SUR UNE CLASSE ÉTENDUE

DE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 103, p. 8ti2-S6^ (8 novenilire i8S6).

Soient

X, = cpi(«), .r2=i2('0> ''„= <rn('i)

n fonctions uniformes d'une variable ii. Soit m un nombre quelconque, mais de module plus grand que i. Soient ensuite

,c'| = Il ( //iM), .r'o = 9n( m«), .... .!■'„= ^iiiriiu).

Nous disons que ces fonctions ro admettent un théorème de multiplication, si l'on a

/ x', = F, (.r,, :r.,, .... .r„), , . ' X;= Fo(.r,, ,1-;, x„),

' .r;= F„(.r,, .ro, . .., .r„),

les fonctions F étant rationnelles.

Donnons-nous arbitrairement les fonctions 1" et proposons-nous de rechercher s'il existe des fonctions uniformes cp qui satisfassent aux relations (i). Pour cela les fonctions F devront satisfaire à certaines conditions qui s'aperçoivent immédiatement. Imaj^inons ipie les fonctions cp doivent toutes s'annuler avec u. Alors les fonctions F s'annuleront avec les ,r. Si donc on développe les F suivant les puissances croissantes des x, le développement commencera par des termes du premier degré. On peut toujours supposer que les termes du premier

degré de F, se réduisent à À;:c,; car, si cela n'élail pas, on n'aurait qu'à faire subir aux x un changement linéaire de variables. Nous écrirons donc

( 2 ) jc', = Xi .r, + 6, , jj'., = À.J ,t2 H- 8;, . . . , .l-'n = À„ J-„ -4- «„,

les 0 étant des fonctions rationnelles des x dont le développement commence par des termes du second degré.

Il faut alors qu'un au moins des 1., }^i par exemple, soit égal à //(.

i" .Supposons d'abord que tous les }. soient égaux à m,

et proposons-nous de trouver ii séries

.ri = 3t| H -t- [j, a--i- y 1 («■' -H. . . , ,/•., = y.., Il + 'i., 1/- -^71 II'-' -h. . .,

\ .,■„ = 7.,, Il -H ,î„ II- -h 7„ tt--i- . . . ,

qui satisfassent formellement aux é(|uations (2).

On reconnaîtrait sans peine qu'il en existe une infinité et que l'on peut même choisir arbitrairement les n coefficients de «,

Comparons maintenant ces séries aux séries {3bis), auxquelles conduisent les équations

•'■■| = |'«k'i+ i — bH ' {■ibis) \ ' I — o S

On pourra prendre b assez grand pour que chaque terme du développement

de ' "' ' " soit positif et plus grand que les termes correspondants de ©i,

de Q,, . . ., de &„. Dans ces conditions, chaque terme des séries (3) sera plus petit que le terme correspondant des séries (3 bis). Or il est aisé d'obtenir ces dernières, qui sont des fonctions rationnelles très simples.

Les séries (3 bis) et, par conséquent, les séries (3) sont donc convergentes. Il existe donc des fonctions qui satisfont aux équations (2); je dis qu'elles sont uniformes. En elTet, si elles le sont dans un cercle de rajon p, elles le seront dans un cercle de rayon | m |p et, par conséquent, dans tout le plan.

2" 1, est égal à tu, les autres /. sont difl'érenls de m; je suppose, de plus, qu'aucun d'eux n'est une puissance entière de m.

Il existe encore ici des séries (3) qui satisfont formellement aux équations (2) mais on ne peut plus choisir arbitrairement les coefficients x. Le premier d'entre eux, 7,, reste seul arbitraire, les n — i autres doivent être nuls.

Pour en démontrer la convergence, il faut comparer, comme plus haut, les équations (2) à des équations (a 615) convenablement choisies. Nous prendrons

(2 bis) j-'i = /( .f , -!- 6' ,

0 = ;-j , S> = j'i -I- Xo -I- . . . -(- j:-,, .

On pourra prendre le nombre positif h assez grand pour qu'un terme quelconque de 0' soit positif et plus grand que le terme correspondant de 0,, et le nombre positif A assez petit, quoique plus grand que i, pour que

/il'— h < I y-— m \.

