VIII. — Représentation conforme du domaine I» sur un cercle

Résumons les résultats obtenus; nous avons vu qu'il existe une fonction anal^'tique ; du domaine D, qui ne peut prendre que des valeurs de module plus petit que I. et qui ne peut prendre chacune de ces valeurs qu'une seule fois, mais nous ne savons pas encore si elle peut prendre toutes ces valeurs. En d'autres termes, traçons dans le plan des s le cercle K, de centre O et de ravon i. Nous aurons une représentation conforme du cercle R sur le domaine D, de telle façon qu'à tout point de D corresponde un point de K et un seul, et qu'à tout point de R ne puisse correspondre plus d'un point de D. Mais nous ne savons pas encore si à tout point de R correspond un point de D. C'est ce dernier point qu'il s'agit d'établir.

Nous serons clone amenés à distinguer dans R deux ensembles de points :

1° l'easemble E des points de R auxquels correspond un point de D:

2" l'ensemble E, des points de R auxquels ne correspond aucun point de D.

Je me propose de démontrer que l'ensemble E comprend tout l'intérieur de R et que l'ensemble Ei se réduit à la circonférence de R.

Observons d'abord que autour de tout point de E on peut décrire un cercle de rayon assez petit |)our que tous les points intérieurs à ce cercle appartiennent également à E, et en elTet la fonction :; étant analytique, à toute aire de D correspondra une aire de R. L'ensemble E ne contient donc pas de points isolés, et est contenu dans son propre dérivé E'. En revanche E' contiendra des points qui n'appartiendront pas à E et qui représenteront la frontière de E.

Aux différents éléments C/, de D correspondront des aires y/, du cercle R; toutes ces aires feront partie de E. Deux de ces aires ne pourront avoir de

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. lo5

points communs que si elles correspondenl à deux éléments contigus de D, c'est-à-dire à deux éléments tels que certains points do l'un soient identiques à certains points de l'autre, piiisqu'à un point de Iv ne peut correspondre qu'un seul point de D (c/'. paragraphe II). Je remar(|ue d'autre part que l'enseinble E esi simplement connexe, je veux dire par là que si une courbe fermée t'ait parlie de E, tous les points intérieurs à cette courbe feront également parlie de E. Cela résulte de ce fait que le domaine D est lui-même simplement connexe.

Si alors tous les points d'une courbe fermée C font partie de E, c'est-à-dire ont leurs images sur D, l'ensemble de ces images formeront aussi une courbe fermée. D étant simplement connexe, celle courbe enfermera une aire faisant partie de D. Les images sur K des différents points de cette aire furmeront à leur tour une aire cpii ne sera autre chose que l'aire limitée par C.

Si C est une circonférence de centre O, il n'y aura à l'intérieur de celle circonférence aucun point de E, ; si donc il n'y a pas de points de E, dont la distance à O soit égale à a, 11 n'y en aura pas non plus dont la dislance soit plus petite que a.

Cela posé, nous allons donner de notre proposition une première démonstration fondée sur la méthode de Osgood.

.Soit q un point quelconque de la frontière de E, soient qi et (72 deux autres points de E, d'ailleurs quelconques. Construisons une fonction fuchsienne

définie de la façon suivante :

i" elle ne devra prendre aucune des trois valeurs

q, qi, qi-

1" le polygone générateur aura tous ses sommets sur le cercle fondamental (c'est-à-dire qu'il sera de la troisième famille); ce sera un quadrilatère dontles côtés seront conjugués deux à deux, de façon que deux côtés conjugués soient adjacents (c'est-à-dire qu'il sera de genre zéro); quand w se rapprochera de l'un des quatre sommets, ^(tv) lendra vers respectivomenl q, q,, q.^ ou qi [de sorte que notre fonction o((v) sera liée à la fonction modulaire par une relation linéaire simple].

3" de plus on aura

Posons alors

on voit que (v esl une fonction nuilliforme de z et qui ne peut prendre que des valeurs dont le module est plus petit que i. Quand s tend vers q. le module de toutes les déterminations de ti' tend vers l'unité, je précise : si parmi toutes les déterminations de w, celle dont le module est le plus petit est n,,, le module \wo\ est plus grand qu'une fonction 'i{\:- — 7I) qui tend vers l'unité quand I 3 — q\ tend vers zéro.

