I -I- 'J;„^i(aj

ce (jui monire que les fondions o,(«) sont bien égales ;iu (jiiolient de deux irunscendaules entières admettant un théorème de multiplication.

C'est ainsi que les fonctions elliptiques, par exemple, sont égales au quotient de deux fonctions 0, qui admettent, comme nous l'avons vu, un théorème de multiplication.

Il n'y a de dil'dculté que si q est une puissance entière de m; mais nous pouvons prendiL' |)0ur q soit le. plus grand des degrés des polynômes P/,, soit tout nombre entier plus grand: nous pouvons donc toujours éviter que ty soit une puissance entière de ni.

Théorèmes crémoniens.

\3a cas [)articulier digne d'intérêt est celui où le théorème de multiplication défini par les équations (3) est crémonien. A oici ce que j'entends par là : Considérons les équations (2)

Oi( mu) = H,lçi(u), o-i(u ). . .., z„i ti)]. Résolvons ce système d'équations par rapport à

?i(") ri("), •••I r"l"'.

il viendra

9/(m) = S,[9i(»i.«), z-2( mu) z„{mu)].

.Si les fonctions S, sont rationnelles, la substitution

[9i(a), =«(«), ..., 9„(«); 5i(//i«), ç-.(mu), ..., z.„(mui]

est une substitution Cremona; je dirai alors que le théorème de multiplication est crémonien.

Plaçons-nous dans le cas où les quantités appelées plus iiaul H,y, ont les valeurs suivantes :

1),,= »), li, / = o (i.yk).

Dans ce cas les séries fondamentales (3j dépendent de /t constantes arbitraires

pi, ,-2, ..., p,,.

Si le théorème défini par les équations (2) est crémonien et si de plus on a

je (lirai, pour abréger, que les fonctions

sont crémonieuncs. I^es fonctions crémoniennes méritent par leurs curieuses propriétés de retenir quelque temps notre attention.

Le cas le plus simple est évidemment celui où la subsiilution Cieniona se réduit à une simple substitution linéaire, c'est-à-dire celui où les fonctions R,se réduisent au quotient de deux polynômes du premier degré, le dénominateur étant le même pour toutes les fonctions R,. Mais ce cas ne présente pas d'intérêt ; car il est aisé de vérifier que les fonctions o,( w) se réduisent alors à la forme

les X et les 3 étant des coefficients constants.

Nous rie nous occuperons donc que des fonctions crémoniennes correspondant à des substitutions Cremona d'ordre au moins égal à 2. Ces fonctions sont caractérisées par ce fait que

Çi(m/'ii), z-i{nil'ii), ..., z„(iiii'ii\

soni des fondions rationnelles de

quand/; est un fnùcr positif ou nc;^alij'. Je me poserai d'abord la question suivante :

['eut-on disposer des n constantes

Pl, p-2, ..., p„

qui entrent dans nos séries fomlamentales, de telle sorte que les fonctions

puissent prendre tel système de valeurs que l'on veut? Soit, par exemple,

?,(«) = "d ?o(u)=ao, ..., 9„((/)=a„

ce système.

NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. SSg

Considérons alors le système

'^'(i)' '^'(tÎ^-)' •••' '^"(«W

Si nous apjjelons, pour abréger,

(Il C.. «iC, . . . , </„ I".,

ce que devient le système

quand on lui apjjliijue la Iransforiiialion Creniona envisagée; si nous appelons de même

a,Cp, a.Cr, ...,a„Cf,

ce que devient ce même système quand on lui applique /< fois celle même transformation Cremona; si nous appelons

«iC-', a.,C-', ('„C-',

ce que devient ce système quand on lui applique la transformation Cremona renversée; si nous appelons

ce que devient ce système fjuand on lui n|)plique /> fuis celle transformation renversée, il est clair que l'on aura

Si /> est entier positif et qu'on le fasse croître au delà de toute limite, les premiers membres de ces égalités tendront vers zéro, car les fonctions o:{ii) s'annulent avec «; on aura donc

llm «I C,—/' = liiii fi , C.—/' = . . . = Uni II,, r.-/' = Il (p = oc).