On démontrera ensuite, comme plus haut, que les séries (3) sont convergentes et définissent des fonctions uniformes dans tout le plan.

Nous sommes donc conduits à une classe très étendue de transcendantes uniformes qui admettent un théorème de multiplication où les fonctions rationnelles F restent arbitraires dans une très large mesure. On reconnaîtrait sans peine qu'une pareille fonction uniforme peut toujours ôlre regardée comme le quotient de deux fonctions entières jouissant de propriétés analogues.

Ces transcendantes contiennent comme cas particuliers les fonctions elliptiques, les fonctions 0 et les transcendantes obtenues en égalant à zéro toutes les variables, moins une, dans une fonction abélienne.

SUR l]NE CLASSE NOUVELLE

DE

Journal de ]fal/témalii/acs, 4' série, t. 0, p. 'iiS-SGô (i.Sijo).

Définition.

Nous dirons qu'un système de fonctions d'une varialilc u

(l) ri'")' 92C") ?«(")

possède un théorème d'addition fjuand

ziiu-hv), ?2(;<-l-r), =„(«-+-(■),

pourront s'exprimer en fonctions rationnelles de

ri('Oi ?î('Oi — ?"(") et

?,(p), =->(r), ..., -oniv).

Soit maintenant /» un nombre quelconque réel ou imaginaire, mais Ici (pit:

■ I »i I > I • Nous dirons que le système

(i) =iC"). ?=(")• ••■> 9«(«;

admet un théorème du multiplication, si

çiim«, ,1, -i-ii mi<) z„t inn)

peuvent s'exprimer en fondions rntionnelles de

Il est clair, d'après ces définitions, que si le systcme (i) possède un théorème d'addition, et siyj est un entier quelconque,

s'expriment rationnellement par rapport à

Tout système qui possède un théorème d'addilion possédera donc également une infinité de théorèmes de multiplication.

Les mêmes définitions peuvent facilement s'étendre aux fonctions de plusieurs variables.

Par exemple, le système

OU le système

siiK. en M. dn(/,

possède un théorème d'addition et une infinité de théorèmes de multiplication. Considérons maintenant un système complet de fonctions abéliennes quadruplement périodiques de deux variables

\'[iii, «'), l'"ji «, li u ■■■, f„{i.i, II'): ce système admettra un théorème d'addilion, c'esl-à-dire (\ue les

Fi( Il -h V, u' -h v')

s'exprimeront rationnellement à l'aide des

l'",( II, II' ) cl. dos !'',( r, v' ).

Si nous faisons «'= (•'= o, nous aurons un système de fonctions d'une seule variable

F, (il, o), F-H"! ") •••, F«(«, '>),

qui admettra un théorème d'addition et une infinité de théorèmes de multiplication ; car

I''i(k -(- (', o), ('"«(tt -H (', (i), .... F„(« -H r, o)

s'expriment rationnellement à laide des

Vi(ii. <> ) et dos l'i{v, o).

Il y a aussi des fonctions qui admettent un théorème de multiplication sans adiïiettre un théorème d'addition.

Considérons en ell'et lu fonction t)(M), et soit

Çi(u} = B-(ii—~\, z.,(ii) = e{ii — y.)B{u-hy: — w'),

a. étant une constante quelconque.

Soit ensuite/) un entier quelconque, et envisageons les expressions suivantes

q étant un autre entier plus petit que p- .

Ces diverses expressions admettront la période oj et seront multipliées par un certain facteur exponentiel quand u se changera en u -\- w'.

Soit

«("- t) = -'"«(" -t)' il vient

9'((m -I- u') r:ji:'—l{u -f- (o'j = eV= '"';'{(«) z.i:'^—l{u).

Cherchons le facteur exponentiel relatif à

0\{pii) el à Y.;(/)M. ).

=.|(/JK 1.

Il vient

ri

: il(/)«

^pM) =

tu\ '

Et de même

-1- w'ij ;

Il sort de là

ue

(lu

- un

Yi(/"')e - et ^■.(pu)c

ont même multiplicateur que les fonctions

et par conséquent s'expriment linéairement à l'aide de ces fonctions.

54o NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES.

