D, 0)=JJ
ax ; + pA-
Ok
Soit maintenant lii(()') un autre point quelconque de D', on aura d'après le paragraphe \II
z[D', lJ,(0'j] =
a, b, c, d étant des constantes; on en conclut
-m' n m'M <-'(^kZ + ^k) + b{-;kZ + ôk)
et l'on trouvera encore
(2) 5(D, o') = n.-[D', iik{0')] -fjfrl
11 s'agit donc de savoir si la somme
m(D, 0) = i:iog
• aj^kz + pli) -i- fc(T<-5 + 5<) ::( «t 3 -H pi ) + rfC 7* 2 -+- S* )
fk ô*
converge, c'est-à-dire si la fonction de Green existe pour le domaine D.
Or en vertu d'un théorème bien connu la condition nécessaire et suffisante pour que celte série
Slos
■J.Z + fj
converge, c'est que la série
converge absolument, ou encore que la série
converge ou encore qu'il en soll ainsi de la série
en désignnni par ;' une quantité qui a lucnie argument que ;; et même module que ; et en elFcl
sont imaginaires conjuguées. ( )r cela peut s'écrire (en tenant compte de
aô — |3y= i);
y îzii
Il est aisé de voir que pour les termes d'ordre élevé, pour lesquels a, (3, y, ô ont de 1res grandes valeurs, |a5'+(3| est sensiblement égal à |y;'+ô| et à I y^ + ô |.
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour (juc la fonction de Green existe cest que la série
converge.
Reportons-nous au premier Chapitre de mon Mémoire sur les fonctions fuchsiennes el rappelons un des modes de raisonnement que nous y avons employés; soit S une petite aire enveloppant le point z, el soit S/, [loc. cit.) ce
que devient cette aire quand on change z en ^^^^^^ ^- Nous avons vu que ces
aires sont entre elles comme les quantités
iT*=-t-8i-|'
et comme la série iS^; converge cerlaineiiieut, puisque la somme de toutes ces aires est toujours plus petite que le cercle fondamental, nous en avons conclu que la série
UNIFORMISATION' DES FONCTIONS ANALYTIQUES. I ig
converge toujours, ce qui est le tondement de la théorie des fondions ihélafuchsiennes.
Dans le cas qui nous occupe, nous pouvons en tirer la conclusion suivante : La condilion nécessaire et sujjisan/e pour que la fonction de Green existe pour le domaine D, c'est que la série
Si cette condition est remplie, et si D est simplement connexe, il existe une foaciion / ipii prend aux difierenls points du domaine D toutes les valeurs intérieures au cercle de rayon i et ne prend chacune d'elles qu'une fois. Elle permet la représentation conforme du domaine D sur un cercle. Elle n'est pas altérée par les substitutions du groupe fuchsoïde.
Si cette condition est remplie, et si D n'est pas simplement connexe, il existe une fonction Z qui par rapport aux substitutions du groupe fuchsoïde satisfait à la condition
M/, étant une constante de module i .
Qu'arrive-l-il enfin si la condition n'est pas remplie. On pourrait former les séries thôtafuchsiennes, lambdafuchsiennes. etc., tout comme avec les fonctions fuchsiennes ordinaires; on arriverait ainsi à l'étude complète du domaine D. Mais nous suivrons une autre voie.
