III II
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ou, en cnanseant u en >
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NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. ùyij
Si nous multiplions (20) par (21) et si nous posons
il viendra
-(inu) = "(m)-
Cette t'ijiiation prouve <|ue
est une fonction 0 elliptique dont les périodes sont 2<7: et log//(.
Revenons au cas général où les polynômes À, /ji, ro et O) sont (piulconeiiies.
J'observe d'abord que nous pouvons, sans restreindre la généralité, siniplilier beaucoup les équations (18). Je dis que l'on peut toujours supposer que ji est nul, de sorle que la première des équations (18) se réduise à
çi (//(«) = /nçi (« ).
Si, en elFet. il n'en était pas ainsi, on remplacerait la fonction Oi(f<) par la fonction
et l'on aurait
z',{ mil 1= //( i*(h).
Je supposerai donc désormais p = o : il vient alors
(3, étant l'une des deux cunslantes délinies plus haut qui entrent dans les séries (3).
Alors on obtiendra les polvnùmes /., \x, cr et w en remplaçaul tout simplement X par (3j u dans les polynômes c/, b, c, d.
Cela posé, nous savons que Vi("() et 9^(?ii) sont fonctions uniformes de o, (m,i) et de cp2(Mu)-
Si nous supposons 3i = 1, par exemple, il en résultera que 92 (m,) est fonction uniforme de 'j-,{uu); car oi(W|,)^ u„ est une donnée de la question.
Ue même, o.>(au) est une fonction uniforme de ^^(m,).
OiJO NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES.
Si donc on suppose que S, = i . el si ii, et m„ sont deux constantes données, il y aura entre Oo{uo) el cp..(ai) une relation homographique.
Nos séries (3) dépendant des deux constantes j3i el po, je puis écrire, comme je l'ai déjà fait bien des fois,
Si nous faisons (3, = i : il vient
On voit que r est une fonction uniforme de pj. D'autre part, nuus avons
3,M = ■hiixjy).
On a évideaiuieni
car
D'autre part, si l'on fait pi ^^ i. il vient
et
ce qui montre que, (|uand (3, = i , et que « est regardé momentanément comme une constante, pi est fonction uniforme de y.
Si donc pi ^ I el si a est regardé comme une constante, il v a une relation homographique entre p^ et r.
La fonction oa{u) est donc de la forme suivante :
p.. »Ji(|3|;;,)-4- Ti(p|M I
o-|, Ti, !T.., T.. étant des fonctions uniformes de Pi m que nous pouvons toujours supposer entières.
Ces fonctions o- el r jouissent des propriétés suivantes :-
(I» .rj II ) iti i)iii)= aai{u)+ b a-i ( (/. ), ■r^i ii)-t( inti )= axi(u)-h b-c-,(u).
' ;// .r|(u )!!.,(//! «1= c <ri( M )-l- dnU u ),
c ti(m)+ /f-t( u).
NOUVELLES TRANSCENDANTES UNIFORMES. 58l
Dans ces équations (22), nous désignons parr)( M)une fonclion entière de u, et nous supposons qu'on a remplacé x par u dans les polynômes a, b, /■, d. Si l'on pose
(u/— hc = o{i(), it{u)--.{u)— î.;(«)"i(")= f'(")j
il viendra
( 23 ) iiir{' (u) Il ( //( u I = 0 f u ) D ( u ).
d'Ile équation (2.H) met en évidence le lien qui relie les fonctions t et 7 à la fonclion 02 définie par l'équation (ig) et par conséquent aux fonctions 0 elliptiques.
On en peut encore tirer une autre conclusion.
Si la fonction Oo est rationnelle, t,, Tj, co, To, r/, D et ô sont des polynômes, et l'équation (28) montre que le polynôme ô doit jouir de propriétés très particulières. Sans entrer dans le détail de la discussion, on voit que la fonclion 9... ne pourra être rationnelle si le polynôme o = ad — hc ne satisfait pas à certaines conditions et, en particulier, s'il n'est pas de degré pair.
La Jonction
•ii(.c, y) X
est uniforme jtour toutes les râleurs de x et de y et elle demeure inaltérée par notre substitution Cremona.
Elle admet comme lignes singulières essentielles
et
(ou X = 00 si, comme nous l'avons supposé, j3 := o). La sul)siilutinn Cremona
/ inx iiy -i- It V ; -H I! \
I X. 1, ; : rT 1 7 ' 7^ T. )
\ ■ I — 'jx cy-.-rl (. ; -I- D /
(OÙ a, b. c. d sont des polynômes entiers en x, et A, B, C, D des polynômes entiers en x et i ) jouit de propriétés analogues.
Les foncliims dont il a été question dans ce Mémoire et qui demeurent inaltérées par une substitution Cremona et ses puissances, ne sont peut-être que des cas extrêmement particuliers d'une classe plus générale de fonctions uniformes qui demeureraient inaltérées par un groupe de substitutions Cremona el qui se présenteraient comme la généralisation la plus naturelle des fonctions hyperfuchsiennes el hjperabéliennes de M. Picard.