Donc 'Jiipii) et 0'i{pu) sont des foaclions linéaires des diverses quanlilés

au

e - <p'f (a) cpÇ"~''( î<). Ce sont donc des fonctions entières rationnelles et

homogènes de

an

e-, çi(«) et =.;(«).

D'autre pari e - est également une fonction entière de e'- . Donc le système

admet une infinité de théorèmes de multiplication; je dis une infinité, car on peut donner k p telle valeur entière que l'on veut.

Je me propose de rechercher quelles sont les fonctions qui admettent un théorème de multiplication et qui ne présentent pas pour m = o de point singulier essentiel.

J'exclus ainsi de très nombreuses catégories de transcendantes, par exemple celle-ci. Soit la fonction 9(m) qui se rattache aux fonctions (■)

;(«) = }ùq"''u'-"' ( III vaiianl de — x i'i -h x). OÙ

il vient

ce qui monire que le système

II, z{u)

admet un théorème de multiplication. Mais le point M = o est pour 9 (a) un point singulier essentiel.

Considérons donc un svstèmo

^l(ll), =!(«), 9"'");

admettant un théorème de multiplication et ici qu'aucune des fonctions du système n'ait un point singulier essentiel en u = o. Je puis toujours supposer que

Çl (o) = l2('>) =• • • = I„( ol = O.

NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. 5/|l

En eilet, supposons qu'il u'en suit pas ainsi. Si <Ui esl tini. je pourrai toujours poser

=-; (") = ?;(")— ri("')-

et si 9/(0) est infini, je poserai

Il esl clair qu'on auia

?;(") = r'-'(") =• • ■= r'ni'j) = ',

et que le système cpl ( » ) atlincllra connue le système 'v,(w) un théorème de multiplication.

Je ferai une iiypollièse de plus; je supposerai d'abord que le développement des fonctions tp/(w) suivant les puissances croissantes de u commence, pour l'une au moins de ces lonclious, |)ar un terme en 11.

Si de pareilles fonctions existent, elles sont nécessairement uniformes.

En effet, comme le point « = 0 n'est pas un point singulier essentiel, on peut trouver une quantité positive p, telle qu'à l'inlérleur du cercle

les fonctions o,(m) restent uniformes.

Mais les fonctions cp,(wM) s'expriment rationnellement à l'aide des fonctions (p,(u); si donc j m j < p, les fonctions cp,(//iM) sont encore unifoiines.

Donc les fonctions tfi{u) sont uniformes, pourvu que

On démontrerait de même successivemeni qu'elles sont uniformes, [lourvu que

c'est-à-dire pour toutes les valeurs de u.

Ce raisonnement peut servir à démontrer (jue les fonctions elliptiques et abéliennes sont uniformes. C'est même la seule démonstration rigoureuse qui ail été proposée jusqu'ici, à l'exception des démonstrations indirectes où l'on commence par définir la fonction 0. La démonstration de llieuiann dans sa lliéorie des fonctions abéliennes est une de ces démonstrations indirectes; la démonstration de Clebsch et Gordan ((Théorie der Abelschen Functionen.

8° Partie) n'est pas rigoureuse. Quant aux domonslralions d'Abel et de Jacobi, elles sont en réalité fondées sur l'existence d'un théorème de uuiltiplication.

Il peut se faire que le théorème de multiplication soit tel que les cp,(«i«) s'expriment en fonctions non seulement rationnelles, mais encore entières des <Si{u).

Dans ce cas, les fonctions (»,(«) sont des transcendantes entières.

En elTet, si les fonctions cp,(M) sont holomorphes à l'intérieur du cercle

il en est de même des fonctions 'j,{r/iu), de sorte que les fonctions 9,(i<) sont holomorphes à l'intérieur du cercle

\ u\ = \ III \o.

Par un raiscjnneinenl Imit pareil à celui qui piécède, on démontrerait qu'elles sont lioloinorphes dans tout le plan.

Forme des équations fondamentales.

Nous appellerons équations fondamentales les équations qui définissent le théorème de multiplication et qui peuvent .s'écrire

!ii {inu) = Ri [9i(m)i t2(m)> • • m ~niu)],

Ri, Rj, . . . , R„ étant des fonctions rationnelles. Je dis d'abord que l'on a

En elTet, par hypothèse,

Si donc on fait dans les équations (2) 11 = 0, le premier membre s'annule et le .second se réduit à R,(o, o, . . ., o); donc la fonction R; s'annule quand tous ses arguments s'annulent. <■■ Q- f. d.