5Co NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES.

Cette condilion est donc nécessaire pour que l'un puisse disposer des j3, de telle sorte que

Je dis f[ue cette condition est suftîsanic.

En effet, nous avons vu que '-/|,o.j, ..., -y„ sont des fonctions de ii (/, .SoM, . . ., ^„u qui peuvent se développer sui\anl les puissances croissantes de ces variables pourvu que leurs modules soient assez petits.

Posons donc

^j,^ I :.,= ç,(:i,M, {Uu, .... ll„u),

l -«= ^nOl", h" ?n")i

le déterniinaut fonctionnel des o par rap|)orl aux B,f (/) ne s'annule pas pour a = o. On peut donc tirer des é([uations (12)

(Jîi u — 't'i(*i, :-i, ■ ■■■ Zn)i

les fouclions y pouvant se développer suivant les puissances des .:, pourvu que

l'on ait

|s, |<p, |ss|<P, ..., |-s«|<P-

Cela posé, des équations hi) ?/(") = «/ (' = 1, ?, •••, ")

nous pouvons tirer

Si les conditions énoncées plus haut sont satisfaites, c'est-à-dire si l'on a

limrt,C-/' = o pour p ^ rn,

on pourra prendre /; assez grand pour que

|fl,C-/'|<p (/ = i. •- /,),

et alors on aura, en vertu des équations (i3),

on aura donc trouve des valeurs de (3,, [3.,, .... |3„ qui satisfont aux équations (i 4 V c. q. ?■. d.

Appelons point analytique un système de n quantités quelconques, paiexemple le système aj, a<, .... a„\ appelons domaine un enseuihle quelconcjue de points analytiques.

La question que nous nous sommes posée est la suivante :

Quand on donne à [3j, p,, .... ,3,1 toutes les valeurs possibles, 'Ji(«), o-.{u), .... cp,i(M) peuvent-ils prendre toutes les valeurs possibles, ou bien le point analytique cpi(M), ^^(a), . . ., On{u) reste-t-il compris dans un certain domaine ?

II résulte évidemment de ce qui précède que, si l'on a

limace—'' = o,

quel que soit le point analytique ai, «2. ■■•: «« ! les fonctions 'j,(u), (fi(u), .... (p„(a) pourront prendre toutes les valeurs possibles. Si, au contraire, les points analytiques qui jouissent de la propriété

lima,C~/' = o,

appartiennent à un certain domaine D, le point analytique (^i(u), ^^(m), . . ., '^n{u) restera compris dans ce domaine D.

Tout dépend donc des propriétés de In substitution Cremona. Je ne crois pas que les substitutions Cremona aient été étudiées jusqu'ici d'une manière approfondie à ce point de vue spécial; d'autre part, les bornes de ce travail ne me permettent pas d'y insérer une élude aussi délicate et aussi complexe. Je laisserai donc sans solution la question suivante :

Comment peut-on reconnaître si une substitution Cremona, appliquée une infinité de fois à un point analytique, fait tendre ce point analytique vers un même point limite quel que soit le point analytique qui ait servi de point de départ ?

Il est clair d'abord qu'un point limite ne peut être qu'un des points doubles de la substitution Cremona, c'est-à-dire un point analytique satisfaisant à la condition

«iC = rt|, n%C = a^, .... cf„C = n„.

SoitaJ, al, . . ., a° un point double quelconque.

Mais tous les points doubles ne sont pas des points limites. Formons l'équation suivante en S :

d{aiC)

d{atC)

d{anC)

da,

d{a,C) da.

dcit d(a,C) ^ da, ^ ■

dcii

d{a„C) da.

da„

d'in

et faisons, dans le premier membre de celte équalion,

nous aurons une équalion algébrique de degré n en S.

Ou bien les modules des racines de cette équalion seront lous plus grands que 1 .

