CONVERGENCE DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Bttlletin Aslfoiiomiqiii', t. I, p. ^19-327 (iS84).
Pour qu'une série puisse cire utilisée en Astronomie, il n'est pas nécessaire, comme l'a remarqué M. ïchebiclief, qu'elle soit con\ergenle, au sens donné à ce mot par les géomètres : il suffit que l'erreur commise, en s'arrêtant à un certain terme de la série, reste pendant quelque temps inf(''rieure à une quantité suffisamment petite. C'est giàce à cette circonstance que les séries liabiluellement employées en Mécanique céleste, qui |)resque toutes sont divergentes, représentent très sensiblement le mouvement des astres. Cependant, il est souvent utile, si l'on veut se rendre compte du temps pendant lequel on pourra compter sur une approximation donnée, de reclierclier les conditions de convergence des séries qu'on emploie. C'est pourquoi il ne sera peut-être pas sans intérêt d'étudier ici les dillérentes circonstances que peut présenter la convergence de séries trigonomélriques.
Considérons une série de la forme suivante :
(i) i;A„siii(z„/-i- [!„) = 9(0,
que nous supposerons convergente pour certaines valeurs dut. Elle peut être ou bien absolument convergente ou semi-convergente.
Laissons d'abord de côté les cas de semi-convergence et supposons que, toutes les fois que t satisfait aux inégalités
la série (i) soit absolument convergente, de façon qu'on puisse changer l'ordie des termes sans en altérer la somme.
■■iilî SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.
11 L'n résultera que les deux séries
(3) SA^cos 3„sin a,,/ = -[£A„sin (3i„<+ |ii„)— SA„sin (— a„/ -h [3,,;],
(4) ï A„ sin fi„cos a„ i = - [2 A„ sin (a„; -F [3„ ) -t- SA,, sin ( — a,,/ -H f)„)]
seront séparément convergentes et que l'on pourra écrire
S A„ sin (ï„< + [j„ ) = X A„cos |î„ siii «„< -h 2 A„ sin f3„cos a,,/.
Si dans la série (i) on fait t := o, on voit que la série 2 A„sin(3„ est absolument convergente, ce qui entraîne la convergence de la série (4) elle-même pour toutes les valeurs de t.
Considérons maintenant la série (3). Si nous multiplions le ri"'""' terme de celte série par le facteur 2cosx„<, qui est plus petit que 2 en valeui' absolue, nous obtiendrons la série
■1 ï A„ cos j„ sin a,,/ cosa,, / = S A„cos[j„ sin ■> a„ t,
qui sera forcément convergente; ce qui montre que la série (3 ) converge toutes les fois que
Si donc la série (3) converge pendant un certain intervalle de temps, elle convergera également pendant un intervalle double. En répétant indéfiniment ce raisonnement, ou verrait qu'elle doit converger pour toutes les valeurs du temps.
Ainsi, si la série (i) est absolument vorweigente dans un intervalle de temps si petit (ju'il soit, elle le sera pour toutes les valeui s du temps.
Mais il y a encore une distinction à faire. La convergence peut être uni/orme, si l'erreur commise, lorsqu'on s'arrête au «'*""' terme de la série, reste pour toutes les valeurs du temps inférieure à une certaine quantité p,, ne dépendant que de n et tendant vers zéro quand n croît indélînimenl. Il peut arriver aussi que la série converge absolument sans converger uniformément.
Si la série (4) converge absolument, il eu est de même de la série i A„ sin S,,, et par conséquent de la série
(5) 2|A„sin3„|,
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. SgS
OÙ j'ai adopté la nolalion habituelle | X| pour représenter la valuiir absolue de X. Le reste de la série (4) est évidemment plus petit en valeur absolue que le reste p„ de la série (5), lequel tend lui-même vers zéro, puisque nous venons d'en démontrer la convergence. La série (4) ne peut donc converger qu'uniformément.
11 n'en est pas de même de la série (3) où je poserai, pour abréger,
A„cus [i,, = C„, A„ siii 3„ = H„. On voit aisément en efiet que la série
(6) 2 sin - -H 4 ?iii — h . . .-I- i" siu — -r-. . .
converge absolument pour toutes les valeurs de l, mais ne converge pas uniformément.