Los fonctions rationnelles R, doivent satisfaire encore à une autre condition.

Posons

tlu

pour u = o.

Si, dans les équations (2), on subsliluele développemenl des fondions o;(î<) suivant les puissances croissantes île u, puis qu'on égale dans les deux menibrcs les coefficients de u, il viendra

//iA;= B,-.i A,-i- li,viA.2-+-. . .-(- l{,-.„ A„ ((■ = !,•), II).

D'après une hypothèse que nous avons faite plus iiaut, lous les A, ne sont pas nuls à la fois. Si donc nous posons

li, , lî,, 2— S

on devra avoir

En d'autres termes, l'équation en S, F(S):=u a une racine égale à m. Posons

les a,-, A- étant des constantes.

On peut se servir de ce changement linéaire de variables pour ramener les fonctions R à une expression plus simple.

V^oici comment nous nous servirons de cette faculté : je me contente d'indiquer ici le résultat et j'omets la démonstration, que le lecteur retrouvera sans peine, car elle est fondée sur les principes les plus simples de la théorie des substitutions linéaires.

Si l'équation en S a toutes ses racines distinctes, on pourra supposer que, après le changement de variables, on a

S], So, . . ., S„ sont alors les diverses racines de l'équation en S, et l'on aura, par exemple,

Si = »!.

Supposons mainleaant que toutes les racines ne soient pas distinctes. On pourra encore supposer qu'après le changement de variables

et que les B, /. sont nuls si i < A" ou si, / étant plus grand que A, S; est difTérent de S/,. Quant aux B,,<, pour lesquels on a

nous n'eu pouvons rien dire.

Si, en pailiculier, l'équation en S a toutes ses racines égales à m, il vient

Formation des séries fondamentales.

Cherchons à satisfaire aux équations (2) par des séries de la lornie suivante

OÙ les Af sont des coefficients constants, et tout d'abord cherchons à j satisfaire fonnellement. Pour cela nous n'avons qu'à appliquer la méthode des coefficients indéterminés.

Substituons les séries (3) dans les équations (2) et égalons dans les deux membres les coefficients de u'', il viendra

(4) m^Af = lî,-,, A';-4- B,v,A'?-r-...-T- B(,„A/^-i- r./' ii = \,-î, ...,n);

les Gf représentent un ensemble de termes dépendant des

A/, Af, ..., Af-',

mais ne dépendant pas des Af ni des A'j, où q >/'•

On peut supposer qu'on ait déterminé par un calcul préalable les

A,', A,-, .... el les Af-'.

On aura alors, pour calculer les Af, le système des équations linéaires (4)- Ce système pourra toujours être résoin, pourvu que son déterminant ne soit pas nul. Or ce déterminant est égal à F{mP).

Si aucun des déterminants F(m-'), F(m'), ..., n'est nul, on pourra alors calculer de proche en proche les coefficients des séries (3), pourvu qu'on ait

coininencc'' par calculer les A,' ; or les A,' nous sont donnés par les équations

(4 i'O '"A/ = l{,,i Al ^-. . .-H l3/,„ a;,,

qui ne dilTèrenl pas Je celles qui ont été envisagées dans le paragiaplie précédent; or ce système (4 his) peut toujours être résolu si F(w) est nul.

^« donc on a

on pourra toujours trouver des séries de la forme (3), que nous appellerons séries fondamentales et qui satisferont formellement aux équations (a).

Il nous reste à chercher combien ces séries contiennent de constantes arbitraires.

J'observe d'abord que, si ¥ [ni'') n'est pas nul, le système ne comporte qu'une solution unique.

Pour savoir combien les séries fondamentales contiennent de constantes arbitraires, il nous suffit donc de savoir combien le système (4 bis) comporte de solutions linéairement indépendantes.

Je suppose que l'équation

admette q racines égales à m.

On aura alors

M, , = B.,,., = . . .= 15,^ ,, = m, \',j!yi m (i\i>q).

D'autre part,

si / << /.■ ou bien encore si i > r/, k . J (j.

