CONVERGENCE DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Bulletin istroiiomique, I. .'î, p. .S21-J28 (iSSO).

M. Gyldén a donné, dans les Aslronomisclie Nackrichlen^ un moyen d'augmenter la convergence des séries Irigonomélriques, et M. Callandreau a appliqué cette méthode au calcul des perturbations d'Héra. Dans l'un des derniers numéros du Bulletin Astronomique (III, p. 3-8), M. Charlier, assistant à l'observaloire d'l)f)sal, a repris la même question. La lecture de son travail m'a inspiré quelques rétlcxions, qu'il ne sera peut-être pas inutile de publier.

Soit une série trigonomélrique

- A„, siii //).;■ -H i; t!„, cos/n.r.

IVous dirons, pour abréger, que la convergence de celte série est d'ordre p si l'on a, eu désignant d'une manière générale par |X| la valeur absolue du nombre X,

! ini'A,,, j gK, l/n/'B,„Î^K,

K étant une quantité positive indépendante de m.

Soit maintenant une fonction f{x) périodique et de période 2r. .le suppose qu'elle soit finie et continue, ainsi que toutes ses dérivées pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 271, sauf pour un nombre fini de valeurs exceptionnelles.

Je dirai que la fonction /(j?) présente, pour une valeur donnée de x, une

fion SÉRIES TRIGONOMETRIQUES.

discontinuité d'ordre/», si, dans le voisinage de cette valeur, la fonction et ses j> — 3 premières dérivt^es sont (inics et continues, et si la (/) — i )"'""^ dérivée est finie, mais discontinue.

Soit alors /(x) = iA,„sinm3; + "L^mCosmx.

Je dis que, si la fonction/(a:) ne présente que des discontinuités d'ordre /), elle sera représentée par une série trigononiétriqiie dont la convergence sera d'ordre/».

Je vais démontrer d'abord que celte convergence sera au moins d'ordre p — I, et pour cela je commencerai par examiner le cas où la fonction f{x) n'a que des discontinuités du second ordre. Cela veut dire qu'elle a une dérivée finie, mais discontinue. Supposons donc que sa dérivée soit toujours plus petite que K en valeur absolue. On aura alors, quel que soit A,

Il ) ~ /'( .r I = S A „

-/(j-); <\Kii

inh

\u //i/i co^ iii.r — ''SA,,, -^iii- ■<\u Di.r

Dlll

■ l'DS m.r — 1 1

"iii /;(/( ^iii Di.r.

Or, une propriété bien connue des séries trigonométriques, c'est que tout coefficient est plus petit en valeur absolue que le double du maximum de la valeur absolue de la fonction représentée. En appliquant ce théorème à la fonction /(x + A) — /(x), on obtient

1 mit — > V>„

■Kli

B„, siii //(/( < . K A [

ou, en divisant par m/i,

mil

\u mh mil

Cela est vrai quel que soit h. Or, si l'on fait tendre h vers zéro, les premiers membres tendent respectivement vers A,„ et B,,, ; on a donc

Si maintenant /"(j:) ne présente que des discontinuités d'ordre/), sa dérivée d'ordre/) — 2 n'aura que des discontinuités d'ordre 2. Or, cette dérivée s'écrit

ml'—'- A„, -i]i

mx -;-(/> — 'î)'~ -+- - '"''"'- B,„ cos mx -t-(p — 2)- {■

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 6oi

Celle dérivée n'ajant rjue des discontinuilcs du second ordre, sa convergence doil êlre au moins du premier ordre, c est-à-dire que l'on a

/«/'-' A„,|<| 2 K 1, ; ni/'-'B,,, K; -jK ;.

Ces inégalités oxprimenl (jne la série qui représente f{x) a une convergence d'ordre p — i au moius.

Je vais maintenant démontrer que celle convergence est à'oiàrc p.

Pour celii. je vais me proposer le problème suivant :

Construire une fonction périodique qui aJntettc des discontinuités données.

Premier cas. — Les disconlinuilés sont du premier ordre.

Soient y.i. ato, . . ., y.,,- n valeurs de x classées par ordre de grandeur croissante et comprise entre o et 2r.. Ce seront les valeurs pour lesquelles la fonction à construire o{sc) devra être discontinue. Soient (3), (3g, . . . , 3;i les sauts que devra subir la fonction o{x) quand x passera par ces diverses valeurs. On aura alors

Iim[ç(a,-|- s) — o(3:, — £)] = [j,,

quand c tendra vers zéro par valeurs positives.

Soit enfin 3„^i le saut que subira la fonction cj quand x passera par les valeurs o ou 27:, de telle sorte que

Iim[ = fO-r(-£)] = /.,+i

(i^/ïri pourra èlre nul si la fonction est continue pour x 1^ o). Telles sont les données de la (juestion. Comme on doit avoii-

il suffira de construire o{x) pour toutes les valeurs de x comprises entre o el 2 77. i\ous prendrons

Kiiirt II oi X| ... ç(x) = '/.x -¥- h, Entre 2| et 20 . . . çfa;) = /..r -1- /( -i- fii, Entre x., et y.-.- ... z{x) = Àar -h /t -h [ii -f- p-.,

Enire 2n i et 7.„ ... z(x) = \x -h A -1- [ii-i- [i-, -(-... -1- [in-i, Entre 2,, el -J- ... 9(3:; = \x -H A -+- ;i, -H 3^ -i-. . . -H i'5„, -4- [î,.