QUESTIONS DIVERSES

ANALYSE

DK SES

Faite par H. POINCARÉ (').

Acta niathematira, t. 38, p. 65-70 (1921).

La Théorie des fondions d'une seule varialile complexe a uni dans ces derniers temps des progrés considérables, grâce aux lra\aux de M. Weierslrass el de M. Mitlag-Lefllcr.

Ces fondions peuvent se répartir en trois classes :

i" fonctions uniformes existant dans toute l'étendue du plan; 2" fondions uniformes à espaces lacunaires, c'est-à-dire n'existant pas dans toute l'étendue du plan;

3" fonctions non uniformes.

Parmi les fonctions de la première classe, les plus importantes sont les fonctions entières, c'est-à-dire celles qui peuvent se développer suivant les puissances de a?, en séries toujours convergentes. M. Weierstrass a fait voir

(') Comme les précédentes, celte analyse, et les suivantes faites en lyoi, ne portent que sur les travaux publiés à cette époque. Dans la bibliographie nous avons fait figurer les travaux ultérieurs (numéros au delà du 304).

qu'une pareille fonclion peut toujours se décomposer en un produit d'une inimité de facteurs primaires. Un facteur primaire de genre n est le produit

(i je*"'"', P{x) étant un polynôme entier de degré n. Une fonclion de

genre n est une fonction entière dont tous les facteurs ju-imaircs sont de genre inférieur.

Celte classification des fonctions entières en genres soulève un grand noinhre de problèmes intéressants. J'ai voulu contribuer [87] à la solution de ces problèmes eu étudiant la manière dont une fonction de genre n se comporte à l'infini el la rapidité avec laquelle décroissent les coefficients de son développement suivant les puissances de x. Je suis arrivé ainsi aux résultats suivants :

i" Si F(.r) est une fonction de genre n et si le module de a" croît indéfiniment avec un argument tel que e"-^"' tende vers zéro, le produit F(.r) e"-'"^' tend aussi vers zéro.

2" L'intégrale

'""c(-r-)"+'F(z)rf-

représente une fonction entière de — •

3" Si A;, est le coefficient de x'' dans le développement de F(a.-), on a lim.Vy, ' \fp\ = o ( pour /' =00).

4" Si F(a;) esl une fonclion de genre zéro, elle est susceptible d'être représentée par la série d'Abel étudiée par M. Halphen dans le Tome X du Bulletin delà Société Mathématique de Fiance, et cela quelle que soit la constante p.

Malheureusement les réciproques de ces propositions ne sont pas toujours vraies. Il est aisé de voir la raison pour laquelle il est impossible de trouver un crilère infaillible, donnant les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit de genre n. En etlel, la classification des fonctions en genres se rattache très étroitement à la théorie de la convergence des séries. Il y a donc toujours, ainsi que l'a montré M. Iladamard, des cas douteux où l'on peut hésiter entre le genre n et « + i . Mais M. Hadamard a montré quel parti on peut tirer de ces réciproques malgré les restrictions auxquelles elles sont soumises.

Pour qu'une fonction dont les zéros sont, par ordre de module croissant,

soit de genre n, la première cundiliou el la plus importante, c'est que la série

soit convergente. Or il n'y a point de critère de la convergence d'une série pouvant s'appliquer à tous les cas. C'est pour cela qu'il n'y a pas non plus de critère permetlaut de reconnaître dans tous les cas si une fonction est du genre ii.

Outre les fonctions entières, la première classe comprend :

i" les fonctions qui ont des pôles;

2° celles qui ont un nombre fini de points singuliers essentiels;

3" celles qui en ont un nombre infini parmi lesquels on peut trouver des points singuliers isolés (j'appelle ainsi les points singuliers autour desquels on peut tracer un cercle assez petit pour ne contenir aucun autre point singulier);

4" celles qui ont une ligne singulière;

5° celles qui, ayant un nombre infini de points singuliers, mais n'ayant pas de lignes singulières, n'ont cependant pas de (joints singuliers isolés. (Les Allemands disent alors que les points singuliers forment eiiie perfecle Menge.)

J'ai donné, pour la première fois (*), un exemple de fonctions de cette dernière catégorie; ce sont les fonctions fuchsiennes qui existent dans toute l'étendue du plan. En appliquant un théorème de M. Picard, on peut voir en elfet que ces fonctions ne peuvent avoir des points singuliers isolés.

