III — I

Ainsi, dans le cas de M = - ntx, les fonctions Oi{u) existent et sont rationnelles en M.

NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. 'ii;)

Donc, dans ce cas part icnlier. les séries (3) convergent.

Je vais examiner [)lus paiiiculirTemcnt le cas où m el a sont réels positifs et où

sont réels positifs.

Je dis que dans ce cas tous les coefficients des séries (3) sont réels positifs. En efTet, supposons que cela soit vrai des

jo dis que cela sera vrai des Af.

En elTel. les équations (4) s'écrivent

( m/'— m )Af = Cf.

Cf est manifestement un polynôme entier à coefficients entiers |)ositifs par rapport à m, à a, aux A/, A,', .... Af~'. Donc Cf est réel et positif.

D'autre part m'' — m est réel positif.

Donc il en est de même de Af . c. n. f n.

Convergence des séries fondamentales. . Reprenons les équations fondamentales

(2) z,( mu I = Ui\:^i(li )],

et les séries fondamentales

(3) .?,f ?/;= lAf «/'.

.le vais chercher à former d'autres équations fondamentales

qui seront satisfaites formellement par les séries fondamentales

Je vais chercher à m'arranger de façon que les équations (2') soient de la forme particulière qui a été intégrée dans le paragraphe précédent el que

chacun des coeflicients A/' soit réel positif et plus t;rand en valeur absolue que le coetTicienl correspondant A^'.

La convergence des séries (3') et par conséquent celle des séries (3) sera ainsi établie.

J'observe d'abord que l'on peut toujours trouver deux nombres réels et positifs, M et a, tels que, si l'on considère le développement des deux fonctions

li,(./-,, .;-., . . ., J.-,,)— B;,,.ri— B,,-.,r« — . . .— B,,„^-„ et

M(Xt-h X-i-h. ■ .-h X,,)-

I — a(j;i-t- XoH-. . . + a;„)

suivant les puissances croissantes de x,, .r^, ..., x„, tout terme du second développement soit réel positif et plus grand en valeur absolue que le terme correspondant du jiremier.

Il importe d'observer que ces deux développements ne contiennent ni terme indépendant des x, ni termes du premier degré par rapport aux .r,.

Soient <7 et 3 deux nombres positifs que je me réserve de déterminer plus complètement dans la suite. Je prendrai m' =^ q.

Posons, pour abréger,

S = o'i ( « ) -t- =■ ï ( « ) -î- • ■ • -+- ?«(")■ Nous prendrons

de sorte que les équations (2) s'écriront

Pour achever de déterminer les séries (3'), il faut encore se donner les n coefficients

Nous prendrons

av = av=...= a;;.

De plus, A',' devra èlre réel positif et plus grand en valeur absolue que A],

NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. 55l

11 résulle de là qui' l'on aura ('■galcmcnl

9;('0 = ?H«), A7'= AY' = ...= a;/'.

De plus loules ces quaiilil(''s A,'''seronl réelles et posilives. Elles salisferonl à des équations analogues aux équations (4) et qui s'écriront

C|'' sera un poljn(')me entier à coefficients réels et posilils jiar rapport aux quantités

et l'on aura d'ailleurs

Je supposerai

(6) 7>i, -^p>M, Fi>a.

Dans ce cas, si l'on envisage les deux fonctions

Tii(x,, x«, ..., j-„), B; far,, j-,, . . ., x„)

qu'on les développe suivant les puissances des.r, chacun des termes de degré 2 ou de degré supérieur à 2 du développement de R) aura son coefficient plus grand en valeur absolue que le coeificient correspondant de R,. (Je répète que ce que je dis là ne s'applique qu'aux termes de degré au moins égal à 2 et ne s'applique pas aux termes du premier degré.) On peut conclure de là que la quantité appelée plus haut Cfjouit de la propriété suivanlc.

Nous avons vu que C/' est un poljnôme entier par rapport aux A.'/'(hSp — 1) et que Cf est de mémo un poljnôme entier par rapport aux A''{h<p — i).

Eh bien, chaque coefficient du polynôme C/'esl plus grand on valeur absolue que le coefficient correspondant de Cf.

Cela posé, écrivons les équations (4)

(4) A«/'Af-^r,,/, , \ ;; = (:/■.