Voici d'ailleurs quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes de la convergence d'une série de la forme (3). Ecrivons-la sous la forme
S C„ siii ï,,^ = S t Y, sin OLfit -^"ï. C,j sin 2,^ /,
la première des séries partielles du second membre comprenant tous les termes pour lesquels le coefficient «,, est supérieur à une quantité donnée 7. et la seconde tous les termes pour lesquels le coefficient a.,, est inférieur à cette même quantité. Il faut alors et il suffit que les deux séries
2|C,,[ et SIC,.,,;
On voit, par l'énoncé de ces conditions, que la série (3) peut converger, bien que la série i | C, | diverge ou même bien que le coefficient G,, puisse croître au delà de toute limite; c'est ce qui arrive en particulier dans les circonstances suivantes; soit a un élément quelconque du mouvement elliptique d'un asire; on est conduit à l'équation difTérentielle
'Il — V
dt " '
F étant une série trigonométrique du temps dont les coefficienis dépendent des
divers éléments du mouvement. On trouvera alors comme première approxima-
5q4 SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.
tioa pour la variation ox de l'élémeat a, en négligeant les carrés des masses,
Le second membre se compose, en général, d'un terme séculaire et d'une série irigonomélrique. Pour certaines valeurs incommensurables du rapport des moyens mouvements, cette série présente une convergence qui n'est pas uniforme. ( )n peut toujours trouver dans un inlervalle quelconque, si pelil qu'il soit, une infinité de valeurs de ce rapport qui donnent une convergence non uniforme et une infinité de valeurs qui donnent une convergence uniforme.
Lorsqu'une fonction (f{t) peut être représentée par une série trigonoinélrique uniformément convergente, on est certain que sa valeur absolue I9] restera finie quand le temps croîtra indéfiniment. Il n'en est plus de même lorsque la convergence n'est pas uniforme. On peut déuionlrcr seulement que, quand /
croît indéfinimenl, le rapport ' ^ lend vers zéro.
Si une série 9(^) n'est ])as uniformément convei-gente, mais que la série obtenue en la dilïérentiant terme à terme converge uniformément, celle série
représentera la dérivée '-^ et le rapport - tendra vers zéro quand t croîtra indéfiniment.
Nous pourrons écrire en efifet
? = './-*- ?'/' (7^ désignant la somme des q premiers termes de cette série cp. On aura
dl
s^ et r,i étant des constantes ne dépendant que de </. De plus, par hypothèse, on peut prendre q assez grand pour que r,i soit aussi petit que l'on veut. On aura alors
ce qui montre que la limite du rapport ' pour l infini est certainement plus
petite que /',/ et par conséquent qu'elle est nulle, puisque r,, peut être pris aussi petit que l'on veut.
Il en sera encore de même si la série cp(/) est la somme de deux autres dont
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 5g5
l'une est uuifoniiéinenl convergente et dont l'autre a sa dérivée uniformément convergente. Comme exemple de pareilles séries, je puis citer la série (i) ellemême, que je puis écrire
(7) ç(Z) = 2 M II cos Xiit -i- ^ ( '.,, sin -x^jl -h Z C,/ siii a,,/,
en supposant que les coefficients a^ sont tous plus grands qu'une quantité X el les coefficients cxp tous plus petits que X. 11 arrive alors que les deux premières séries du second membre de l'identité (7) convergent uniformément ainsi que la dérivée de la troisième.
Gomme second exemple citons la série
en supposant que — | G,/ 1 diverge et que i | C^a^ | converge.
La dérivée — ^ --=^ iC^a,/ sin 2 x,jt convergera iiniforniément.
Dans l'un et dans l'autre cas, le rapport — et — tend vers zéro pour / infini. Posons maintenant
Nous supposerons que la série <^{t) contient des termes en sin a,,,/ et en coscxiiit et que a,„ soit plus grand que A, de telle sorte que ce coefficient se trouve parmi ceux que nous avons appelés plus haut ap. 11 viendra
2<!/(/) = :> 7 — Mil- t
Cn . , s ,, ("IS 2,,, I
/ siii {oi,ii± 2/,) t ■+- (.11,1 H 1 (.,/ sni u,/ I
jiLi:ti,i(^,,±y.,„) "• '"
Toutes les séries qui entrent dans le second membre de celte relation sont des séries trigonométriques dont les dérivées sont uniformément convergentes. Si donc on divise par t un quelconque des termes de ce second membre (à l'exception du terme séculaire C„,^), la limite du quotient est nulle pour l infini. On déduit de là légalité
5qG SÉRIES TRIGONOMETRIQUES.
