SÉRIE DE LAPLACE

Posons

d'où

On voit d'abord que F(y) est une fonclion conlinue; iluv a d'exception que si le contour de l'une des réj^ions R comprend un arc du petit cercle y = yo- Dnns ce cas F(y) est discontinue pour yz^y^. De plus F(y) a une dérivée finie, sauf pour les valeurs singulières yi, yj, . . ., qui sont telles que le petit cercle y = y/ est tangent au contour de l'une des régions R. I*our ces valeurs singulières, qui d'après nos hypothèses sont en nombre fini, la dérivée F'(y)

est infinie, généralement d'ordre - 1 d'ordre si le contact est d'ordre/i — i .

L'intégration par parties nous donne

Il s'agit de savoir ce que devient cette expression quand le module de r tendant vers l'unité, /• tend vers <?'!'; on trouve alors

p = e- \/2{cosili — cosy).

Le signe du radical est toujours parfaitement défini, puisqu'on sait qu'on doit faire tendre le module de /■ vers l'unité par valeurs plus petites que i.

On voit alors que W reste fini quand dzi\i n'est pas égal à l'une des valeurs singulières y, qui rendent F'(y) infini. Si i^=::rhyi, W devient infini, en

général logarithmiquement, d'ordre si le cercle y — y, a un contact

d'ordre /> — i avec le contour d'une des régions R, d'ordre - si la fonction F(y) est discontinue.

Dans tous les cas, et c'est là le point essentiel, l'intégrale

reste finie.

D'autre part, si ]; est compris entre <]/„ et .};i, et que dans cet intervalle ne se trouve aucune des valeurs singulières ± y,-, si /• ^ [ /■ | e"T' et que j r \ tende vers l'unité, la fonction W tendra uniformément vers sa limite, ce qui prouve que l'intégrale (3) C\\r^"rlr

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prise le long du cercle île rayon i est la limite vers laquelle tend cette même intégrale prise le long d'un cercle de ravon r ■< i , lorsque r tend vers i , et, par conséquent, en vertu du théorème de Cauchj, que ces deux intégrales sont égales.

Cela posé, il s'agit de savoir si la fonclion VV peut être représentée pour pz=e'+, c'est-à-dire, sur le cercle de rayon i, par la série de Fourier. Il est clair qu'il en est ainsi, car l'intégrale de Dirichlet

sin

conserve sa propriété caractérislique, qui est de tendre vers la valeur do W pour (]; ^ a quand n croît indéfiniment. Ainsi VV est développalde par la série de Fourier, elles coefficients sont les mêmes que ceux de la série (i), puisqu'ils sont les uns et les autres exprimés à l'aide de l'intégrale (3). On a donc pour r = e''^ :

et pour ;• ;= 1 :

Bien que présentée sous une forme notablement f)lus simple, celte démonstration ne diffère pas essentiellement do celle de Dirichlet; elle s'applique donc, comme colle-ci, à des cas fort étendus.

Pour qu'elle ne soit pas en défaut, il suffit que l'intégrale

reste finie et que les parties réelle et imaginaire de W soient la différence de deux fonctions n'ayant qu'un nombre fini de maxima et de minima.

Il suffira pour cela, par exemple, que la fonction V ait ses dérivées des deux premiers ordres finies dans chacune des régions R; il n'est donc pas nécessaire qu'elle reste analytique.

La démonstration de Bonnet est valable dans les mêmes conditions.