VI. — Les fonctions

Nous avons dit que la fonction u oblenue était indépendante de l'ordre des balayages; mais nous avons jusqu'ici supposé que ceux-ci étaient dirigés de telle façon que l'on pouvait trouver une fonction u,, dont Vindice n est un entier fini et pour laquelle un élément quelconque aurait été balayé un nombre de fois aussi grand qu'on le veut. Nous considérions alors la série

a = j(o+ (u^ — Un) -^ . . .-- {Ui,^\ — u„) +. . .

comme une série ordinaire; nous pouvons aussi la traiter comme une série à double entrée.

Supposons une suite de fonctions à deux indices u„,p. La première «ou sera celle que nous appelions jusqu'ici m„ ; Moh+i se déduira de Ugn par le balayage

tOO UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

d'un oerlaiu élément G< ; «i o sera la limite de «on pour /i := ac ; Ui,,^, se déduira de u,,n par un balayage; 11-2.0 sera la limite de Uin pour « = » ; et ainsi de suite; Up.n+i se déduira de m^.„ par un balayage, et W;,-ti „ sera la limite de Upn pour « = 00. Il est clair que l'on aura

On verrait comme plus haut que

" > llp.n,

ce qui montrerait que la suite des m^, „ quand n puis p tendent vers l'infini a une limite .^^ u; et comme cette limite est une fonction harmonit[ue en vertu du théorème de Harnack, elle est plus grande que les m„ que nous avions envisagés dans les paragraphes précédents. Elle est donc J^w; elle est donc égale à u; c'est toujours le raisonnement de la fin du paragraphe 111 qui s'applique sans changement.

Nous pouvons, par exemple, considérer une série de domaines

do, '/i, ffo, ...

contenus dans notre domaine D, et tels que chacun d'eux soit contenu dans le suivant. De plus chacun d'eux sera formé d'un nombre fini d'éléments de D. A.lors nous supposerons que les balayages qui font passer de Ua.,, à ;/„ ,,^,1 ne portent que sur les éléments de do et de telle façon que chacun d'eux soit balayé une infinité de fois; que les balayages qui font passer de Ui,,, à Ui.,i+{ ne portent que sui- les éléments de di et cela de telle façon que chacun d'eux soit balayé une infinité de fois; et ainsi de suite.

Dans ces conditions, il est clair ([ue «t „ est liarmonique dans tout le domaine (/„, et nul (de même que toutes fonctit)ns u,,.,,) en dehors de ce domaine et sur ses frontières; que U2.„est harmonique dans tout le domaine rfi et nul (de même que toutes les fonctions Ki.„) en dehors de ce domaine d, et sur ses frontières et ainsi de suite.

Toutes les conclusions des paragraphes précédents s'appliquent sans ciiangegement; ou peut définir les fonctions i'n.j, et z,,,/, à l'aide des u„p comme on a défini les c,, et les -„ à l'aide des a„. On pourrait seulement se demander si l'on peut encore comme au paragraphe précédent limiter la densité des masses génératrices en un point B, et si les conséquences déduites de cette limitation subsistent. Il faut pour cela, comme nous l'avons dit, que (si B est sur la

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. loi

circonférence de C/,) eulre deux balayages consécutifs de C*, on bnlaje toujours l'un des éléments dont fait partie B. Il est clair qu'on peut remplir cette condition pour les fonctions u^,„ si B est à l'intérieur du domaine <af„ et non pas sur sa froniit're; pour les fonctions Mi.„ si B est à l'inlérieur du <lomaine d^ et non pas sur sa frontière, et ainsi de suite. Quelle que soit donc la position de B, on pourra prendre p assez grand, pour que la condition ne cesse plus d'être remplie à partir du moment où l'on aura formé la fonction w,, , . Nous pouvons donc raisonner comme au paragraphe précédent et conclure que

/ {fh> — chf,,n)

prise le long d'un chemin quelconque, tend vers zéro, quand on fait tendre n puis p vers l'infini.

Dans le Mémoire cité {Bull. Soc. Math.) nous avons envisagé seulement les fondions

qui sont les fonctions de (ireen relatives aux domaines successifs

du d«, ..., dp,

Nous j trouvions l'avantage que la fonction a/,.û est harmonique à l'intérieur du domaine d,,., de sorte que la fonction Zp,„ est uniforme et continue dans le domaine dp (ce qui n'arrive pas pour les fonctions z„ susceptibles comme nous l'avons vu de variations brusques). Nous évitions ainsi en partie la discussion du paragraphe précédent; j'ai cru pourtant que cette discussion était par ellemême instructive'et je n'ai pas voulu pour cette raison me servir ici du même artifice.