On irouverail de même
d'où la conséquence suivante :
Il est impossible que la valeur absolue | (p | de la série (p(0 reste constamment inférieure a ou a ^•
On peut tirer de là quelques conclusions importantes. Parmi les séries de la forme (3), il peut y en avoir qui, ([uoique convergentes, onl des coefficients plus grands que toute quantité donnée.
Telle est par exemple la série (6) dont le /i"""' coeflicient est égal à 3". 11 en résulte que la soiiiine de ces séries peut croître avec le temps au delà de toute limite. Ainsi, pour démontrer qu'un système de A" corps est stable, il ne suflit pas de faire voir que les distances mutuelles de ces corps peuvent être représentées par des séries trigonoméiriques convergentes, il faut encore que la convergence soit uniforme .
Une autre conséquence, c'est que la somme d'une série trigonométrique ne peut êlre constamment nulle, sans que tous les coefficients soient nuls, puisque cette somme ne peut rester constamment inférieure en valeur absolue à la moitié d'un quelcontiue des coefficients. Il en résulte encore qu'une môme fonctionne peut être représentée par deux séries trigonométriques difl'érenles, sans quoi la dillerence de ces deux séries aurait une somme nulle sans que tous les coefficients soient nuls.
Il peut se faire qu'une série trigonométrique, après avoir rcprésenlé une fonction dans un intervalle donné, représente une fonction toute difl'érente dans un autre intervalle. C'est ce qui arrive, par exemple, aux séries que M. Callaudreau a employées pour le calcul du mouvement de (m) Héra; mais une pareille difficullé n'est pas à craindre avec les séries habituellement employées, qui sont généralement choisies de façon à satisfaire formellement aux équations différentielles du mouvement. C'est ainsi que les séries de M. Lindstedt, en les supposant absolumenl convergentes, représenteraient les distances mutuelles des astres pour toutes les valeurs du temps.
Jusqu'ici nous avons supposé que les séries que nous considérions étaient absolument convergentes. Il reste à examiner le cas de la semi-convergence qui peut se présenter dans des circonstances trop variées pour que je les énumére
toutes ici. Je me bornerai au cas suivant qui me paraît être le seul qu'on puisse rencontnM' dans des applications. Soit
une série absolument convergente dont chaque terme est lui-même !;i somme d'une série trigonomélrique absolument convergente. Il peut arriver que, lorsqu'on a affaire à une série de celte forme, il soil impossible de changer l'ordre des termes sans altérer la convergence; il y a alors semi-convergence. On peut être conduit à une pareille série dans l'application de la méthode des approximations successives. Supposons qu'en négligeant les carrés des masses on soit conduit à une série trigonomélrique s^. Quand on tiendra compte ensuite des carrés, en négligeant les cubes, on verra qu'il faut ajouter à la série Si une autre série trigonomélrique 5o, et ainsi de suite. On sera ainsi amené à une série
qui devra converger si la méthode peut donner une approximation indéfinie. C'est ce qui arrive dans la méthode de M. l^indstedl el dans d'autres analogues. Ces séries peuvent converger dans un petit intervalle de temps sans converger pour toutes les valeurs de t. Je citerai comme exemple la série
■> sin2; — /j sin''< -I- 8 sin^i — . . .-1- (— i)"+i')« siii^''^ -h . . . ,
dont chaque terme peut manifestement s'écrire sous forme de série Irigonométrique et qui n'est convergente que si
Kiog-
J'ai lieu de penser que les séries de M. Ijindsledl sonl semi-convergentes de la façon que je viens de dire, mais non aljsolument convergentes, d'où il résulterait qu'elles ne représenteraient les distances mutuelles que pendant un intervalle de temps limité.
En résumé :
La convergence d'une série trigonomélrique peut être ou ne pas être o6.îo/ap. Si elle est absolue, elle a lieu pour toutes les valeurs du temps. Si, au contraire, la série n'esL que semi-convergente, cette semi-convergence ne subsistera en général que pendant un certain inl(!r\alle de temps.
SgS SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.
Si la convorgence est absolue, elle peut être ou no pas être uniforme. Si elle est uniforme, la fonction représentée par la série restera inférieure à une certaine limite ; dans le cas contraire, cette fonction pourra croître indéfiniment.
Enfin une même fonction ne peut être représentée que d'une seule manière par une série trigonométrique absolument convergente.
SllK m MOYKN D'AUGMENTER