Dans ce cas, on aura

WmatC-P = af pour /i = c»,

pourvu que | a,- — a" \ soit suffisamiuenl pelll et le point analytique a", al, . . . , al sera un point limite de la substitution inverse C '.

Ou bien les modules des racines seront lous plus petits que i, et l'on aura

limrt/G''= a," pour /? = oc,

pourvu que | a, — a° | soit suffisamment petit et le point a°, a°, . . . , rt" sera un point limite de la substitution directe C.

Ou bien les modules des racines seront les uns plus grands et les autres plus petits que i, et le point a", al, . . . , a° ne sera pas un poinl limite, ni pour C ni pour C~' .

Il y a lieu, en outre, de considérer les points limites oscillants. J'appelle ainsi les points qui sonl des points limites pour une puissance entière positive G'' de G sans être des points limites pour C.

11 est clair que, si une subslilulion C"' possède plusieurs points limiles ou plusieurs points limites oscillants, on ne pourra pas avoir

lim«/C-/' = o (jw = ce),

quel que soit le poinl analytique initial a^, a,, . . . , a„.

II doit être facile de construire des subslilulions Gremona qui adinetlenl

plusieurs poinls limites. Si l'on appelle o,{u), o-2{u), . ■ -, '■ini.u) les fonctions crénioniennes correspondantes, le point analytique ai(j<), 'j-<{^u), .... V"(") restera compris dans un certain domaine D.

Il est à remarquer cpie ce domaine D reste le même quel (jue soit (/, car il est défini par la condition

VimOiC—P = o,

où u n'intervient pas.

.(e suis parvenu également à former des substitutions Cremona C"^' qui n'ont qu un point limite o. o et qui sont telles que

lim rt/C~/' = o,

quel que soil le point analytique «i, a-., . . ., rt,,, sauf pour des points ou dus lignes exceptionnels. Les fonctions crénioniennes correspondantes sont donc telles que oila'), o-i{u)- •••, cp,i(M) peuvent prendre toutes les valeurs possibles. On trouvera ces exemples plus loin.

Dans le doute, je me bornerai à appeler D le domaine où le point analytique !Pi(m), (P3(m), .... On{u) reste compris sans exclure le cas où le domaine D comprendrait tous les points analytiques possibles, sauf quelques points exceptionnels.

Propriétés des fonctions crénioniennes. Reprenons les é([uations

d'où nous avons tiré

;, = I, (|iiU, fJîM, .... '^nU),

^2 = ?2 ( Pl «, p2 ", P« " ),

pl U = '|i (x!|, Z-i, . . ., S„), Ps M = '^i{Z2, Z-,, . . ., Z„),

Pn" = 'l'n(-3l, Z2, ■ ■ -, Z„),

et proposons-nous d'étudier les fonctions '|. Nous avons vu d'abord que, si

ces fonctions peuvent se développer suivant les puissances croissantes des z : ce sont donc des fonctions uniformes des z.

En second lieu, ces fonctions '|, d'après leur définition, n'existent qu'à l'intérieur du domaine D.

Je dis qu'à l'intérieur de ce domaine tout entier, c'est-à-dire partout où elles existent, elles sont uniformes.

On a, en eft'et,

[ÎM' = 'J',(3i, 3i- ■••, z„) = mr'h,(z,Q-r, z..C-n, .... z„C-p).

Si le point analytique ^i, Zi, .... z„ appartient au domaine D, on pourra prendre/) assez grand pour que

\z.kC-P\<? (A' = i, ■>, ..., «).

Alors j3i« est une fonction uniforme de z^C"'', •^oC"'', . . ., z„C~''. Mais

ZiC~f, z.,C '' ZnC~'' sont des fonctions rationnelles de z,, z-j. .... z„.

Donc (3; M est une fonction uniforme de Zi, z.,, . . . , ;„.

Ainsi les fondions 'J^, sont uniformes.

Cherchons ([uels sont les points où ces fonctions 'j;; deviennent indéterminées.

