XII. — Le domaine l'i et sa fonction de Green

Je vais utiliser les résultats de la méthode alternante de M. Schwarz. Reprenons notre domaine D, sur lequel nous ne faisons aucune hypothèse. Soit Co un élément de ce domaine, où se trouvera le point O, et C„ un autre élément qui aura pour centre le point O'. Nous pourrons toujours supposer que le point O qui appartient à Co, n'appartient à aucun autre élément de D, contigu à Co, et de même que le point O' qui appartient à C'„ n'appartient à aucun autre élément de D, contigu à C',,.

Construisons ensuite un domaine Dj contenu dans D, et qu'on déduira de D tout simplement en supprimant l'élément C',,; les points de D qui font partie

de C'„, sans appartenir à aucun autre élément de D, contigu à C'„ ne feront pas partie de Dj; et au contraire les points des éléments contigus à C'„ appartiendront à D,, bien que faisant partie de C'„.

Je dis d'abord que la fontion de Green existera pour ce domaine Di. Formons en effet comme au paragraphe III, la série des fonctions Un en partant du point O et en effectuant une série de balayages successifs portant sur les divers éléments de Di (c'est-à-dire sur les divers éléments de D, sauf sur €„). Ces fonctions Un sont des potentiels logarithmiques engendrés par une masse positive + I située en O et par diverses masses négatives dont la somme est égale à — i .

Cherchons la valeur moyenne de «„ sur la circonférence de C'„; prenons pour un instant des coordonnées polaires r et u, en prenant pour pôle le centre de C'„, c'est-à-dire le point O' et envisageons l'intégrale

r/dJ

prise le long d'une circonférence ayant son centre en O'; nous aurons

M r du,, ,

Celte intégrale est, en vertu des théorèmes de Green, égale à — in multiplié par la somme des masses génératrices situées à l'intérieur de la circonférence. Cette somme est plus petite que i en valeur absolue; on a donc

dS ^

Si alors /•„ est le rayon de la circonférence de Co et si /-j est la plus courte distance de O' à la frontière de D|, on aura

Jo< Ji-i-2- log^-

Mais J| est nul puisque m„ est nul en tous les points de C'^ qui ne font pas partie de Di; ri n'est pas nul, car le point O' et les points voisins ont été supposés en dehors de Di ; on a donc

Jo = / t'n doi < 2 - log — , ce qui veut dire que la valeur moyenne de Un sur la circonférence de C'^ est

plus petite que log"; a fortiori la valeur minimum de m„ sur celle circonférence sera plus petite que log — ■

Soit E„ l'ensemble des arcs de cette circonférence tels que

M„< log -"• 'l

On voit que E„ ne peut pas se réduire à rien, quel que soil n. De plus E„^i est contenu dans E,; puisque

Donc il y a sur la circonférence de C'„ au moins un point M lel que l'on ail, pour toutes les valeurs de n,

Un< log — • ' 1

En ce point iM la suite des «,i convergera; et comme elle ne peut converger en un point sans converger partout {voir paragraphe III), elle convergera dans tout le domaine Di. La fonction de Green que nous appellerons f<(Di, O) existe donc pour ce domaine Dj.

Soit 0 la partie commune à G',, et à Di; ce sera un domaine limité extérieurement par la circonférence G'„ et intérieurement par une ligne fermée L„, formée d'un nombre Uni d'arcs de cercle appartenant aux circonférences des divers éléments contigus à C'„. Getie ligne fermée Lo fera partie de la frontière de D|.

On peut vérifier que la fonction de Green «(Di, O) tend vers zéro quand on se rapproche de Lo. En effet, celte fonction est harmonique et par conséquent analytique sur la circonférence C'^ qui est tout entière à l'intérieur de D,. Nous pouvons donc construire une fonction T qui soit harmonique dans le domaine ô, qui soit égale à zéro sur Lq et à m(Di, O) sur la circonférence Co- On aura alors

M„ = T = o sur Lo et

sur la circonférence C'„. Comme Ua — ^T ne peut admettre que des minima, on aura

"/, < T H. P. — IV. i6

dans tout le domaine ô; cl par conséquenl

Mais quand on se rapproche de Lq, T lend vers zéro, il en est donc de mémo de m(Di, O). Donc T et u{D,. O) sont deux fonctions harmoniques dans le domaine ô et qui prennent les mêmes valeurs sur la frontière de ce domaine. Elles sont donc égales et l'on a

Cela nous prouve en même temps, qu'en lnus les poinls de L,,, la dérivée

>/ii( Di, O ) ,1-. -Il • • 1 '^^ï -1

se comporte régulièrement, puisqu il en est ainsi de -t-; et il en est

,/X ainsi de -j—j puisque le domaine dans lequel la fonction T est définie est limité

par un nombre fini d'arcs de cercle et que tous les raisonnements habituels relatifs au problème de Dirichlet lui sont applicables sans difficulté.

