 90 1 (-), une nouvelle démonstration du théorème de Lie qui me semble plus simple et plus synthétique que celle de ce géomètre.

(') Voir ce Tome IV, p. 3o2.

( = ) Voir Tome VI.

FONCTIONS ABELIENNES. 523

D'autre pari j'ni cherché daus le Journal de Liouvilli'^ ''^((■t, à approfondir celte condition.

J'ai cherché à l'exprimer en fonction des périodes, et dans les cas voisins du cas singulier elliptique je suis parvenu à former les premiers termes du développement de la fonction des périodes qui, égalée à zéro, (exprime que cette condition est remplie.

.l'ai d'ailleurs étudié la courbe qui engendre celle variété de lr,in>lalion; celte courbe satisfait ày? — i équations de la forme

les e étant des constantes. Mais ces équations ne suffisent jias pour déterminer cette courbe; elles définissent une courbe déconiposable dont la courbe envisagée n'est qu'une composante. Tous ces points étant presque évidents, j'ai cherché à me rendre compte des circonstances de cette décomposition.