J'observe de plus qu'à l'intérieur de E la fonction w peut être regardée comme uniforme. En effet, cet ensemble E étant simplement connexe, une courbe fermée tracée sur E ne peut contenir à son intérieur que des points de E; elle ne peut donc contenir aucun des trois points singuliers cy, q^, q,. Nous choisirons la détermination de n' qui s'annule pour 3 = 0.

Posons alors

t = log

cette fonction t sera harmonique dans E sauf en O où elle devient logarilhmiquement infinie; de plus elle esl toujours positive.

Comparons-la à une des fonctions u„; ces fonctions, harmoniques dans D, le seront aussi sur K, puisque la représentation de D sur K est conforme. Il n'y aura d'exception que pour le point O où ces fonctions deviendront logarilhmirjuement infinies et pour les lignes correspondant aux lignes de discontinuité L des paragraphes précédents et qui en sont l'image sur K; dans le voisinage de ces lignes que nous appellerons l, les fonctions (/„ se comportent comme des potentiels logarithmiques engendrés par des masses négalii-es répandues sur ces lignes.

La différence t — u„ sera donc une fonction harmonique (même au point ( )) sauf sur les lignes / où elle se comportera comme un potentiel logarithmique engendré par des masses positives répandues sur ces lignes; elle pourra donc avoir des inaxima, mais pas de iniuima.

Soit alors e,, l'ensemble des points appartenant aux divers éléments que l'on a dû successivement balayer pour obtenir m„ ; sur la frontière de e„ et en dehors de e„, on a

t > o, Un =0, I — Un > o,

on aura donc aussi à Tinlérieur de e„ (où il ne peul pas y avoir de minima)

t — u„>o, t > Un,

et comme cela a lieu quel que soit n, on a dans E, à la limite

Mais nous pouvons trouver une suite de points

nii, m,, . . ., m/,,

qui appartiennent à E et qui se rapprochent indéfiniment de q, puisque q fait partie de E'. Si

\\m m /, = q , l\mG( \ m/, — q \) = i.

Soient t/, et uvi les valeurs de C et de (v correspondant à ni/,, on aura

I «"/, I > e( I «!/, — y I ), lini I «'/, ! = I , lini 'h = o.

Or M = log donne donc

On a donc

et à la limite

et se réduit à log

pour z = m/,. L'inégalité f^u nous

th > log

lim log

loÊ

= 0, |yl=l.

Le point q est donc sur la circonférence du cercle K, et comme q est quelconque, tous les points de la frontière sont sur cette circonférence, c'est-à-dire que E comprend tous les points intérieurs à K.

Nous allons donner de la même proposilion une seconde démonstration.

Remarquons d'abord que les m„ considérées comme fonctions de z vont se comporter comme des potentiels logarithmiques; et les masses génératrices seront les mêmes que les masses correspondantes, quand on regardait les Un comme fonctions de x :=^ i-\-iri. Je ne veux pas dire que les densités restent les mêmes, parce que les aires et les longueurs sur K. ne sont pas égales aux

Io8 UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

aires et aux longueurs sur D; mais dans deux aires, ou dans deux arcs correspondants, les quantités totales de matière attirante sont les mêmes. Je fais en passant cette remarque bien qu'elle ne doive jouer aucun rôle essentiel dans la démonstration qui va suivre, parce qu'elle découle immédiatement des propriétés de la représentation conforme.

Nous allons nous appuyer sur l'un des théorèmes de Green, qui est le suivant. Soient V et V deux potentiels par exemple logarithmiques, on aura l'identité

les masses m sont celles qui engendrent le potentiel V, et chacune d'elles doit être multipliée par la valeur de \ ' nu point occupé par cette masse. De même les masses m' sont celles qui engendrent V, chacune d'elles doit être multipliée par la valeur correspondante de \\ Nous allons appliquer ce théorème :

i" A la fonction u rej^ardée comme fonction de ;;, c'est un potentiel logarithmique engendré par une masse + i située au point O, et par des masses négatives — m réparties sur la circonférence de K.