Si p est assez grand pour que

(3, u est une function uniforme et déterminée des 5/,G^''. Pour que p, m soit une fonction indélerminée des Z/,, il faut donc que les ^aC"'' soient des fondions indéterminées des Z/,, ce qui peut arriver :

i" Si les z/,C '' sont fonctions indéterminées des ^/,C~''' ' ; 2" Si les 3/,C~''^ ' sont fonctions indéterminées des s^C"'''*"- ;

p" ou enfin si les ^^G^' sont fonctions indéterminées des s/,.

Or la substitution C étant une substitution Cremona, les s^C sont des fondions rai ioiinelles de ^1, ;-i, . . ., z„; ces fonctions rationnelles ne peuvent devenir indéterminées que si leur numéraleui' et leur dénominateur s'annulent à la fois.

Or cela arrive en certains points qui sont connus sous le nom de points fondamentaux de la substitution G.

Si pour

Zi = ot|, 2,= as, .... z„=a„,

le Qumcrateur el le dénoininateur de l'une au moins des « fouet ions rationnelles

Si C, C-2 Cl, - • • , ^n *-'

s'annuleul a la fois, le point analytique xt, «•>, . . .. x„ est un point fondamental de la substitution C.

De même, si, pour

^ fi — I n ?

le numérateur el le dénominateur de lune au moins des n fonctions rationnelles

s'annulent à la fois, le point analytique -/i, y-j- • • •; '{'• gs^ un point fondamental deC-'.

Pour que les î/,C~''^^ soient fonctions indéterminées des z^C"''^''^' , il faut donc et il suffit que l'on ait

ztC-l'+''+'' = yi;

le point analytique yi, -'25 • • ■ • ",'« étant l'un des points fondamentaux de C-', ou bien

Pour que les S/.C"'' soient fonctions indéterminées des z/^, il faut dune ([iie l'on ail

:■(:= ",'<• ou

ou

Zk=-!)cC-, ou

zi=-nCP-K

Enlin, pour que les fonctions '-{/, soient indéterminées, il faut que l'on ait ou bien

OU bien

q étant un entier positif.

En d'autres termes, les points d'indétermination des fonctions ^i sont les points fondamentaux --i, yo. .... -„ de C ' et leurs transformés par les diverses puissances entières positives de C.

Je terminerai ce qui regarde les fonctions ij; en disant qu'elles ne peuvent avoir de point singulier essentiel à l'intérieur même du domaine D, mais seulement sur les limites de ce domaine. Dans le cas particulier que nous n'avons pas exclu, où le domaine l) comprend tous les points analytiques possibles, sauf quelques points exceptionnels, ce sont ces points exceptionnels qui serviront de limite au domaine D et qui seront les points singuliers essentiels des fonctions tJ/,.

Cherchons maintenant quelle relation il y a entre

Il (Mo), =2("o), ?,.("o)

et

ri("i)> ?ï(«iX ?/i("i).

Ml et W|| étant deux valeurs quelconques de u.

Je dis que 9,(hi) est une fonction uniforme de Oi((/||), ^^(«i,), . . ., cs„(mu) lanl que le puint analytique cpi(Mii), (Dn(uo), . . .. cp„(«o) sera compris dans le domaine D.

En effet, d'après ce qui précède,

sont des fonctions uniformes de

D'autre part,

pi"], [J2M|, • • ■ , (5„ Wi

sont fonctions uniformes de

3|Mo- ,'2 "il, ••■• ?n'lt> et

"ci

Enfin

sonl fonctions uniformes de

Donc sont fonctions uniformes de

?l("o), ?2(Mo), ■••, ?/,("o), — '•

Mo

Appelons P,, le point analytique

et Pi le point analytique

Z>l(Ui), Oa(Mi} ?n("l)-

Nous voyons d'abord que, si l'un des deux points P,, et Pj appartient au domaine D, Il en est de même de l'autre; d'autre part, les coordonnées de Pi sont fonctions uniformes de celles de Po, et les coordonnées de P„ fonctions uniformes de celles de Pi.

En d'autres termes, la correspondance entre l*„ et Pi délinit une transformation blunlforme du domaine D en lui-même.

