PI* P
l\, l*-j . . . , P,i, P„^i sont des polynômes enliers par rapport à cpi (a), 02(î/). . . . ,
NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. iâS
cp„(»); les II premiers s'anaulenl quanti 'Ji^[u), o^(u), . . ., t>/i(") s'iinniilcnl, et il est permis de supposer que P„ , i so réduil à i pour
Soit q le plus grand des degrés des polynômes Pi, l'a, . . . , P,, i i-
Dans nos polynômes remplaçons oJu), 'si-Jii), ..., o„(a) |)iir j ;^^) ■■■i
^^-^ el multiplions les ensuite |)ar ij^, , ; il viendra
Q/, sera un polynôme homogène de degré rj en :;i, Zn, . . ., r,,, i (|ui pourra contenir eu facteur une puissance de z„+i si le degré de l*/, est intérieur à /] . Posons maintenant
les équations (2) deviendront
■\ii(mu) n,|'|/i(w). 'h^ji'). ■■■, 'hA"), i + '{'„-,-i(m)|
Nous pouvons les remplacer par les suivantes :
S'il existe des fonctions '\',(u) qui admettent le théorème de multiplication 'xprimé par les équations (10), les fonctions
admettront le théorème de multiplication exprimé par les équations (2).
Or nous avons vu qu'il existe des fonctions uniformes qui admettent un théorème de multiplication quelconque, pourvu que certaines conditions très simples soient satisfaites.
Voyons si ces conditions sont remplies par les équations ( 10).
J'observe d'abord que
Qi, Qî. ••■. Q„ et Q„+,-i s'aunulenl pour
Développons alors les seconds meinl)res des équations ( m) suivant les puissances croissantes des ']; et examinons les termes du premier degré.
De même que nous avons appelé plus haut B,/, le coefficient de o/, dans le développement de R,, nous appellerons B| /. le coefficient de }/, dans le développement de Q,. On aura manifestement
BU
Nous avons posé plus haut
Nous poserons de même
Les conditions tpii doivent être remplies pour que le ihéoréme de multiplication ( lo) soit possible sont les suivantes :
Or on a
F'( m ) = o, 1"'(; ml' I ;.-i o //) > i ).
De plus, les conditions fondamentales étant supposées remplies pour les équations (2), on aura
F (^in)= o. F ( ml' ) ^ o.
Les conditions (1 1 ) seront donc remplies pourvu que q ne soit pas égal à une puissance entière de m (la première puissance exceptée).
Les fonctions 'iji(u) existent donc; ce sont des fonctions entières, et l'on a
