XXII. Astronomie. Questions diverses

On a vu plus haut quel rôle jouent en Astronomie les séries irigonométriques.

J'ai donc au point de vue de ces applications été amené pour contribuer à la solution de celle question à étudier les conditions de convergence des séries Irigonométriques [43, 03]. J'ai reconnu ainsi deux faits principaux :

i" Si une pareille série est aiisolument convergente pour certaines valeurs du temps, elle l'est oternellemcnl; il n'en est plus de même quand la convergence n'est plus absolue.

2° Une même fonction ne peut pas être représentée par deux séries différentes absolument convergentes.

Je n'ai pu résoudre, de façon à me mettre à l'abri de toute objection, la question de la convergence des séries particulières de M. Lindstedt; cependant, j'ai tout lieu de penser que ces séries ne convergent pas absolument, mais que, en ordonnant convenablement les termes, on peut les rendre semi-convergentes. La convergence pourrait alors ne subsister que pendant un intervalle de temps limité.

On croit d'ordinaire qu'une fonction représentée par une série trigonométrique absolument convergente ne peut croître au delà de toute limite. C'est même cette croyance qui sert de fondement aux démonstrations anciennes de la stabi-

lili'' ilii système solaire et (jiii, depuis, a conduit les astronomes ;i faire tant d'efforts pour faire rentrer le temps sous les signes sinus et cosinus. Celte croyance est erronée ; j'ai montré [31 , 03] qu'une pareille fonction devient aussi grande que l'on veut si la convergence n'est pas uniforme. Mais il y a deux manières de croître au delà de toute limite: une fonction peut tendre vers Vinfini. Il arrive alors qu'elle finit par dépasser une quanlilé quelconque, si grande quelle soit, pour rester ensuite constamment supérieure à celte quantité. Une fonction peut encore subir une infinité d'oscillations successives, de façon que l'amplitude des oscillations croisse indéfiniment, .l'ai montré [S8] que les deux cas peuvent se présenter, en ce qui concerne la somme d'une série purement trigonomélrique. En résumé, quand même on arriverait à représenter les coordonnées des astres par des séries irigonométriques convergentes, on n'aurait pas démontré la stabilité du système solaire.

J'ai ensuite [202] étudié des procédés destinés à augmenter la convergence de certaines séries irigonométriques dont divers astronomes et en particulier M. Gylden avaient fait usage dans les quadratures mécaniques.