Cette transformation biuniformo devient birationnoUe quand — est une

T lia

puissance entière positive ou négative de m. Il n'en est pas de même en général si — est quelconque; car les points d'indétermination des coordonnées de Pi

considérées comme fonctions des coordonnées de P,, sont en général les mêmes que les points d'indétermination des fonctions <l.

Tout me porte à croire que les transcendantes qui délinissentles coordonnées de \\ eu fonctions des coordonnées de Pu n'existent en général que dans le domaine D. Toutefois je n'ai pu le démontrer rigoureusement; il y a certainement au moins un cas d'exception, puisque, si — est une puissance de m,

les coordonnées de P| sont fonctions rationnelles de celles de P,,. Mais il est possible (et même probable) qu'il n'y en ait pas d'autre. Cherchons maintenant à exprimer

en fonctions de

?[(«)> îi(")> ■■■, ?«(,")

et de u.

En premier lieu,

sont fonctions uniformes de

D'ailleurs o', (a), 9',(«)' • ■ ■ ' V«(") ^°"'' fonctions uniformes de

p,, p.,, ..., p„ el i<. Donc

sont fonctions uniformes de

D'autre part, si nous posons

cp,(«) devient une fonction des n variables «i, i<2i • • •• u„. et 1 on a d'où

tsUu) = .il -r H .^2 -7 h ... -I- 1^,, -7 — ,

■'^ ' ' dut diu du,,

d'où

^^ ' du, du, du,,

ce qui montre que U'jf\{u) est une fonction de «1, Mj, .... u„ ou, ce qui revient au même, de pi m, (î^îi, . . ., (3,, m. Mais

sont fonctions de

Donc M<oj (w) est une fonction de

Ainsi les foaclious Oi{u) salisfonl à un système d'équations dillV-renlielleb de la forme suivante :

tiz.'„(u) = F„[s,(h): 92('0. • ■ -, ?'.(")].

les fonctions F, ctant des transcendantes uniformes dans le domaine D.

Ces transcendantes nniformes admettront mêmes points d'indétermination que les fonctions ■!/.

J'ai dit plus haut que les fonctions ■} n'existent que dans le domaine D. Cela demande quelques mots d'explication. Supposons, par exemple, que

existent dans le domaine o di'lîni |jar les inégalités

|;,-c';i<?., l-.-^s|<p., .... \z„-zi\<f,„

Sp s", . . ., z"^, pi, p2, . . ., p„ étant des constantes.

Les ']>, devraient être développables à l'intérieur de ce domaine suivant les puissances des Zi: — z'I.

Supposons que le domaine ô soit situé en partie à l'intérieur de D, en partie à l'extérieur de D.

C'est là ce qui devrait arriver si les fonctions J' pouvaient être prolongées au delà du domaine D.

Reprenons les fonctions

Ç,(fi,tt, fljM, . . ., ';inU),

et substituons-y '.j;i, 'h^; ■ ■ ■: 'lin à la place de ji, u, ,5oM, . . ., ,3,, m; nous verrons 91, 92. . . ., (fa devenir fonctioa.s de Zi, Z',, .... :;„.

Dans le domaine 0, nous savons que ii, l^j •■•> ']'ii sont fonctions liolomorphes de Zf, z^, . . ., z„; donc '|,, (j^a, . . ., ']>„ restent finis dans ce domaine.

D'autre part, nous savons que, quelles que soient les quantités jS, u, ^-^u, . . . (3„a, pourvu qu'elles soient finies, les fonctions 91, o-j, .... cp„ sont méromorplies et le point analytique cpi, cp-.., .... 9,1 reste dans le domaine D.

Donc, quand le poinl j,, ;.,. ..., Zn reliera dans le domaine ô, les quantités 9,- seront fonctions mcromorphes des z. et le point o,, cp,? •••, <Pn l'estera dans le domaine D.

Mais, d'après la définition des fonctions 9 el }, on aura, dans la partie de 0 qui appartient à D et par conséquent dans tout le domaine â.

es, := Zi.