Passons maintenant à la deuxième classe, celle des fonctions à espaces lacunaires signalées pour la première fois par M. Weierslrass. J'ai été conduit par deux voies différenles [100] à m'occuper de ces fonctions. En premier lieu les fonctions fuchsiennes et kleinéennes n'existent en général qu'à l'intérieur d'un cercle ou d'un domaine plus compliqué; elles me fournissaient donc un exemple de fonctions à espaces lacunaires. Les résultais de ma ihése inaugurale me conduisaient également à des fonctions présentant des lacunes. Si l'on veut bien en effet se reporter au paragraphe que j'ai intitulé Généralités sur les

( ' ) Fonctions fuchsiennes.

équations différentielles el à réqualioii (4) de ce paragraphe, on verra que cette équation (4) n'a d'intégrale holomorphe que si le polygone convexC; qui contient tous les points représentatifs des difl'crentes racines dune certaine équation algébrique, ne contient pas l'origine. Cela ne pourrait pas arriver, si l'intégrale holomorphe de l'équation (4) considérée ctimnie fonction des racines de cette équation algébrique, n'était une fonction à espace lacunaire.

Cette remarque m'a fait découvrir toute une classe de fondions présentant des lacunes. Voici quel est leur mode de génération. On pose

en supposant que la série 2iA„ soit absolument convergente et que les points b,, soient intérieurs à un certain domaine D ou situés sur le contour de ce domaine, et cela de telle façon que, si l'on prend sur ce contour un arc quelconque et aussi petit i[u'on voudra, il y ait toujours sur cet arc une inlinilé de points b,,.

La fonction cp(a7) est alors une fonction uniforme admettant le domaine D comme espace lacunaire. Comme exemple particulier, j'ai cité la série

XT" (i'"c"tv/'

où M, p, u' sont des constantes données, île module inférieur à i, où a, (3, y sont des constantes imaginaires quelconques el où m, n et/) peuvent prendre sous le signe ^ tous les systèmes de valeurs entières et positives.

La fonction cp(^) a alors pour espace lacunaire le triangle a^y.

Il importe de se rendre compte de la véritable nature de ces fonctions à espaces lacunaires. 11 arrive souvent que les développements en séries, à termes rationnels par exemple, sont convergents à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de ce domaine et ne divergent que sur le contour même du domaine. Les deux parties du plan où la série converge sont alors complètement séparées par une ligne le long de laquelle le développement cesse d'être valable. Doit-on cependant considérer les deux fonctions représentées par le développement à l'intérieur et à l'extérieur du domaine comme le prolongement analytique l'une de l'autre? Plusieurs géomètres élait'iil autrefois tentés de le croire. M. Weierslrass a montré pour la première fois que leur point de vue était faux, en donnant des exemples de séries qui représentent dans des domaines

difTérenls des fonctions manifestement difTcrentes. J'en ai moi-même rencontré un exemple dont je veux ici dire un mot. Certains développements qui représentent à l'intérieur du cercle fondamental une de ces fonctions que j"ai appelées plus liaul théta-fuchsiennes représentent zéro à l'exlérieur de ce cercle.

J'ai voulu donner [35] un argument nouveau à l'appui de la manière de voir de Weierslrass. Considérons une fonction F(a;) admettant un domaine D comme espace lacunaire, et une autre fonction F((.t) n'existant au contraire qu'à l'intérieur do ce domaine et admettant par conséquent tout le reste du plan comme espace lacunaire. Divisons le contour du domaine D en deux arcs A et B. J'ai démontré qu'on pouvait trouver deux fonctions uniformes 0(ar) et <ti(x) existant dans tout le plan et admettant seulement, la première A, la seconde B comme ligne singulière; et cela de telle sorte que

$-)-<î'i=F (à l'exlérieur de D),

$ -+- $ I = F I (à l'intérieur de D).

Si la fonction F avait un prolongement analytique naturel à l'intérieur de D, ce prolongement devrait être Fi ; mais nous avons choisi cette fonction F, d'une manière tout à fait arbitraire, en l'assujeltisant seulement à n'exister qu'à l'intérieur de D. Il est donc dénué de sens de parler du prolongement naturel d'une fonction à l'intérieur d'un de ses espaces lacunaires. J'avais en même temps ramoné l'étude des fonctions à espaces lacunaires à celle des transcendantes uniformes à ligne singulière essentielle. Je suis revenu sur la même question dans un Mémoire plus élendu [-01].

