PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS UNIFORMES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 92, p. i335-i336 (6 juin 1881).

Si P{z) est une fouclion uailorme de «, il pourra se faire ou qu'elle existe dans tout le plan, ou seulement dans une certaine région que j'appellerai la région S; si la fonction existait dans tout le plan, la région S s'étendrait dans tout le plan. A une même valeur de F(;) correspondront une infinité de valeurs de z. Envisageons toutes ces valeurs comme fonctions de l'une d'entre elles que nous appellerons -, et a](pelons-les

(0 /.(-), Mz), .... fd-~);

ces fonctions forment un groupe, et l'on a évidemment

La région S va se trouver partagée en une infinité de régions

Ro, Ri, R2, ..., R,

telles que, si z parcourt la région R|i,/,(3) parcourra la région R, : c'est dire que l'on ne pourra, en général, disposer de / de telle façon que le module de fi{z) — - soit aussi petit que l'on veut.

Nous dirons alors que le groupe (1) est disconlinu.

A fortiori,, tout groupe contenu dans le groupe (i) sera discontinu.

Nous dirons que la fonction uniforme F(ar) admet le groupe (1); nous dirons aussi qu'elle admet tout groupe contenu dans le groupe (1).

En résumé, un groupe de fonctions

/,(5), Mz\ ..., fiiz) H. P. — IV. 2