Dans ce cas les n — q dernières équations (4 his) ne contiennent que les n — (j variables

et leur déterminant par rapport à ces n — (j variables est égal à

On liiera donc de ces équations

tl. I'. — IV. Gcj

ce qui monlre que les équations (4 bi^) ne pourrout en aucun cas comporter plus de (/ solutions linéairement indépendantes.

Les q premières équations (3 bis) ne contiennent que les q — i variables

Al, A,,, . . . , .V,/| ■

J'ajouterai même que la première de ces équations se réduit à une identité; si nous la laissons de côté, il nous restera cj — i é(piations et q — i variables, et leur déterminant sera égal à

A= l!,.,li:;,,li..,:;...B,/,,,.

Si ce déterminant n'est |)as nul, on aura

Ai = A.; = ...= A,;i = o,

de sorte cpi^il n'y aura plus qu'un coefficient arbitraire, à savoir A,'.

Supposons maintenant (]ue ce déterminant soit nul; dans ce cas, il est aisé de voir que le système ( i bis) comporte au moins deux solutions linéairement indépendantes.

Appelons (5) le système d'équations linéaires formé par les

•^i'iui' 3'''""' jîicnir q]i'mv

équations (4 bis) et où les variables sont

Al, a;, ..., A.;,.

Considérons le déterminant A de ce système (5). Si A est nul, ainsi que ses uiineurs des // — 2 premiers ordres, le système (5) aura /i — i solutions linéairement indépendantes; et, comme A,J reste arbitraire, le système (4 bis) en admettra h.

Donc les séries (3) contiendront des constantes arbitraires.

Soient ^i, [i-,, . . . , [3/, ces constantes. ()n voit que

seront des fonctions linéaires et homogènes des (3,-.

Les Af seront des polynômes entiers par rapport aux [3. Supposons en ellet que cela soit vrai des A,', des .V;, ..., des Af ' , cela sera vrai également des Cf et par conséquent aussi des \'/.

Si le sj'stème

ri(«), 9-2(")> •••' r"^")

admet un ihéorème ilo multiplicalion, il en sera de même évidemment du sj-.lémo

où Y est une constante quelconque.

Si donc dans les séries (.') on rem|)!iice u par ••«, ees séries ne cesseront pas de satisfaire aux équations (2); changer u en ym, cela levienl à changer les valeurs des constantes ,S.

Or changer u en •'« c'est changer \] en yA.^' cl, par conséquent,

en

Quand on change u en v«, Af se change en y''Af.

Donc, quand on change p; en y|il/, Af se change en 'fk'^.

Donc Af est un poljnônie entier homogène et de degré p par rapport aux (3.

Donc les séries (3) sont ordonnées suivant les puissances croissantes de

'{-iU. [jo«, ... et 'Pli u.

Si nous posons

nous aurons un système de 11 fonctions dépendant de h variables

Ui, «2, .... ui, et admettant un théorème de mulli|)lication ; car on aura

0,( /?!«,, 7/!(/5 inUl,\ = lî,[çi(«l, «2. .... (//,;, 92("l. "2- • ■ -, "/.)• ?n("l- «i- •■•r "/l)]

Cas particuliers.

Supposons, en particulier, que l'on ait

M el a soni deux conslanles el Fou a jiosé pour abréger

J'observe d'aliord que le délerminanl des équations (4 Ois) a Unis ses élémeuls nuls, ce qui me permet de conclure que les séries (3) contiennent /( constantes arbitraires; je puis donc me donner arbilrairenicnl li.'s n coefficienls

Je remarque ensuite que l'on a

9, (»((/)— zi.{iiiu ) = i)i[çi{it) — 9x('Oj: d'où

9,(«)-9/(") = (A,'-AijH.

Nous avons, d'aulie pari,

b ( mu ) = mb(ii) -•. — — • •

Si l'on suppose, en particulier,

vient

„ , m S ( Il :

i>(jtiii )

OU

d'où

1 — xS{li ) S ( niu ) mS(u)

■j.S(niu ) III — I — 2 S( (( ) ' S((0 s

//( — 1 -^ X b ( « ) III — I

en posant, pour abréj^er,

Il vient donc finalement