I'. — IV

6n > SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

On doit d'ailleurs avoir

Il est clair que la foncliOQ ©(-c) satisfait aux conditions que nous nous sommes imposées.

On pourra la développer en série trigonomélrique

z(x) = - A,„ siii /«J- -f- S [>,„ coi /njc.

Il est aisé de constater, par un calcul direct, que la convergence de cette série est du premier ordre (et non pas du second ordre).

Nous choisirons la constante h, de telle façon que Bo soit nul.

Deuxième cas. — Les discontinuités sont d'ordre/).

Nous voulons construire une fonction '■/p{x) qui admette des discontinuités données d'ordre p. Cela veut dire que la dérivée {p — jy'™" de celte fonction doit avoir des discontinuités données de premier ordre.

D'après ce qui précède, on pourra toujours construire une fonction

ç(x) = SA,,, «in nix -\- IIJ,,, cosmx :

i" qui admet les discontinuités du premier ordre que nous imposons à la dérivée {p — i )""■' de 'i{x);

2" qui soit telle que B„ = o;

2" qui soit leprésenlée par une série dont la convergence soit du premier ordre. Nous ferons alois

Celte fonction aura o{x) pour dérivée {p — i )'*""". Elle satisfera donc aux conditions du problème; de plus elle sera représentée par une série convergente d'ordre p (et non pas d'ordie /) + i ).

Cela posé, reprenons notre fonction fi x) dont les discontinuités sont d'ordie /J, et la série (jui la représente. Je dis que la convergence de cette série sera d'ordre p. En ellet, nous pourions construire une fonction périodique <^p(x), offrant les mêmes discontinuités d'ordre p que /(x) et qui soia représentée par une série convergente d'ordre p (et non pas d'ordre /? + 1 ).

SERIES TRIGONOMÉTRIQUES. 6o3

Alors la difTérence y"(x) — ?/j(^) n'aura plus que des disconlinuilés d'ordre p -\- \ . ol sera donc représenlt^e par une série donl la conveigencc sera au moins d'ordre p.

Or, il en est de me'me de «^.(a:).

Il en sera donc encore de même dcy(x). c. q. r. n.

Je dis maintenant que la série qui représente f{x) ne peut pas avoir une convergence d'ordre /> + i .

En effet, la différencoy(^) — cp^j(x), n'ajanl que des disconlinuilés d'ordre /; + I , sera représentée par une série convergente d'ordre p + \ . Si donc il en était de même de /{^'), il en serait encore de même de '^,,{.t), ce qui n'a pas lieu.

Donc la convergence de la série qui représcnle /'(a?) est du y/*"" ordre [et non pas du (/; -1- I )"*""' ordre]. c. n. f. n.

On peut appliquer les principes qui précèdent au problème de M. Gjldéu. Ce problème consiste, comme on l'a vu, à trouver une série trigonométrique donl la couvergence soit d'ordre/? el qui représente une fonclion /'(a;) pour loules les valeurs de x comprises entre o et 7:. Je supposerai que cette fonction /'(a?) soit finie el continue ainsi que loules ses dérivées.

Imaginons donc une nouvelle fonction (o{x) qui soit également finie et continue ainsi que toutes ses dérivées, mais qui est d'ailleurs complètement arbitraire. Il existera une série trigonomélrique

S A „, sin m.T ■+- 2 B,„ cos ni.v,

(jui représentera J'(x) quand x est compris entre o el tt, et '^{x) quand x est compris entre — tt et o. Il suffit pour cela de faire

■- 7-.B„= f J\ x ) ,lx + r 9 r .'■ ) dx,

n l!,„ = / /( X) COS. DIX r/x -i- j ■;■( x) cosmx dx,

./'( ./• 1 -i II mx dx-h r(x)^\n nix dx.

Il s'agit de choisir la fonction arbitraire cp(a;) de telle façon que la série soit convergente d'ordre />.

6o4 SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

Or, d'après les principes exposés plus haut, il faul et il suffit pour cela que l'on ait

/(oj = 9(o), /'(o)= ç,'(o), /"(o)=9"(o), /'/— ii(o) = ?'/'-"(o),

f',f", . . ., /■>''-' I désignant les dérivées successives de/, et o', cp", . . ., cp'''-'i. celles de a.

On peut évidemment satisfaire à ces conditions d'une infinité de manières. La fonction '•i)(.r) reste arbitraire dans une large mesure. Cotte fonction et ses p — 1 premières dérivées sont seulement assujetties à prendre des valeurs déterminées pour a: = o et pour a: = — t.

Appliquons les principes qui précédent au cas particulier dont s'est occupé M. Charlier, c'est-à-dire au cas où

11 s'agit de développer la fonction x en une série de In forme

> [j„ sm iix.

Cela revient à prendre

Cela posé, écrivons les conditions pour que la convergence soit d'ordre p : I =-i + ^^n'fi,,, I =-i-l-2.in^,(-i)",

0 = 2', iiT l'i,, , 0 = S 4 «7 ( — I )" ;•;„ ,

où q est le plus grand entier impair qui ne dépasse pas p.

Le nombre des inconnues, les (3„, est de 2r; pour que le nombre des équations soit égal à celui des inconnues, il suffit de prendre

p ^= ir, n = ■> r — I .

SÉRIES TRICONOMÉTRIQUES. 605

Les équalioiis ikjus donnent alors

immi

d'où l'on lire

il vient ensuite

■i='^i(>ii)[i.,„, O =2 4(9./i )''?«„ (h = 'i. ->,..., J-r — i),

d'où l'on peut tirer les valeurs des /• coefficients restants

On verrait aisément (|iie l'on retombe sur les valeurs trouvées par M. Gyldén et par ,M. Charlier.

l'assons maintenant au cas général, et soit une fonction quelconque /"( a") qu'il s'agit de représenter entre o et tt par une série de la forme

^ A ,„ cos nix -^ ^ :>. [j„ siii /(j

et dont la convergence soil d'ordre p. Nous prendrons encore ici p^^ ir. Cela

revient à faire

a(x) =/('— ,r ") + S 1 3„ siii nx.

