II. — Définition des domaines D

Représentons-nous une fonction analytique comme le faisait Weierstrass. Un élément de fonction, c'est une série de puissances R convergente à l'intérieur d'un cercle C. Deux éléments sont contigus quand leurs cercles de convergence C et G' ont une partie commune, et quand en tout point de cette partie commune, les deux séries R et R' correspondant à ces deux éléments ont même somme. Une fonction analytique sera alors constituée par un ensemble dénombrable d'éléments de fonction, tels que l'on peut passer de l'un quelconque de ces éléments E à un autre quelconque E' par une chaîne formée par un nombre fini d'éléments, le premier élément de la chaîne étant E et le dernier E', et chaque élément de la chaîne étant conligu au suivant et au précédent. Pourquoi cet ensemble doit-il être dénombrable, c'est ce que j'ai expliqué au Tome 2 des Rendiconti del Circolo Malematico di Palcrmo ( ' ).

Cela posé, voyons ce que nous devons entendre par le domaine D d'une fonction analytique F quelconque. C'est l'ensemble des cercles de convergence C relatifs aux différents éléments de F, mais avec la convention suivante : pour que deux points du domaine soient regardés comme identiques, il ne suffit pas qu'ils aient mêmes coordonnées. Soient E et E' deux éléments de la fonction, C et C les cercles de convergence correspondants; R et R' les deux séries correspondantes, soient M et M' deux points considérés comme appartenant le premier à C, le second à C, et ayant d'ailleurs mêmes coordonnées; les deux points coïncident donc au point de vue géométrique, mais il ne s'ensuit pas qu'ils soient identiques à notre nouveau point de vue; de l'un de ces deux points comme centre, je décris un cercle K assez petit pour être contenu tout entier tant dans C que dans C; si les deux séries R et R' ont même somme à

C) Voir ce Tome IV, p. ii.

l'intérieur de K. les deux points M et M' seront regardés comme identiques, sinon non. Ainsi notre domaine sera un plan à plusieurs feuillets et en général à une infinité de feuillets; ce sera une sur/ace de Riemann analogue à la surface S envisagée dans le Mémoire cité.

On pourra faire une convention difl'érenlc; on pourra convenir que l'égalité des séries R et R' reste une condition nécessaire pour que les deux points M et M' soient identiques, mais que celle condition ne soit plus suffisante. Nous pourrons même convenir de regarder deux éléments de la fonction F comme non identiques, bien que les cercles C et C correspondants soient les mêmes de même que les deux séries R et R'. Si par exemple on a F = \'^, et qu'on parte d'un élément quelconque de cette fonction, l'élément sur lequel on retombera après avoir tourné deux fois autour du point z^^o sera généralement regardé comme identique à l'élément initial. Mais nous pourrons également convenir de le regarder comme différent.

On définira ainsi un autre domaine D', nous pourrons appeler D le domaine principal de la fonction F; les divers domaines D' seront les domaines secondaires de cette même fonction. Alors à chaque point d'un domaine secondaire D correspondra un point et un seul du domaine principal D, mais à un point de D pourront correspondre plusieurs points de D', et en effet pour que deux points de D' soient identiques il faut, mais il ne suffit pas que les deux points correspondants de D soient identiques.

Pour définir un domaine secondaire D', nous devons, d'après ce qui précède, énoncer les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux de ses points M et M' doivent être regardés comme identiques. Le choix de ces conditions reste arbitraire dans une très large mesure, il est cependant soumis aux restrictions suivantes. Soient deux points 1\I et M', ayant mêmes coordonnées et appartenant respectivement à deux éléments de fonctions; soient G et C les deux cercles, R et R' les deux séries correspondant à ces deux éléments. Il s'agit de savoir à quelles conditions les deux points M et M' seront identiques.

1° La condition que R = R' dans le voisinage des points M et M' n'est plus suffisante, mais reste nécessaire.

2" Si les points M et M' ont mêmes coordonnées, il y aura une infinité de couples de points N et N' appartenant respectivement à C et .à C et qui auront mêmes coordonnées. Si M et M' sont identiques, il devra en être de même pour tous les couples de points tels que N et M'.

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. yS

3" Deux, points identiques à un même troisième sont identiques entre eux.

