V. — Les fonctions i et

.Soit un domaine D ([uelconfpie, adinetlant une fonction de Green.

Nous allons maintenant comme dans le Mémoire cité, définir les fonctions v et (•„. Nous avons défini déjà les fonctions u et m„ ; s\ x ^\-\- if] est la variable complexe envisagée, nous aurons

Les équations (I)

dul

drr -"'

dv du

du dv

dl^" d',

di ^ d-n

dvil du,.

du,, dv„

dl ~ dn

sont donc couipatil)les et peuvent servir a définir c et v„. On achève de définir

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. f)'j

ces fondions en leur imposanl In comlilion de s'annuli-r eu un |)oint A difTérenl de O; et alors nous aurons

-m"^-'SA ■■■=x(t"-t<)-

Un voit tout de suite que les suites — tj-» —r~ convergeant iinituriiiement (en

vertu du tliéorènie de Harnack) el avant pour liniiles -rr? -r-i la suite i'„ convergéra uniform(''inent et aura pour limite v; nous reviendrons plus loin sur ce résultat pour le préciser. Posons ensuite, toujours comme dans le Mémoire

cité,

il est clair que la suite :„ a poui' limite z. Le point essentiel, c'(;st que la Iduclion 3 est unilorme sur le domaine D quand ce domaine esi simplement connexe.

En lifTet revenons aux intégrales (2) cpii définissent r, C(>s intégrales peuvent admettre deux sortes de périodes :

1" Une [lériode polaire, relative au point O qui est un infini jiour les f(jnc-

lions suus le signe / . Cette période est égale à 21:.

2" .Si D n'est pas simplement connexe, des périodes cycliques relatives aux cliemius d'intégration qui seraient fermés sans être équivalents à zéro. Si [) est simplement connexe, ces dernières périodes n'existent pas, de sorte que r n'admet que la période 21:; mais quand r augmente de 27r. ; ne change pas. Celte fonction est donc uniforme. c. o. F. n.

Mais il y a lieu d'examiner de plus près la formation de ces fondions c,, et z„. Soit d'abord G,, l'élément initial, celui (jui contient le point O. Nous aurons à l'extérieur de C,, : Zf,^ i et à l'intérieur de C„

expression dont je vais expliquer la signification ; x est la variable indépendante, c'est l'affiie du point M de coordonnées courantes Ç et r;; a est l'affixe du point O, a celle du point O' inverse de O par 'rapport au cercle C^, de telle sorte que l'équation de la circonférence do Cq soit

u: — ft

, = const.

X sera l'aflixe d'un point quelconque de celle circonférence, il en résulte que la fonction ;„ nesl pas entièretnent définie, puisque nous pouvons choisir arbitrairement X sur cette circonférence; z„ n'est définie qu'à un fadeur constant près de module i.

Ayant ainsi défini Zg, voyons comment les balayages successifs vont nous permettre de passer de z„ à Za+i- Nous remarquerons que les fonctions z„ peuvent présenter des discontinuités le long des lignes L, c'est-à-dire le long des circonférences des dilTérents éléments; voyons quelle est la nature de ces discoatinuités. D'abord a,, est continu; il en résulte que quand on franchit une des lignes de discontinuité, le module de z„ ne change pas, mais il n'en est pas de même de son argument — r„. Les dérivées de u,, sont au contraire discontinues. Soient ds un élément de l'arc d'une des lignes L, rfv un élément normal à cette ligne; soient

//il II </ii<> r/i,l, ,/ii}, r/s f/v f/s ihi

les dérivées de h„ prises le long de L, ou le long de la normale à L; l'exjjosantd correspondant à l'un des côtés de la ligne L, l'exposant i à l'autre côté. De même pour les dérivées tic t',,. On aura

c/(/JJ du), i/u'!i ilu],

(h ils (hi ih ' '

en désignant par dm ce que nous avons appelé la masse génératrice siluée sur ds, et en posant m' = —j- de façon que ni' représente la densité de celte matière génératrice. D'autre part les équations (i) nous donnent

dUn di'ii du II il Vil

ds (h ih (/s

et on en conclut

d'i d-i ils ds

Cela posé, supposons que pour passer de Zn à ^„n on veuille balayer un certain élément C/,, et je supposerai d'abord qu'il s'agisse d'un élément holomorphe ou polaire. A l'extérieur de C/, nous aurons

el à l'inlérieur de C/,

dm .