Nous serons ainsi conduit aux éc[ualions suivantes :

/ (o) = y.^Ln'fi,,, /'{-) = •'i;/'(- I )"/„,

On tirera de ces équations les 2 /■ coefficients,

\M, H», ■••, \'ir,

en fonctions linéaires des ir quantités,

Go6 SÉRIES TRIGONOMETRIQUES.

Il est clair, d'ailleuis, que la solulion précédente, qui contient celle de M. Gjldén, peut être variée à l'infini, puisque la fonction ':j{x) reste presque complètement arbitraire.

Qu'on me permette une dernière remarque au sujet de l'application que M. Gallandreau a faite des méthodes de M. Gjldén. Rappelons d'abord sommairement en quoi consiste cette application. On prend pour variable indépendante X l'anomalie excentrique de la planète troublée; et l'on exprime les diverses quantités qui s'introduisent dans le calcul en fonction de celte variable. Soit F(j;) une de ces quantités; ce sera une fonction finie et continue ainsi que toutes ses dérivées. On exprime ensuite x par la série de M. Gjldén,

^ = S A,„cos mjc -f- 2 IJ,„ «in inx,

dont la convergence est d'ordre p.

La somme y'(a:) de cette série sera une fonction périodique, finie et continue ainsi que ses p — i premières dérivées, et qui se confondra avec x dans l'intervalle o — T..

M. Callandieau dévelo|)pe ensuite F[/'(.r)] en séries trigonométriques dont la somme est F(a7) dans l'intervalle o — r..

I! se trouve que la convergence de ces séries est encore d'ordre p.

IjC succès de cette méthode s'explique aisément grâce aux propositions que je viens de démontrer. Si, en effet, f{x) est finie et continue ainsi que ses p — I premières dérivées, il est clair qu'il en sera de même de F[/(:r)].

SUR LA SÉIilE DE LAPLACE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 118, p. 497-501 (5 in:irs i8(i4)'

On sait que Dirichlel a lu premier dénionlré d'une façon rigoureuse le résultai énoncé par Laplace qu'une fonction arbitraire des coordonnées d'un point sur une sphère peut être développée en une série de fonctions spliériqucs. Il n'a pas défini les conditions auxquelles doit satisfaire celte fonction arbitraire avec autant de précision que dans son Mémoire sur la série de Fourier; aussi ne faudrait-il pas croire que sa démonstration s'applique à des cas aussi étendus et qu'il ne faut pas faire des hypothèses plus restrictives. A un moment de sa démonstration, en effet, il procède à une intégration par parties, ce qui l'oblige à différentier la fonction qu'il appelle ©('-p)-

Cependant sa démonstration s'applique sans difficulté au cas suivant qui est le plus Important : supposons que la surface de la sphère soit partagée en un certain nombre de régions

Hi, H2, .... n,,

et que chacune de ces régions soit limitée par un polygone curviligne formé d'un nombre fini d'arcs de courbes analytiques; supposons que dans chacune de ces régions la fonction arbitraire V à développer soit analytique, mais qu'elle éprouve des discontinuités quelconques, quoique en restant finie, quand on passe d'une région à l'autre. Elle peut même être étendue à des cas plus généraux sur lesquels je reviendrai plus loin, mais que je laisse de côté pour le moment.

Je ferai la même hypothèse; car le but de cette Note n'est pas de généraliser

Cl Diuis r.inalyse de Poincaié, cette Nule ligure sous la rubrique : l'iiyslque iiiatlirti]atic|ue.

Go8 SÉRIE DE LAPLACE.

la démouslratlou de Dirichlel, mais de la présenter sous une forme nouvelle qui me paraît plus simple.

Soil donc une sphère S de centre O et de rayon i ; passons aux coordonnées polaires en posant

,;■ = /■ sin fl cos z. 1 = /■ sin fl siii ç. z ^ /'cosfl.

Soit sur cette sphère un élément de surface d(^' ayant pour centre de gravité un point M' dont les coordonnées rectangulaires ionljc', y', ^' et les coordonnées polaires i , 0' et o'.

Soil à l'intérieur de la sphère un point M dont les coordonnées rectangulaires sont X, y, z et les coordonnées polaires /•, 0 et o.

Soil V la fonclioD à développer qui deviendra V quand on y changera 0 et cp en 0' et o'.

Soil p la distance MM' el y l'angle MOM' de sorte que

cos 7 = cosO cosO'-f- sin 0 sin 0' l'os( ç. — ;'), p- = I — ■' ;■ cos 7 H- /•■-.

Introduisons la fonction

l'inlégration étant étendue à tous les éléments cIm' de la sphère.

On sait que cette fonction satisfait à l'cqualion de Laplace, qu'elle lend vers V quand r lend vers i ; que quand le module de /■ est plus petit que i elle est développable en série convergente sous la forme

11 s'agit de savoir si celte série converge encore pour ;• ^ i et si elle représente alors V.

Je vais regarder 0 el o comme des constantes et r comme une variable à

laquelle je donnerai des valeurs réelles ou imaginaires. Si 0 el o sont des

constantes, la droite OM est fixe; j'appelle [3 l'angle du plan MOM' avec un

plan fixe passant par OM. Alors V peut être regardé comme fonction de y el de ]3, el l'on a

th')' = sin 7 '/;■ d'i.