4" Si nous considérons deux éléments quelconques de la fonction F, et que les cercles correspondants soient C et C';il faudra que l'on puisse passer de l'un à l'autre par une chaîne d'un nombre fini d'éléments, dont les cercles soient respectivement C. Ci, C^, . . ., C„, C; et de telle façon que si l'on considère deux cercles consécutifs de cette chaîne, il j ait un point intérieiiià l'un qui soit identique à un point intérieur à l'autre.

On voit aussi la possibilité de définir un domaine, indépendamment de toute fonction F. Il suffit de se représenter un ensemble dénonibrablc de cercles Ci, C2, ..., en convenant que deux points appartenant à deux de ces cercles peuvent ne pas être identiques bien qu'ayant mêmes coordonnées, ou même que deux de ces cercles peuvent coïncider sans être regardés comme identiques. Il faut alors pour achever de définir le domaine, énoncer les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux points M et M' soient identiques; ces conditions devront rester soumises aux restrictions énoncées plus haut; la première ici n'a plus de sens, mais les trois autres doivent subsister.

Les cercles Ci, Co, ... sont les cléments du domaine, et deux de ces éléments sont dits contigus quand les deux cercles ont une partie commune et que dans cette partie commune, les points correspondants sont Identiques. Si alors D est le domaine principal ou un domaine secondaire d'une fonction F, et si deux éléments de D sont contigus, il en est de même des deux éléments correspondants de F; mais la réciproque, vraie pour le domaine principal, n'est pas vraie pour un domaine secondaire.

Observons maintenant qu'étant donnée une fonction analytique, on peut construire pour cette fonction plusieurs domaines principaux. Il y a en eflel une infinité de manières de décomposer cette fonction en un ensemble dénombrable d'éléments de fonctions. Soit par exemple la fonction y z, nous pouvons prendre une infinité d'éléments, dont les cercles de convergence iront tous passer par l'origine; mais les centres de ces cercles, qui doivent former un ensemble dénombrable, pourront être choisis arbitrairement dans une certaine mesure. Il suffit do s'arranger de façon que tout point du plan soit intérieur au moins à l'un de ces cercles.

Comme nous pouvons choisir d'une infinité de manières ces c(!rcles de convergence. Il y a, si nous conservons la définition qui précède, une infinité de domaines qui peuvent être regardés comme le domaine principal d'une

yd UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

même fonction analytique. Tous ces domaines devront cependant être regardés comme équivalenls. Cette notion de l'équivalence de deux domaines peut aussi se définir sans faire intervenir la fonction F. Deux domaines seront équiva Cents quand on pourra établir entre les points de l'un et ceux de l'autre une correspondance biunivoque, de telle façon qu'à tout point de l'un corresponde un point de l'autre et un seul, à deux points identiques de l'un deux points identiques de l'autre, à deux points non identiques de l'un, deux points non identiques de l'autre; et à deux points infiniment voisins de l'un, deux points infiniment voisins de l'autre.

Un domaine D est contenu dans un domaine D, quant à tout point de 0 correspond un point de D, et un seul; quant à un point de Dj ne peut correspondre qu'où bien un seul point de D, ou bien aucun point de D; quand enfin deux points de l'un sont identiques, non identiques ou infiniment voisins si les deux points correspondants de l'autre sont identiques, non identiques ou infiniment voisins.

Un domaine D sera multiple d'un domaine D,, quand à tout point de D correspondra un point de D, et un seul, tandis qu'à tout point de D, correspondent plusieurs points de D ou même une infinité; de sorte qu'à deux points identiques de D correspondent deux points identiques de Di, tandis que la réciproque peut ne pas être vraie; de sorte enfin qu'à deux points infiniment voisins de D correspondent deux points infiniment voisins de Di. Complétons toutes ces définitions (domaines équivalents, contenus ou multiples) en disant que deux points correspondants doivent avoir mêmes coordonnées. 11 est clair alors que si D est le domaine principal et D' un domaine secondaire d'une fonction analytique F, D' est multiple de D.

Quelques remarques encore. Nous avons donné plus haut la définition d'une fonction analytique F et de son domaine principal D; mais si l'on s'en tient à cette définition, il est permis de supposer que la fonction pourrait encore être prolongée analytiquement au delà de son domaine D, et que la frontière de ce domaine n'est pas une limite naturelle, mais une limite artificielle. C'est ainsi qu'un élément unique de fonction, une seule série avec son cercle de convergence satisferait à notre définition. Dans ce cas nous dirons que la fonction F est incomplète. Elle sera au contraire complète, si elle ne peut pas être prolongée, analytiquement en dehors de son domaine. Si l'on a une fonction incomplète, la fonction obtenue en la prolongeant analytiquement de toutes les manières possibles sera la fonction complétée. Il résulte de là que le domaine

d'une fonctiou incomplélu est contenu dans le domaine de sa fonction complétée.