Cela posé, supposons que le domaine D soit simplement connexe, le domaine Di ne le sera pas en général, car par exemple la circonférence C', limite une aire faisant partie de D, à savoir le cercle G'„, mais celte aire ne fait pas partie de Di. l'our rendre le domaine D, simplement connexe, nous allons y pratiquer une coupure Q. La coupure Q sera une ligne qui partira d'un point quelconque de L|| et qu'on prolongera indéfiniment dans le domaine Di.

Je précise; imaginons une série de domaines successifs que j'appellerai

définis de la façon suivante : chacun d'eux sera formé d'un nombre fini d'éléments do D,; c/| comprendra entre autres tous ceux de ces éléments qui sont contigus à Cj, ; dn+^ comprendra tous les cléments de d„ cl d'autres encore; enfin nous nous arrangerons pour que le domaine comprenant C[, et tous les éléments de d„ et que j'appellerai e,i soit simplement connexe, et que tout élément do Dj fasse partie de l'un des domaines f/„ (et par conséquent de tous les domaines suivants r//,+i. . . .).

Le domaine e„ étant simplement connexe sera limité par une certaine courbe fermée L„ ; alors le domaine d,, sera doublement connexe et compris entre les deux courbes L„ et L(,; le domaine rf„^( — f/„ sera doublement connexe et compris entre les deux courbes L„,.i et L„.

Alors notre coupure Q sera composée d'une série d'ares Qi, Q.,. ..., Q„, etc..

l'arc Q„ allant do L„„i à L„ à travers le domaine d,, — dn-i- Dans ces conditions la coupure Q rend le domaine D, simplement connexe, et en ell'et si une courbe fermée quelconque tracée sur Di, n'enferme pas une aire appartenant à Di, celte courbe appartiendra à l'un des domaines d,, et enveloppera la ligne Lo, elle coupera donc la coupure Qi + Q.; + . . . + Q/,, et par conséquent la coupure Q.

Soit Dj le domaine obtenu en partant de Di et le rendant simplement connexe par l'introduction de la coupure Q. Il va sans dire que certains éléments de D, étant traversés parla coupure Q, devront être remplacés dans le domaine Di par d'autres éléments en nombre fini ou infini, disposés de telle sorte qu'aucun de ces éléments nouveaux ne soil traversé par Q et que tous les points de l'élément ancien, sauf ceux de la coupure Q, appartiennent au moins à l'un des éléments nouveaux.

Cela posé je dis que la fonction de Grecn m(D2, O) existe pour le domaine D^; en elTet soit

une des fonctions obtenues par les balayages successifs, on aura

puisque la dernière fonction est harmonique et positive dans loutle domaincDi et par conséquent dans tout le domaine D^ ; que u„ (à part la masse + i qui est au point O) n'est engendré que par des masses négatives de telle façon que la différence

ne peut admettre que des minima et pas de maxima et est d'ailleurs négative dans tous les éléments où h„(D.j, O) est nul, c'est-à-dire dans tous les éléments de Do sauf un nombre fini d'entre eux.

Donc la suite des ««(Do, O) converge. c. q. f. n.

Le domaine D.^ étant simplement connexe, l'existence delà fonction m (Do, O) entraîne celle de la fonction -(Do, O), c'est-à-dire d'après les paragraphes V, \ I, ^ II et \ III la possibilité de la représentation conforme du domaine Do sur un cercle K. On voit alors que la circonférence de K va se partager en quatre arcs; l'un l'arc AB correspondra à la ligne Lo, les deux extrémités A et B correspondant au point où la coupure Q aboutit à Lo ; deux autres arcs A'A

et BB' correspondront aux deux lèvres de la coupure Q. Le quatrième arc B'A' correspondrait à la frontière du domaine primitivement donne D. Mais ce dernier arc B'A' peuf se réduire à un point.

Nous sommes donc amenés à distinguer deux cas :

i" Celui où l'arc B'A' ne se réduit pas à un point. Dans ce cas je dis que le domaine Di est susceptible d'une représentation conforme sur un anneau circulaire et le domaine D sur un cercle; la fonction de Green m(D, O) existe.

2" Celui où l'arc B'A' se réduit à un point. Dans ce cas je dis que le domaine Di est susceptible de représentation conforme sur un cercle, et le domaine D sur une sphère fermée.