X. — Relations entre les fonctions de Green

Comparons maintenant les fonctions u„ relatives au domaine D, et celles qui sont relatives au domaine D', i-égulièrement multiple de D. Soit M un point de D et

1),(M), -Qo(M), ...

les points correspondants de D'; les fonctions £2,, ii^, . . . sont continues, mais il peut se faire qu'elles s'échangent les unes avec les autres quand M décrit une courbe fermée de D.

Considérons la suite des fonctions

relatives au domaine D' et obtenues en partant du point i2, (()) et en balayant successivement les éléments

Considérons de même la suite des fonctions

,,{k) ,,{k) ,,lk)

H. P. — IV. i5

Il4 UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

relatives au domaine D' et obtenues en partant de "/,(0) et balayant successivement

Q*(C,), iik{C.,), ..., Qk(C„), .... D'après le paragraphe précédent on aura, pour un point M quelconque,

ttS*'[Q,l(M)] = «„'>[n,(M)].

Considérons enfin les fonctions

Uo, u,, ..., u,„ ...

relatives au domaine D et obtenues en partant du point O et balayant successivement les éléments suivants de D

Je désignerai par Co l'élément de D dont fait partie le point O. Alors le point 0/,(()) fera partie des éléments £2/,(Co). Les différents clémenls 1^/,(C„) n'ont aucun point commun.

Supposons en effet que deux éléments ii;(Gû) et £2i(Co) aient un point identique, tous leurs points qui ont mêmes coordonnées devront être identiques, d'après l'une des conditions énoncées au paragraphe II. Or ces deux éléments coïncident au point de vue géométrique, donc tous les points correspondants de ces deux éléments devraient être identiques; si ensuite i2,(C() est contigu à Î2,(C|,), i2/.(C,) est contigu à 1^/,(C|,); les deux éléments i2,(Ci) eti2/,(Ci) auraient donc des points identiques, et il s'ensuivrait, comme pour iî,(Co) 'et £2jt(Co), que ces deux éléments devraient être identiques; on verrait alors de proche en proche, que quel que soit le point M. £2, (M) serait identique ài2A(M).

Nous devons donc admettre que les deux éléments £2,(Co) et £2i(Co) ne peuvent avoir aucun point commun, et il en serait de même évidemment pour les deux éléments i2,(C„) et 12^(0,,).

Cela posé, je me propose de démontrer que l'on a en un point quelconque du domaine D'

et d'abord que

Un — — X-"ii •

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Il5

Considérons un polnl M quelconque de D'; s'il n'apparlienl à aucun des

"/,(C„) on aura

S'il apparlienr à l'un des i^A(C„), il ne pourra appartenir à aucun des i2,(C„),

on aura donc

?,.((' = o (si î't A-),

cl d'ailleurs, d'après la façon dont les fondions ;/„ sonl formées

Il „{k)

On aura donc dans lous les cas Je dis maintenant que si

(2) u„i = Sx «;,':!,,

on aura également

KJ II -tk li ,1 .

En effet si le point M n'apparlienl à aucun des i2<(G„), c'est-à-dire à l'un des éléments que l'on balaye pour passer des fonctions d'indice n — i aux fonctions

d'indice «, on aura

Si M appartient à l'un des Q.k{C,i), il n'appartiendra à aucun autre desî2,(C„). Les masses génératrices de la fonction U„i s'obtiendront en ajoutant entre elles toutes les masses génératrices des fonctions u^^^^ , en vertu de l'équation (2) et de la définition de ces masses génératrices. En balayant toutes ces masses on

aura donc

Qu'arrive-t-il maintenant quand n croît indéfiniment; M^f tend vers une iiinitc w"' que nous supposons finie, et U„ tend vers une Iiiuilc U (jui peut être infinie. On a donc

u = u„+ i:„(U„- u„,) = Sx«'/'+ 2„i:/,(«,r'- u',^i, ).

11 faut ici sommer d'abord par rapport à A', puis par rapport à /(, mais comme les termes de ces séries sont essentiellement positifs, on peut en intervenir l'ordre et écrire

Il6 UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

Donc la condilion nécessaire et suffisante pour que la fonction de Green existe pour le domaine D, c'est-à-dire pour que la suite des U,, ait une limite finie, c'est que la série 2/,«"' converge.

Si cette condition est remplie, nous voyons que les fonctions U et «"'étant harmoniques et positives, on aura également, par le théorème de Harnack :

et par conséquent

f<''l, s"', V, Z étant formées avec «''■', U, comme «■ et ; l'ont été avec u au paragraphe V (la lettre H représente un produit infini).

Mais les variables ^'''i sont liées entre elles par les relations linéaires, qui forment le groupe fuchsoïde du paragraphe précédent. On prendra donc les diverses Iransforniées de z par les subsliLutions linéaires de ce groupe fuchsoïde, on en fera le produit; si ce produit converge test que la fonction de Green existe pour le domaine D et ce produit est précisément la fonction Z déduite de cette fonction de Green U par les procédés du paragraphe V.