Dans celle expression, x est la variable indépendanle; a esl l'affixe d'un point d'une ligne de discontinuité L situé à Tlntérieur de C/, : y.' est l'affixe du point inverse de y. par rapport à C/,, de telle façon que la circonférence de C/i ait pour équation

const.

A esl l'affixe d'un point quelconque de la circonférence de C^, choisi arLitraireinent, mais une fois pour toutes; dm est la masse génératrice située sur l'arc infiniment petit ds de la ligne L, arc dont le centre de gravité est a. Enfin l'intégration doit être étendue à toutes les lignes de discontinuité intérieures à C<. A cause des équations (3) nous pouvons encore écrire

(1 bis)

i"" = / lOg -, 7^—, '/ —

r)I et i',' étant les valeurs de la fonction r„ de pari el d'aulre de la ligne de discontinuité et dans le voisinage du point a de cette ligne.

Si C/, esl un élément infini , cesl-à-dire comprenant la partie du plan exlérieure à la circonférence de C/., nous aurons en dehors de l'élément C/,, Za^\ = z,i, et dans l'élément C/,, qui est tout entier à l'extérieur de la circonférence de C<

(4 ter)

(ar-a')(A

Si enfin Ca est un élément algébrique el si C/; esl un cercle y'''", on aura à l'extérieur de C/, : z,,j^\ = Zn et à l'intérieur de C/.

,ua,er) ,og =j ,og^^^^^=^^^^-^./ (__

On volt qu'à cause des points A qui peuvent être arbitrairement choisis sur la circonférence de l'élément C<. les fonctions ;„ successives ne sont définies qu'à un fadeur constant près de module i ; el encore ce facteur n'est constanl que si l'on ne franchit pas une des lignes tie discontinuité, mais il peut varier brusquement quand on franchit ces lignes.

Supposons un clieinin ne franchissant el ne touchant aucune de ces lignes de discontinuité, c'est-à-dire aucune des circonférences des différents éléments, et envisageons l'intégrale

prise le long d'un de ces chemins. Puisque le chemin n'a aucun point commun avec aucune des lignes de discontinuité, on peut conlruite une aire où il n'v aura aucune ligne de discontinuité et qui contiendra notre chemin. Dans cette aire toutes les fonctions u„ sont harmoniques et on peut leur appliquer le

théorème de Harnack; donc la suite des '-^ et celle des '-^ converiient uniforincment, de sorte (jue / dv„ tend vers j ch-.

Si nous supposons maintenant que notre chemin, tout entier contenu à l'intérieur d'un élément G/,, coupe une ligne de discontinuité I.: le même raisonnement n'est plus immédiatement applicable. Et en efl'et les fonctions m„ sont bien toutes positives, croissent avec n; de plus elles sont harmoniques dans l'aire envisagée, si l'on donne à n certaines valeurs en nombre inlini, à savoir celles qui correspondent aux balavages successifs de l'élément G/,, parce qu'après chacun de ces balayages, il n'y a plus de masses génératrices dans G/,.

Donc par le tln-orème de ILirnack la suite des m„ et celle des '-^ convergent

uuiforinémeut pourvu qu'on ne donne à n que ces valeurs particulières. Mais comme a,, croît avec n, nous pouvons eu conclure que la suite des a,, convergera encore uuilormémenl pour l(jutes les valeurs entières de//; seulement la

même conclusion ne s'impose pas eu ce qui concerne les dérivées '-^, qui ne

vont pas nécessairement en croissant avec n. Décomposons notre chemin en deux parties séparées l'une de l'autre par le point d'intersection P du chemin et de la ligne L. il sufllrait de démontrer le théorème pour ces deux parties. Soit PM l'une de ces parties; si nous |)ouvions assigner aux dérivées de u„ une limite supérieure À, même au point P, le théorème serait démontré. En effet, nous voulons déuiouti'er que l'on peut prendre n assez grand pour que

quel que soit e.

Pour cola nous diviserons l'M (în deux parties PiN -(- NM ; si a" esl la longueur de l'arc PN, et À la limite supérieure dont nous venons de parler, nous aurons

{dv — dv,i) < sX,

et nous pourrons prendre N assez prés de P pour que si <C "j el le point N

une fois choisi, comme iNM ne va plus jusrpi'à ia ligne L, nous pourrions prendre n assez grand pour que

I ih- — dVn ) <