Le déterminant de ces équations est égala F (m''); appelons

les divers mineurs du premier ordre de ce déterminant.

55j nouvelles transcendantes uniformes.

On tirera des équations (4) les équations suivantes :

V(mP) Af = F, i(m/' M-'/,'+ Vi«{mi' ) O'. -h . . . -f- F,,„ (iW) C^.

Par hypothèse, F(mf) ne s'annule pour aucune valeur de /> plus griïnde que 1 . D'autre part,

V( ml' \

considérée comme fonction de m'' est une fonction rationnelle dont le numérateur est un polynôme de degré n — i et le dénominateur un polynôme de degré n. Donc, quand y) tend vers l'infini, cette fonction rationnelle tend vers zéro, et

inrFij , 1- ■. r •

— p — tend vers une limite tinie.

On peut donc trouver un nombre positif H, tel que

/11/' Viij( nil' I i

Vi mr)

II

et cela pour toutes les valeurs de i, A et p, sauf pour /> = i . On a alors

(7) \m\''\\('\<U[\iV;^ + .i:ri+...+ ^Cri\.

Je supposerai que l'ou choisisse q de telle sorte que

m II'

ql'-q

Il est toujours possible de choisir q et (3 de façon à satisfaire aux conditions (6) et (8).

Soit (/„ un nombre compris entre i et | m |. Soit

loge /(Il )

L'équation en (,

log; m , — l(>g(7o

admet une racine supérieure à i. Comme elle n'a qu'une variation, elle n'en admet qu'une. Il est vrai que/j„ n'est pas en général un entier, mais Laguerre a montré que la règle de Descartes s'applique encore quand les exposants ne sont pas entiers.

NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. TlSS

D'ailleurs il est aisé de voir que. pour '/ > i ,

est constamment croissant.

Soit donc 71 celte racine plus grande que i. Je dis que, si l'on fait

l'inégalité (S) sera satisfaite tant pour les exposants/) supérieurs à />o que pour les exposants /> inférieurs à/),,.

En effet, pour/) >/'„, on a

I m [/' m /' ~~ \ ' /H / " \ m J /il!

et pour p <.])„, on a

' m III I'

iiW "' iiW

Une fois q déterminé, il reste, pour satisfaire aux incgalilos ('fi), à faire

Cela posé, je dis que

En effet, supposons que cela soit vrai des

je dis que cela sera vrai des Af.

En effet, les coefficients du polynôme C/' étant plus grand que ceux du pohnôme Cf, on aura

d'où

• C',' -H c; -H . . . -t- c;; ; < cr,'' -1- cv' -1- . . . ^- c;," = « c,"

puisque

L'inégalité (7) devient alors

D'autre pari, l'équalion (4') donne

ql'-q

OU, en tenant compte de (8),

(9) jAf |< a;/'. c. 0. F. n.

Daprès le paragraphe précédent, les séries (3') convergent el, si l'on a égard à l'inégalité (9), on verra que les séries (3) convergent également. Elles définissent donc des transcendantes qui jouissent d'un théorème de multiplication et qui par conséquent sont uniformes.

Donc il existe des transcendantes uniformes qui admettent un théorème de multiplication quelconque, pour l'u que F(w) [dclcrmiuMiii dus équnilons (4 bisy\ soit nul et que F (m'') ne soit pas nul pour p >■ i .

Si le détcruiinaul des équations (^'\bis) est nul, ainsi que ses mineurs des h — I premiers ordres, ces transcendantes contiendront h constantes arbitraires

Elles en contiendront donc n, si tous les éléments du déterminant sont nuls, c'est-à-dire si

Fonctions entières.

Nous avons vu que, si les fonctions R, se réduisent à des polynôuies entiers, les fonctions 9,(M)sonl des transcendantes entières.

Si, au contraire, les fonctions R,- ne sont pas des polynômes onliers, les fonctions Oi{u) sont méromorphes, mais non holomorphes dans tout le jdiin.

Mais, dans ce cas, on peut regarder chacune des fonctions Oi{u) comme le quotient de deux fonctions entières qui admettent un théorème de multiplication.

Supposons, en effet, que les fonctions R, soient des fractions rationnelles et réduisons ces fractions au même dénominateur. Posons