La Théorie des fonctions non uniformes est loin d'être aussi avancée que celle des fonctions uniformes. J'ai montré d'abord [218] que le nombre de leurs déterminations s'il est infini est la première puissance au sens de Canlor.

Quoiqu'on connaisse assez bien la manière d'être de ces fonctions non uniformes dans le voisinage d'uu point donné, quoique l'introduction des surfaces de Riemann ail jeté beaucoup de lumière sur les parties encore obscures de leur théorie, il y a- encore bien des progrès à faire avant de connaître leurs principales propriétés. J'étais donc animé du désir de ramoner leur étude à celle des transcendantes uniformes. La théorie des fonctions fuchsiennes me rapprochait déjà du but; j'avais démontré, en effet, f|iie si f{x, y) z= o est l'équation d'une courbe algébrique quelconque, on peut choisir un paramètre z de telle façon que .r et v' soient des fonctions uniformes de ce

paramètre. J'avais ainsi résolu le problème pour les plus simples des fonctions non uniformes, c'est-à-dire pour les fonctions algébriques.

J'étais donc [80] naturellement porté à me demander si celte propriété est particulière aux fonctions algébriques, ou si l'on peut l'étendre à une fdncliou non uniforme quelconque. J'ai pu répondre à cette question et démontrer le théorème très général suivant :

Soit une fonction analytique quelconque de or, non uni/orme. On peut toujours trouver une variable z, telle que x et y soient fondions uniformes de z.

Mon point de départ a été la démonstration du principe de Diricidel donnée par M. Schvvarz. Mais ce principe n'aurait pu à lui seul me permettre de triompher des difficultés qui provenaient de la grande généralité du théorème à démontrer. Il faut d'abord définir la surface de Riemann à une infinil(' de feuillets dont je cherche à faire, sur une partie du plan, la représentation conforme. Je choisis cette surface de façon qu'elle soit simplement connexe, que tous les points singuliers restent en dehors <le la surface proprement dite et se trouvent pour ainsi dire sur sa frontière, et enfin de façon que la fonction y ne puisse prendre deux valeurs difTérentes en un même point de la surface.

Je découpe une poilion finie R de cette surface, et j'en fais sur un cercle la représentation conforme, ce que le théorème de M. Schwarz me permet de faire. Cette représentation se fait à l'aide d'une certaine fonction analytique (/. Faisons ensuite croître indéfiniment la région R; nous aurons la représentation conforme d'une portion de plus en jdus étendue de notre surface de Riemann. Il me faut alors faire v((ir que la fonction analytique u dont je parlais plus haut tend vers une limite finie et déterminée. Quaud cela e.sl l'ail, les premières difficultés seules sont vaincues. En effet, il reste à démontrer que la limite de la fonction u est elle-même une fonction analytique. Pour cela, il faut que la fonction analytique u tende uniformément vers sa limite (gleichmâssig), ce que je suis parvenu à démontrer.

Ainsi, l'étude des fonctions non uniformes est ramenée, dans tous les cas possibles, à V étude bien plus facile des fonctions uniformes.

Je rattacherai à ces recherches, relatives aux fonctions d'une variable, les travaux que j'ai consacrés à l'étude des séries de polynômes [33, 83]. El en

eiïel, il 3' a un fait qui joue un rôle 1res iniportanl dans la théorie des fonctions ; c'est que les régions où une fonction quelconque peut être représentée par une série de puissances sont limitées par des cercles. On peut donc supposer qu'on pourra tirer un profit analogue de la connaissance des régions où conviennent des développements d'autre forme.

J'ai cherché, en particulier, les conditions do convergence des séries dont le n'*""" terme est un coeflicient constant multiplié par un polynôme entier P„ (a") de degré n, en supposant qu'il y ait entre un certain nombre de polynômes P^ consécutifs une relation de récurrence. Les séries ordonnées suivant les polynômes de Legendre n'en sont évidemment que des cas particuliers. J'ai trouvé que les régions où ces séries convergent sont limitées par certaines courbes de convergence et j'ai déterminé ces courbes en remarquant cpie la série

considérée comme fonction de z, satisfait à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en ; et en x.