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Nous sommes donc conduits à chercher cette limite supc^rieure 1 et pour cela à étudier la façon dont les masses se distribuent sur les lignes L. Soil une masse m située à l'intérieur d'un cercle Ci, en A; soit B un point de la circonférence C/,, el R le rayon de celle circonférence, et O son centre. Balayons le cercle Ct, cette masse m va se répartir sur toute la circonférence C/;; soit ô la

densité de la matière ainsi répartie dans le voisinage de B. On voit que — est

une fonction des trois distances OA, OB, AB, et que cette fonction ne devient infinie que pour AB = o. Si le point A décrit une ligne de discontinuité L intérieure à C/,, el si B est un poinl tîxe de la circonférence C/, non situé sur L,

nous pourrons donc assigner une limite supérieure à — •

Supposons donc que B soit un poinl d'une circonférence C/,, mais ne soit pas à l'intersection de Ca avec une autre ligne de discontinuité; je me propose de chercher une limite supérieure de la densité de la niaiière attirante en ce point. Cette densité ne peut varier que dans deux cas ;

i" Quand on balaye Ca;

•i" Quand on balaye l'un des éléments dont fait partie B.

Dans le deuxième cas cette densité devient nulle. Dans le premier cas une masse négative au plus égale à i en valeur absolue est répartie en dillerenls points A de Ca; on la balaj'e vers la circonférence de Ca; les points A sont sur les lignes de discontinuité intérieures à Ca, el comme le point B n'est pas sur une de ces lignes, nous pouvons assigner une limite supérieure à la distance AB,

et par conséquent d'après ce qui précède au rapport ' , de- l'accroissement ô de

H. 1^ — tv. ,3

densité au point B, par suite du balayage d'une masse m située en A, à cette

masse m. Nous avons ainsi une limite supérieure de :;; — ) et comme — »i est au

plus égale à i, nous avons une limite H de iô, c'est-à-dire de l'accroissement total de la densité en B par suite du balayage de C/,. Si nous supposons qu'entre deux balayages consécutifs de C/,, on balaye toujours l'un des éléments dont fait partie B, nous voyons qu'avant ciiaque balayage de C/,, la densité en B est nulle; après ce balayage elle prend une valeur inférieure à H (limite de -ô) et la conserve jusqu'à ce qu'on balaye un des éléments dont fait partie B, elle redevient alors nulle. La densité au point B est donc limitée.

Je dis maintenant que les dérivées — ^) —r^ sont limiloes au point B. Décri-

vons en ellct autour du point B un petit cercle K. Soit <p„ le potentiel logariihinique dû à l'attraction des masses situées à l'intérieur de K et qui sont toutes sur la circonférence de C/, ; les densités étant limitées, cp„ et ses dérivées seront limitées; la fonction «„ ([ui est plus petite que u est limitée. La différence u,, — 9,1 est donc limitée à l'intérieur de K et sur la circonférence; de plus cette dillérence u,, — cp„ est harmonique à l'intérieur de K; nous pouvons donc par l'application du théorème de Harnack, trouver une limite supérieure des dérivées de «„ — cp„, et par conséquent de celles de u„, puisque celles de 0,, sont limitées. c. q. f. d.

Ce qui précède ne s'appliquerait pas à un jjoiut B qui serait à l'intersection de doux lignes de discontinuité; on verrait en effet qu'en un pareil point, la densité pourrait devenir logarithmiqucment infuiio (je veux dire que la densité en un point B' de C/,, très voisin de B est de l'ordre de logarithme de la distance BB'). 11 en est de même pour les dérivées de m„. Au contraire la fonction Un elle-même, toujours plus petite que u, reste finie.

Mais nous pouvons toujours éviter de faire passer nos chemins d'intégration par ces points d'intersections des ligues de discontinuité. Le résultat resterait

le même d'ailleurs si on les y faisait passer, car bien que -^ devienne logarith-

miquement infinie, l'intégrale / '—j^dr, resterait (iuie. Il résulte de là que l'intégrale

( dv — dv„ ),

prise le long d'un chemin quelconque tend vers zéro quand n croît indéfiniment.

On a vu quo les fonctions ;„ ne sont déllnios qu'à un l'acteur constant près de module i qui peut varier brusquement quand on franchit une des lignes L, ou ce qui revient au même que les fonctions c,, ne sont définies qu'à une constante près qui varie brusquement quand on franchit une des lignes L. Les fonctions i'„ outre les variations continues

du,, flu„

—rd-^ — f/|

d\ du

qu'elles subissent quand on décrit un chemin quelconque, subissent donc des variations brusques quand on franchit une ligne L.

On peut pour achever de définir les c,,, convenir que ces variations brusques en certains points de certaines lignes L, doivent être nulles. Mais ces variations ne peuvent être nulles partout. Envisageons en effet les intégrales

prises le long d'un chemin fermé quelconque. Elles sont égales à 2 7r multiplié par la somme des masses intérieures au contour d'intégration. Pour r, il ne peut y avoir que la masse + i située au point O; pour r„ il peut y avoir en outre des masses négatives sur les lignes L. Si donc le contour enveloppe le point O, la première intégrale sera égale à 271 et la deuxième généralement plus petite que 27:; si le contour n'enveloppe pas le point O, la première intégrale sera égale à zéro et la deuxième généralement négative.