2" A la fonction u„ regardée comme fonction de z, c'est un potentiel logarithmique engendré par une masse + i située au point (), et par des masses négatives — m,, réparties sur les lignes de discontinuité l.

3° A un potentiel auxiliaire tv que nous allons diMinir.

Soit

Soit VV un potentiel logarithmique, dû à des masses /j., toutes positives et toutes situées à l'intérieur de K et au sujet desquelles je suppose :

1° que la somme des masses p. contenues entre les deux circonférences concentriques à K et de rayons /■' et r' -}-dr' , que cette somme, dis-jc, est égale à II' dr\ h' étant une fonction quelconque de ;■', positive et finie;

2" que si sur la circonférence de rayon /', il y a des points de E|, toutes les masses [i. qui se trouvent sur celle circonférence, sont sur E,.

Si alors /■' et 0' sont les coordonnées polaires de la masse attirante [>■', si /• = e"", 0 := — (• sont celles du point attiré, on aura

W = S.a Ing ■

\jr--\- r'^—2rr' cos{^ — 9')

UNIFORMISATION' DES FONCTIONS ANALYTIQUES. loi)

Soil W le poU'nlicI que l'on déduit de W en balayant le cercle K; il est dû à des masses posilives fi' siluées sur la circDiilérence de K, el il est égal à W en dehors de K el sur la circonférence de K. Posons enfin

Le potentiel w est alors dû aux masses /jt et — f^'; il est égal à zéro hors de K et sur la ciiconférence de K. A l'intérieur de K on a

^ 1 < / r'r- -T- I — •) rr ru?.( 0 — 0' ) ,

Le radical du second membre, quand ou fait varier 0 — 0', atteint son maximum pour 0 — 0'= o et cela quels que soient /• et /' (qui sont < i). On a donc

v.ji loï = / /( <lr loir — ■

On voit aisément que le dernier membre est toujours fini el positif; qu'il s'annule pour /•:= i et que si h' s'annule pour /'^ i , si par exemple /i' = i — /■', il s'annule comme u, de sorte que le rapport de u' à u resle fini. On peut donc trouver une quantité positive X telle que

La formule (i) appliquée à m et à u,, nous donne (u — u„)o= - rn,, u — S niu„.

Le premier membre représente la valeur de u — Un au point O où sont les doux masses +i; dans le second membre, il faut donner à u les valeurs correspondant aux. diverses masses m,, et à a„ les valeurs correspondant aux diverses masses m. Mais ces dernières masses sont toutes sur K et sur cette circonféience u,, est nul. Nous pouvons donc écrire

Appliquons maintenant le théorème <le Green à u et à tv, il viendra

(4) »'o — -/>nv = i;;ji(/ — -;i'«!

n'„ étant la valeur de u' en zéro. De même en l'appliquant à u,i el à (v : Ci) ii'o — !/?(„»'= 2,uiM„ — 2;i.'«„.

no UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

Toutes les masses /j.' sont sur la circonférence K de même que loules les masses m, or sur K on a

Nos équations peuvent donc s'écrire

(ibis) ii'o= -;-Jt«<,

( 6 bis ) «"o — - "tn II' = 2,a ti„,

ou en retranchant, et tenant compte de (2) ou en vertu de (3)

(6) 2,a(M — M„)< À(m — tt„)o

la différence u — u„ est toujours positive; mais sur les points de Ej on a u„^o; de sorte que si sur la circonférence de rayon ;•', il y a des points de Ei, comme toutes les masses |jl de cette circonférence seront en ces points, la valeur correspondante de u — u„ sera

u = log p •

On aura donc

(7) 2u(u -«„)>/ /idr\o^,,

a étant la plus courte distance du point O à l'ensemble E, ; car s'il y a des points de El pour r'= a, il y en aura, comme nous l'avons montré plus haut, pour /•'> a. Ou a donc

/iV/r'Iog- <à(m — «„)o.

Quand n croit indéliniiuenl la difl'érence (u — m,,),, tend vers zéro; il en est donc de même du premier membre, ce qui veut dire que a tend vers 1 ; on a donc

ce qui veut dire que l'ensemble E, se réduit à la circonférence K.