Le point 0/,, Oo, ..., o„ ne sortant pas de D, il doit en être de même du point ^1, z.,. .... Zn-

Donc il est impossible qu'une partie de 0 soit extérieure à D.

Donc les fonctions 'h n'existent pas en dehors de D. c. q. f. n.

Les fondions i sont donc uniformes partout où elles existent.

Nous avons donc des fonctions nnijorines de. n variables ;,, ;.j ;„

(jui sont multipliées par un facteur constant m quand ces rariables subissent une substitution Cremona donnée.

Le rapport de deux fonctions ■]/, par exemple -p-i demeure inaltéré pai- la

substitution Cremona.

,1 Tout me porte à croire ijue la fonction -j-' n'existe pas en dehors de D el est

par conséquent uniforme partout où elle existe; je n'en ai pas toutefois de démonstration rigoureuse.

Toutes les fois qu'on pourra le démontrer, on saura construire une tonclion uniforme qui n'est pas altérée par la substitution Cremona.

C'est ce qui arrivera en particulier toutes les fois que le domaine D comprendra tous les points analytiques possibles, sauf quelques points exceptionnels.

Je dis que toute fonction uniforme F des ;, n'existant que dans le domaine I) et inaltérée par la substitution Cremona, est une fonction rationnelle des rapports des quantités 'Jji, 'h-,, .... '|„, si elle est méromorphe dans le domaine D.

En efTet, nous avons

(<ette égalité montre que I'" est une function uniforme de '^\, 'j^j, . . ., 'If,,.

NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. Syi

Quaad les ; subissent In substiliition Creniona,

se changenl en

«i'I/i, wi-j, .... ni'!^„

et F ne change pas.

Si F est une fonction mcromorphe des z, ce sera aussi une fonction méroinorplie des i. el nous aurons, dans le voisinage du point

nous aurons, dis-je.

Si et So étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes des 'i.

Le quotient ^ ne doit pas changer quand on change

en

Et cela ne peut arriver que si les deux séries Si et So se réduisent à des poly-

nômes entiers homogènes de même degré en '-}/(. (j/.j, . . ., <!>„.

Exemples particuliers.

J'ai cherché à former des exemples pour lesquels le domaine D comprend tous les points analvtiques possibles, sauf quelques points exceptionnels.

Les premiers exemples que j'ai obtenus m'ont été fournis par des substitutions Cremona qui peuvent être ramenées à la forme

/ 3.,Zt-h[-i, Ol.., Z-. -f- [i-. X„Z„-h ^^„\

I 3i, so. .... z„: ■ — ^ ) ^, • • • 5 ^ I)

\ T I - 1 + ft I T-J ^-i -^ "i Tn -<i -t- o„ !

les a, 3, Y, 0 étant des constantes, ou dont une puissance peut être ramenée k cette fcirme.

Les fonctions -qi correspondantes sont rationnelles; ce cas ne présente donc aucun intérêt.

J'ai réussi ensuite à former un exemple un peu plus général.

Considérons deux variables seulement cl, alin d'éviter les indices, représentons-les par j; et r et non plus par ^i et s-j. Envisageons ensuite la substitution Cremona

/ rnx ar -(- è \

m est le nombre que nous avons toujours appelé ainsi; |i est une constante; enlin a, 6, c, fZ sont des polynômes entiers en .z-; je suppose que, poura' = o, on ait

b = u, ti = m, f/=l. c = c,i.

Si je désigne par C cette substitution et ([ue je pose, pour abréger,

.r' = xC, y =.tC,

nous aurons

mx . 'ir -*- !' ^ — s~' ' = ~ :>■

I — pa; cr -+- a

Nous tirerons de là

m -h p^c' ■ — cr' H- "

<Jr a, b, c, d sont fonctions entières de x et par conséquent fonctions rationnelles de x'. Donc x et r sont fonctions rationnelles de x ely'. Notre substitution est donc bien biralionnelle. Je dis que cette substitution admet quatre points doubles. En efïet, pour que l'on ait

il faut d'abord oue l'on ail

Or la subslilulion liomographique

admet deux points doubles, qui sont

Si l'on fait x = o, il vient

my

H-CoJK

et la substitution homographique

\- n-6\,r/ a deux [Joinls (.IuhIjIl's qui soiil

>ii — I 7=0, 7= -— — ■

Si l'on fait j = — r, — ' les qualre poljnôuies a, b. c, d prennent certaines valeurs ai, Z»i, Ci, d^^ et la substitution homographique

admet deux points doubles, que j'appellerai

,K=.)i, y = Vi.

