VII. — Propriétés de la fonction

Faisons mainlenanl varier la position du point O; et amenons-le en O' (le sens de cette notation O' n'est donc plus le même qu'au paragraphe 111; O et O' désignent simplement deux points quelconques du domaine D). On peut former deux fonctions de Green u et u' devenant logarilhmiquement infinies, l'une en O, l'autre en O', et ce sont ces deux fonctions que je me propose de comparer.

Nous pourrons diriger les balayages soit comme au paragraphe III, soii

comme au paragraphe VI; nous aurons dans le premier cas une suite de fonctions Un, dans le second cas une suite de fonctions à double indice U/,.n', mais ces deux suites ont même limite. Nous désignerons par a'„, m^, „, (''„, c^, „, ;'„. s'^, „, les fonctions qui sont à «' ce que «„, Up.n, 'Vi, »'/'■'" ^m ^p" ^'^^^ '^ "•

Considérons en particulier les fonctions ly^o. ^',, „ '• soit Op la valeur de Zp,„ en O' et a^, celle de s^ „ en O. Je dis que Zp,o ne pourra prendre qu'une seule fois la valeur ap] prenons en effet l'intégrale

0) fr^

le long de la frontière du domaine dp, ; elle est égale à 2/7:; en efiet quand nous ferons le tour de celte frontière, le point Zpo décrira un cercle de rayon i puisque Up,u est nul sur toute cette frontière, et il le décrira une fois et une

seule. En cITet / f/17, 0 est égal 327:, puisqu'en ce qui concerne cette fonction Up.u il n'y a à l'intérieur du domaine dp i d'autre masse génératrice qu'une masse -I- i au point O. Le point ap est d'ailleurs à l'intérieur du cercle de rayon 1 décrit par le point :-p,i,; l'intégrale (i) est égale à 2J7r. Or celte intégrale est égale à 2 in multipliée par le nombre de fois que la fonction Zp,„ prend la valeur ap à l'intérieur de rf^-i- Donc la fonction ne prend qu'uni' seule fois celle valeur. c. q. f. d.

Celle démonstration ne peut donner lieu ici <à aucune objection, car le domaine dp^i se composant d'un nombre fini d'éléments, sa frontière se compose d'un nombre fini d'arcs de cercle; la fonction Up,o peut être ainsi définie, comme l'a montré M. Schwarz, à l'aiile d'une équation dillérenlielle linéaire à coefficients rationnels, de la mêTue façon que les fonctions fuchsiennes. On pourrait d'ailleurs appliquer l'un quelconque des procédés pour la démonstration complète du principe de Dirichlet quand la frontière du domaine envisagé est formée de lignes analytiques, ou plus généralement (juand elle a un rayon de courbure déterminé (cf. American Journal, p. 227, 228 et 229). 11 n'y aurait rien à y changer.

Nous sommes donc certains que u„,„ tend bien vers zéro quand on se rapproche indéfiniment de la frontière de dp-i ; et l'on peut appliquer les résultats obtenus plus haut, non seulement à l'intérieur, mais à la frontière de dp i. On démontrerait de la même manière que z'^^ „ ne peut prendre qu'une seule fois la valeur a'p.

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Io3

Cela posé soient pp et cpp le module et l'argument de eip, envisageons le rapport

Je dis que ce rapport ne peut, à l'intérieur de c/p-i, devenir m nul, ni infini; en ellel 5^, „ et Zp.o étant finis à l'intérieur de ce domaine, R ne pourrait devenir nul ou infini, que si l'on avait :

1° ou bien z' „ = o, ce qui ne peut arriver qu'an point O;

2° ou bien ppZp,o — e'Tpz=o, ce qui est impossible puisque pp<^ i, \Sp.o\<i i, I e'fp \~i;

3" ou bien ;,, „ — p,,e'?f = o, ou Zp,„=a,,; ce qui a lieu en O' par hypothèse, et ne peut avoir lieu en aucun autre point par suite du théorème que nous venons de démontrer.

Il n'y aurait donc que pour le point O', et en ce point le numérateur et le dénominnteur s'annulent et la fraction reste finie.

Donc logj R| est une fonction harmonique à l'intérieur de dp^i. De plus quand on décrit la frontière de dp,, on a

l-7'.o| = l=^..ol = |R|=I,

d'où log|R| = o; cette fonction s'annulant à la frontière du domaine et étant harmonique dans tout le domaine, doit s'annuler dans tout le domaine. Donc R est une constante dont le module est égal à i.

Pour déterminer celte constante je donnerai aux fonctions leurs valeurs au point O, c'est-à-dire

Pp

On a donc entre z'^, „ et s^ „ la relation linéaire

(a) ,' ^ ^' "P«— Pp'^"fr

f'.fl , r

Pp Pp^p.o — ^ ■ P

Soit maintenant

la valeur de ; au point O', et a' la valeur de ;;' au point O. Faisons croître /)

indéfiniment, ^^,.0. -^ „, «/m p/n 9^r a,, lendronl vers z, z', a, p, 9, «', et à la limite la relation (2) devient

Donc les deux fonctions z et z' sont liées par une relation linéaire. Ce n'est pas tout; ;' ne peut s'annuler qu'une fois; à savoir au point O'. Donc z ne peut prendre qu'une fois la valeur a, c'esl-à-dire la valeur qu'il prend au point O'; et comme O' est quelconque, la /onction z ne peut prendre qu'une seule fois la même valeur.