I. — Introduction

Dans lia Mémoire inliliilé Sur un théorème de la théorie générale des fonctions {Bull. Soc. math, de France^ l. 11, i883) ('), j'ai dcmonlré que plusieurs fonctions analytiques d'une même variable indépendante peuvent toujours être égalées à des fonctions uniformes d'une même variable.

La question a été reprise par M. Osgood, puis par M. Johansson : lleber die Uniformisirung Rienianii scher Fldchen mit endlicher Anzahl Windungsl>unkte (Acta Socielatis Scientiarum. Fenn/ar, l. 'S.i, n" 7) et enfin dans un intéressant travail de M. Brodén, Bemerkungen ûber die Uniformisirung analylischer Funktionen {Lund, Berlingsche Buchdruckerei, igoo) que nous aurons l'occasion de citer plus loin.

Mon premier Mémoire laissait subsister plusieurs questions non résolues.

i" Pour tout point de la surface de Riemann, pour lequel les fonctions données existent, les fimclions uniformisantes se comportent régulièrement. Il y a exception pour trois de ces points qui constituent ce que M. Hilbert appelle des A usnahmsstellen. Celle difficulté a été signalée de nouveau par M. Hilbert dans sa Communication au Congrès des malliéiiialiciens de Paris en 1900.

Elle tient à ce qu'on introduit une fonction auxiliaire, inverse d'une fonction fuchsienne et que pour ces trois points, cette fonction auxiliaire n'existe pas. 11 est possible de l'écarter, et cela de deux manières; d'abord en remplaçant la

(') loir ce Uinic IV, p. 57.

fonction auxiliaire par une autre, également inverse d'une fonction fuchsienne et qui ne présente pas le même inconvénient; c'est ce que je fais plus loin au paragraphe IV; l'autre manière consiste à se passer complètement de fonction auxiliaire, c'est ce que je fais aux paragraphes XIII et XIV.

2" Mes procédés permettaient bien de démontrer que l'on pouvait faire la représentaticin conforme de ma surface de Riemann sur une aire intérieure à un cercle; mais on ne voyait pas que ce fût possible sur un cercle; M. Osgood a écarté cette difficulté; nous aurons néanmoins à y revenir au paragraphe VIII.

3° On n'était pas certain que cette façon d'uniformiser les fonctions fut la plus simple de toutes; on était même certain du contraire par l'exemple des fonctions fuchsiennes. L'introduction de la fonction auxiliaire, arbitraire dans une large mesure, donnait à la solution un caractère artificiel dont il convenait de se débarrasser, et pour cela il fallait démontrer que toute surface de Riemann, simplement connexe, est représentable soit sur un cercle, soit sur une sphère pointée (ou ce qui revient au même sur le plan tout entier).

Le problème n'est autre chose que le problème de Dirichlet appliqué à une surface de Riemann à une infinité de feuillets. Malheureusement les procédés ordinaires ne sont pas toujours applicables pour deux raisons : i° parce que le domaine auquel on veut l'appliquer n'est pas une aire plane à un seul feuillet, mais est formé de plusieurs feuillets superposés; 2" parce que les frontières de ce domaine ne sont pas nettement délimitées et que souvent même on ne peut pas les atteindre, mais s'en approcher pour ainsi dire par une suite indéfinie d'approximations. De là la nécessité de faire grande attention aux détails de la démonstration, ce qui entraîne une assez grande prolixité.

Dans le paragraphe II, je précise la notion de la surface de Riemann qu'il va s'agir à' uniformiser . Je la considère comme un domaine formé d'une suite d'éléments, imbriqués les uns dans les autres et correspondant aux divers éléments d'une fonction analytique au sens weierstrassien du mot. Je montre comment on peut généraliser celte fonction et la rendre plus souple, principalement par l'introduction des éléments algébriques qui permettent de traiter les points de ramification algébrique de la surface de Riemann comme faisant partie de cette surface. J'étudie les relations mutuelles des diverses surfaces de Riemann correspondant aux divers systèmes de fonctions analytiques.

Dans le paragraphe III, je forme la fonction de Green relative à ma surface de Riemann; et je la représente par une série qui converge quand cette fonction

existe. Je modilie la déiiioiislraLion donnée dans mon Mémoire primitif en la rattachant à la méthode du balayage et je la simplifie par l'application du théorème de Harnack.

Dans le paragraphe IV, j'introduis la fonction auxiliaire majorante nécessaire pour assurer la convergence de la série; je montre que cette fonction peut être choisie de façon à éviter les AusnahmssleUen .

Dans le paragraphe V, je déduis de la fonction de Green, la fonction analytique z qui doit assurer la représentation conforme de la surface de Riemann sur un cercle.

Dans le paragraphe VI, je généralise la méthode du balayage de façon à y faire rentrer celle que j'avais employée dans mon Mémoire primitif.

Dans le paragraphe VII, je compare les diverses fonctions z qu'on peut déduire d'une même surface de Riemann, et je montre qu'elles sont liées par des relations linéaires; je montre ensuite que chacune d'elles ne peut prendre plus d'une fois la même valeur.

Il s'agit ensuite de montrer que la surface de Riemann peut être représentée sur un cercle; c'est ce qu'a fait Osgood; je reproduis sa démonstration dans le paragraphe VIll, mais en la présentant de manière à faire voir que c'est bien par la fonction z que se fait la représentation. Je donne ensuite du même théorème une seconde démonstration.

Dans les paragraphes IX, X et XI, j'étudie les propriétés des fonctions uniformisantes; je montre leur analogie avec les fonctions fuchsiennes, leurs relations avec un groupe analogue aux groupes fuchsiens et la possibilité de les représenter par des séries analogues aux séries ihétafuchsiennos.

A la fin du Mémoire, je cherche à me passer de la fonction auxiliaire majorante du paragraphe IV^. Je considère un domaine D (ou surface de Riemann) simplement connexe, mais d'ailleurs quelconque. J'en enlève une aire simplement connexe, et il me reste un domaine Di doublement connexe. Au paragraphe Xll je forme la fonction de Green relative à ce domaine et je montre qu'elle existe toujours. Je suis amené ensuite à distinguer deux cas.

Le premier cas est examiné aux paragraphes XIII et XIV; je montre que dans ce cas le domaine Di est représenlable sur une couronne circulaire et le domaine D sur un cercle.

Dans le second cas que j'étudie au paragraphe XV, le domaine D| est représentable sur un cercle, et le domaine D sur une sphère.

Les critères qui permettent de discerner entre les deux cas peuvent se

présenter sous des ("ormes très différenles; on comparera celles que j'ni données au paragraphe XI, à la fin du paragraphe XII, au paragraphe XIII, au paragraphe XV; et ou les rapprochera des critères proposés par M. Brodén.

Le théorème final (paragraphes XIV et XV) permettrait de démontrer l'existence des fonctions fuchsiennes d'un type donné, sans avoir recours ni à la méthode dite de continuité, ni à l'équation Am = e".