Notre substitution Cremona a donc quatre points doubles

ii> — I X = T = (I, ,/; = 0, 1 = ,

^= — S- ' r=Ji, ^=— ;:^' J =J-i-

Avant d'aller plus hiin, exiuiiiuons ce qui se passe dans le voisinage du point

double

Cl,

Posons, pour abréger,

Soient ^' et /)' ce que deviennent ? et v) après qu'on leur a appliqué la substitution Cremona; il vient

./(S, 'ft) étant une fonction rationneUe de ^ et de /), s'annulanl avec i; et ry.

Existe-t-il deux fonctions uniformes Oi(m) et 80 (w) admettant le théorème de multiplication suivant

(ri) U,(/«î( 1= /hU,(»). 0,(/;(i^i=/ff)|(«), ')i(«)]-

f,i4 NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES.

Pour le reconnaître, formons l'équaliou définie plus haut

(le telle façon que F (mP) soit le déterminant des équations (^). Si Ton fait ; ^ o, il vient

J'en conclus que

Donc F(/«) := G, F (//('') p= o si p est un entier positif plus grand f]ue i .

II existe donc des fonctions uniformes Oi ( w) et 0^ ( (/) qui salisfonlaus condilions (lo). Ces fonctions, d'après les principes exposés plus haut, dépendront d'un seul paramétre arbitraire que j'appellerai |3,.

On a d'ailleurs

et je puis, sans restreindre la généralité, supposer (3( ^ i ; d'où

6,((t)= II.

Gela posé, si Ion a

on aura aussi

et, plus généralement,

iri'=e.,(Ç';

r,C/'=eo(|C>j,

en désignant par rC'' et vC'' ce que deviennent 'i et ri quand ces cjuanlités ont subi la substitution C'' et en supposant que p soit un entier quelconque, positif ou négatif.

IjOrsque/> croît indéfiniment, on a

limÇ C"/' = liiii m^i'l = o f puisque | ;n | > i), et, si t) =■- OsfE)) on a

iim-fiC-/'= iime.,(|r.-/')= e,(o)= o.

Posons

Cl,

Quand on aura on aura

T, = e,(Ç) et, [jar conséquenl.

yCp=^ ^{xO') (p entier pusilif ou négatif).

On aura d'ailleurs, pour/; = oc,

lima;C— /'=o, lim ) C~/' = ;

donc, si

y=Hx),

on n'a pas

limxC— /' = limjC— /' = o.

il en est encore de même si

car on a alors

X Ç-P = — T. — > lima; G-/' = — t.

Mais je dis que, dans tous les autres cas, c'est-à-dire toutes les fois qu'on n'a pas

y = «(a;) ou x= — ^ -,

on a

liraxC— /^= limj C-/' = o.

En effet, le point a: = / = o est un point limite de C~* dans le sens que nous avons donné plus haut à ce mot (les racines de l'équation en S sont en effet toutes deux égales à m et | m | ;> i). Si donc les modules de x Q\.àe.y sont assez petits, xÇri' et jC""'' tendront vers zéro quand p croîtra au delà de toute limite.

On pourra donc trouver une quantité p telle que, si

I^Kp. l7l<P> on ait

\\mxÇ^-P ~ lini rC-/' = o.

Supposons mainlenanl que l'on ait

J'observe que, si l'on regarde x comme donné, la sujjslilulion

sera une substitution homographique.