Nous pouvons étendre la notion d'élément; et par exemple admettre des éléments injinis de fonction formés par la partie du plan extérieure à un cercle C, de centre a, et par une série procédant suivant les puissances négatives àa X — a et convergeant à l'extérieur du cercle C.

Ce n'est pas tout. Nous regardons en général la circonférence d'un de nos cercles comme ne faisant pas partie de l'élément correspondant. Si alors la fonction F possède des pôles, d'après la définition précédente, ces pôles ne feraient pas partie de son domaine, puisqu'ils ne seraient à l'intérieur d'aucun de nos cercles de convergence mais seulement sur la circonférence. Mois nous pouvons envisager outre les éléments de fonction considérés jusqu'ici et que nous appellerons éléments holomorp/ies, et qui sont formés d'une série de puissances et de son cercle de convergence, nous pouvons, dis-je, envisager ce que nous appellerons des éléments polaires et qui seront formés d'un cercle de convergence et du quotient de deux séries de puissances. Si nous introduisons ces éléments, nous pouvons étendre le domaine D de la fonction F de façon que les pôles en fassent partie.

Nous pouvons même envisager une troisième sorte d'éléments, les éléments algébriques formés d'un cercle de convergence et d'une série de puissances fractionnaires, cela pourrait nous permettre d'étendre le domaine d'une fonction de façon que ses points de ramification algébriques en fissent partie. Ce seraient seulement des points singuliers de ce domaine, et les éléments correspondants seraient singuliers même au point de vue géométrique (c'està-dire en faisant abstraction de la fonction F qui leur a donné naissance), car un pareil élément ne serait pas un cercle simple, mais un cercle multiple, «1''^ si n est le dénominateur des exposants fractionnaires de notre série; de telle façon qu'il y aurait à l'intérieur de ce cercle, n points, qui auraient mêmes coordonnées et qui devraient néanmoins être regardés comme distincts ; et qui s'échangeraient entre eux quand on tournerait autour du centre du cercle. Nous pourrons nous placer tantôt à l'un, tantôt à l'autre de ces différents points de vue.

Nous pouvons envisager maintenant le domaine d'un ensemble de fonctions analytiques. Soient Fj, Fj, . . . , F^ un pareil ensemble. Un élément se composera d'un cercle de convergence C, et de p séries de puissances Rj, Rj, .... l\p, convergentes à l'intérieur de ce cercle, et représentant respectivement une des

déterminations desjD fonctions Fi, F^, . . ., F^,. Deux éléments C, Ri, Ra, . . ., R/j et C, R'i, . . . , R'^ sont contigus quand C et C ont une partie commune et quand on a dans celle partie commune Ri = R, , Ro^^ R,,, . • . , R/,= R^. Rien à changer d'ailleurs à la délînition du domaine principal.

Quelle relation j a-t-il entre le domaine principal D de l'ensemble et les domaines principaux Di, Do, . . . , D^j des p fonctions considérées individuellement? Considérons un élément de Dj et un point de cet élément, il pourra se faire qu'en ce point une des fonctions F.^, F;,, . . . , F^ n'existe pas; dans ce cas ce point n'appartiendra pas à D; il pourra se faire aussi que l'une de ces/j — i fonctions admette plusieurs valeurs, n par exemple; alors à ce point de Dj correspondront n points de D qui devront être regardés comme distincts. Au contraire à lout point de D correspondra toujours un point de Di et un seul. Nous pouvons alors construire un domaine intermédiaire, D',, déduit de Di en supprimant tous les points de ce domaine auxquels ne correspondent aucun point de D; de sorte que Vi\ est contenu dans D( et que D est multiple de D', .

Deux points d'un domaine quelconque seront infîniracnt voisins s'ils ont des coordonnées infiniment peu différentes, et s'ils appartiennent à un même élément de ce domaine. Cela suffit pour qu'on comprenne ce qu'on doit entendre par une ligne continue tracée dans un domaine, par une ligne fermée, par une aire continue dont tous les points font partie d'un domaine, et par la frontière de cette aire. Le domaine sera alors simplement connexe si toute courbe fermée tracée sur ce domaine est la frontière complète d'une aire continue dont tous les points font partie du domaine.