P. — IV
Définition des fonctions r et i,,. Nous définirons les fonctions v et ('„ par les équations
di' du dv du
dr, rfÇ'
:A'„ dun
dv„ du,,
r/Ç dr, '
dr, ~ dt
Ces équations sont compatibles à cause des relations
Nous achèverons de définir les fonctions c et i'„ en leur imposant de s'annuler pour un certain point A de la surface S, différent du point O. Les fonctions c et ('„, si M est le point (^, rj), seront alors définies par les intégrales
Reprenons la région G, et appelons L le plus grand chemin qu'il faut parcourir sur la surface S pour aller du point A à un point quelconque de G; supposons qu'on ait pris n assez grand pour que les inégalités (3) soient satisfaites; on aura alors
I f — l'n I < 2aL,
ce qui prouve que la série
Vi +( l'a — l'i )+••■+ ( i'n+i — Cn ) -4- . . .
est uniformément convergente et a pour somme c.
Définition des fonctions z et :„.
Nous poserons
Les fonctions v et P'n n'étaient pas entièrement déterminées, car, selon le chemin que l'on prend pour aller de A en M, les valeurs de c, par exemple,
peuvent difl'ércr d'un multiple de 2~. Si, par exemple, on revient an point A après avoir tourné A" fois autour du point O, on a
V = (■„= lA-.
Au contraire, les fonctions z et z„ sont parfaitement déterminées. On aura
f/z I 'lu .du\ , . , riz,, I (lun ■'ln„\
,1.1- \ </Ç r/r, / ' rlx V ''i 'l'i I
ou, en posant u -\- iv .rz= co, m„ -|- ivn= w„,
- /> — ''Jn
rlz„
rtx
Nous pouvons prendre n assez grand pour qu'à l'intérieur de la région G on
ail à la fois
c?to rt'to,.
I 2 — Sn ! < s,
(Ix tlx
a et £ étant deux quantités données.
Je dis que si l'on considère tm point de G où
on pourra prendre n assez grand pour que
>tz
ô étant une quantité donnée. En effet, on aura identiquement
riz rlz„ rlwn rlw
rtx rlx rlx rlx f/w„ z — z„
<lx (z — a)(z„— a)^
d'où, si n est assez grand, (4)
dz Tlx
riZn rlx
mod»/ ( mod
mod j I — - )
rh> \
riz J inodi ; —
- '/) [ mod( G — (( ) — ; ]
El il est évident qu'on peut prendre £ et oc assez petits pour que le second membre soit aussi petit que l'on veut.
Propriétés des fonctions z et :„.
Il est évident, d'après la définition de la fonction ;„, que celle fonction ne peut prendre qu'une seule fois la même valeur à l'intérieur du contour C„. Si donc on prend l'intégrale
,lx
dx
le long d'un contour fermé intérieur à C„, on aura pour résultat zéro ou lir.. Je dis mainlenanl que la fonction :; ne peut prendre deux fois la même valeur. Supposons, en effet, qu'elle prenne la valeur a en deux points B et C; on pourrait toujours construire une région G contenant les points B et C, et ne contenant ni le point (), ni aucun point (autre que B et C) oii la fonction z devienne égale à a. On pourrait alors trouver une limite supérieure du module
de -T^ et une limite inférieure du module de ; — a quand le point .r est assujetti à rester sur le périmètre de G ; soient \ et [x ces deux limites. ( )n auia aussi
„od(,-^)
puisque le module de z est essentiellement plus petit que i.
On aura donc, en désignant par L la longueur du périmètre de G et en nous reportant à l'inégalité (4),
itz
dx
dx
[-1- mod((( ), + a) L,
l'intégrale étant prise le long du périmètre de G.
Il s'ensuit qu'on peut prendre n assez grand pour que la valeur absolue de la
différence des deux intégrales
r dz r '!^
^dx, -^
J z — Il ,J Z„ — (I
dx
soit aussi petite que l'on veut; or cela est absurde, puisque, si n est assez grand pour que le contour C„ enveloppe G, la première intégrale devrait être égale à 4i7t et la seconde à 2(7r ou à zéro.
THÉORIE GENERALE DES FONCTIONS. fi()
L'hypothèse faite au début doit donc èlro rejelée, et, par conséquenl, la fonction z ne peut prendre qu'une seule fois la même valeur. A une valeur de c; ne pourra donc correspondre qu'un seul point de la surface S, et par conséquent un seul sjstcuie de valeurs des fonctions j'i, y.,^ ..., i„o ^, puisque la surface S a été construite de telle façon que ces fonctions ne puissent avoir qu'une seule valeur en chacun des points de cette surface.
// résulte de là que yi, y.,, . . ., y,,, et x sont des fonctions uniformes
de z.