Soient donc

quatre points analytiques ayant même abscisse x. Leurs transformés par C~'

(:cC-', rC->), (^C->,.,r,G-»), (j^C-, r^C-'), (.rC"', j:,C-)

auront même abscisse xC~' et il en sera de même de leurs y>"""'~ transformés

(a;C-/', jC-/'), (xC-/', jiC-/'), (xC-/', .)-.>C-/')! (-i'*-^^'', .>:;C-/'),

qui auront mêuie abscisse xQr'' .

De plus, la substitution (16) étant homographique, on aura

j C~' — .>iG~' >3C-' — ^sC~' y — y\ ,73 — .Va jC-'- V2C-' j-r,G-i-y,G-' "~ j-j-, r3-7i

et de même

jG-/' — >-iG-/' jaG-/' — .xoG-/' ^ .) — ji j3 — ^2 ^'"•' rG-/' — .r,G-/' v.G-/'— v,G-/' J' — Jî Js — J>i '

Le second membre ne pourrait être égal à 1 que si j'i ^y-i ou si r =y:i. Prenons

IjiKp, Ir2|<p, ri?^.v.., r:i=o(.r'),

Si l'on n'a pas >' 1= 'J(-*)» le second membre de (17) sera égal à M y'^ 1 . Si/> = 00 , on a

litn 11 Ç,—P = liiii » -2 C~/' = o, liin ) :iG~/' -^ o,

et l'équation ( i-) devient

\\iayÇ,—P ou, puisque M ^ i ,

llmrG— /'=o. c. Q. K. i>.

On a d'ailleurs

lim.î:C~/' = <).

tiiules les fois (|iie x n'est pas égal à — ;-

Supposons enfin

rii X n est pas égal a — ;;; — ) on a

Il m xC~i' = c ;

on peut Jonc piendie i/ assez grand pour que

Un a alors soit

|^-C-7|<p, \yC.-,\>p soit

l^cC-'/Kp. ijC-'/,<p,

et l'on retombe sur l'un des deux cas précédents. Donc on a

lliiijcC"/' = lim )'t'.^i' = o.

a moins (jue )' = 'J(.r I uu a? :;= — ^ c. q. f. n.

Donc le domaine D comprend tous les points analytiques possibles, sauf les

lignes exceptionnelles j' ^O(x) et x ^= — ^ — Rappelons que la fonction ^{x) est uniforme.

Formons alors les fonctions

.r = s.2((i)= 9.i(fii II, ^-lU), qui admettent le théorème de multiplication suivant

I— P?l(M) C[z.i(lt)]^.,( U)-h f/['£t(tl)]

où j'ai désigné par la notation rt|o|(^M)j le polynôme a où x a été remplacé par 9i(m).

La foaction Vi(«) est m niifeslement rationnelle: il ne saurait en cMre de 11. P. — IV. -s

même, en général, de la fonction o^i^u). En elFel, la seconde des équations (18) peut s'écrire

■:.«( nui )= — -^, — -^

l, |JL, sj et oj étant des polynômes entiers en u. Ces polynômes peuvent être quelconques, de même que les polynômes a, h. c, d sont quelconques; la seule condition à laquelle ces polynômes soient assujettis, c'est que l'on ait pour z< = o,

Je puis donc prendie, pai- exemple,

'1 = (1. ra =: o, (ù = I, /.:=/;(! - •

11 vient alors

z,.,{ iint }= III [ \ — - ) i ,| /m; \ Il u / ' '

d où l'on tue aisi'inenl

ri9)

\ inil,,/ \ II)' liai \ III Uni

La fonction V^(") ^'^^ donc transcendante et il me suffit évitlemiiienl d'avoir établi qu'elle est transcendante dans un cas particulier pour élie crriain qu'elle n'est pas rationnelle en gi'néral.

La parenté de la fonction o^(m), délinie par l'équation ( 19 ), ;ivec les fonctions 0 elliptiques, est évidente. On a, en effet,

(■>o) -.A iiiu\= iii{\-- -y^iiu),

d'où

cl'oi'l

I " \ ri("') I