IX. — Propriétés des fonctions uniformisantes. Considérons un système quelconque

de fonctions multiformes de x. Nous avons vu au paragraphe IV que si D est le domaine principal de ce système, on peut toujours trouver un domaine D' régulièrement multiple de D, et simplement connexe, pour lequel la fonction de Green u existe.

Ce domaine D' étant simplement connexe, les paragraphes V et VIII nous apprendront qu'on peut déduire de u une fonction z; que si dans le plan des : on trace le cercle K de centre O et de rayon i; à tout point de K correspond un point de D' et un seul, et réciproquement. Donc

yi, j,, .... X

so/U des fonctions uniformes de z, x ^ <l'{z), yi=^ fJi(z).

J'ajoute qu'à tout point pour lequel les fonctions j-j, j'^, . . . existent toutes, correspondra un point intérieur à K, et non pas un point situé sur la ciconférence de K. U suffit pour obtenir ce résultat de choisir convenablement la fonction fuchsienne auxiliaire du paragraphe IV' et d'admettre les éléments algébriques. // n'y a pas d^ Ausnahmsstellen.

Cherchons maintenant les propriétés de ces fonctions uniformes de 2,

Nous avons dit que D' était régulièrement nuiltiple de D; cela veut dire qu'à tout point M de D correspondent divers points

M,, Mo, ...

de D'; si de plus le point M varie sur D d'une manière continue, il en sera de même des points M|, Mn, . . . sur D'. Si M décrit une courbe fermée infiniment petite, il en sera de même de Mi, M2, . . -, mais cela ne sera plus vrai en général si la courbe fermée décrite par M n'est pas infiniment petite.

Je dis maintenant que si Mi décrit une courbe fermée finie, il en sera de de même de M2. Cela lient à ce que le domaine D' est simplement connexe. Soit en edet C la courbe fermée décrite par Mi, elle limitera une certaine aire

située sur D'. Décomposons celte aire en une infinité daiies infiniment petites. QuanJ Ml décrira le contour dune de ces aires partielles, M-, reviendra à sa valeur initiale et décrira une courbe fermée. Il devra donc en être de même quand M décrira le contour de l'aire totale.

Donc M.> est fonction uniforme de ÎNI, et réciproquement. Soit

la fonction ainsi définie; si A est une courhe, ou une aire décrite par le point M, alors i2{\) sera la courbe ou Taire correspondante décrite par AI,. Par exemple celle aire A peut être un des éléments du domaine D' el alors "(A) sera un autre élément de D'.

Cela posé considérons les fonctions

Mo, Wl, W2, • • ■ 1 W/j) ■ • •

formées en partant du point O et en balayant successivement les éléments

du domaine D'.

Formons ensuite les fonctions

en partant du point Î2(0) et en balayant successivement les éléments Û(C,), 2(Co), ..., Û(C„), ...

du domaine D'.

Les éléments correspondants C„ et i2(C„) coïncident au point de vue géométrique, de même que les points O et 12(0); les opérations donneront donc les mêmes résultats et l'on aura, pour un point M, quelconque du domaine D'

et à la limite

en appelant u' et u les limites des deux suites «'„ et u,,.

( )r u' et u sont les fonctions de Green formées respectivement en partant des deux points i2(0) et O; à l'aide de ces deux fonctions on peut former les deux fonctions z et :■' par les procédés du paragraphe V^ Nous avons vu au para-

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Il3

graplie VII que ces deux fonctions sonL li^es par une relation linéaire. Donc les valeurs de z qui correspondent aux deux points

sont lices par une relation linéaire. Mais ces deux points correspondent à un même point M du domaine D, et par conséquent aux mêmes valeurs des fonctions

yi=^,{z\ .r = 0>(3).

Donc ces fonctions ']'(-) ^^ ^i{^) ^^ sont pas altérées par certaines relations linéaires. Ces relations linéaires sont généralement en nombre infini, parce que les points de D' qui correspondent à un même point de D sont généralement en nombre infini. Elles forment naturellement un groupe; enfin de même que les substitutions des groupes fuchsiens elles n'altèrent pas la circonférence K. Ce groupe tout à fait analogue aux groupes fuchsiens peut s'appeler yMc/(.çoi't/e .• ainsi nos fonctions '-!^(-), Oi(^) ne sont pas altérées par les substitutions linéaires d'un groupe fuchsoïde.