XIII. — La fonction

Proposons-nous d'abord de construire une fonction V qui soit harmonique dans le domaine D,, égale à r sur L,, et qui tende vers zéro quand on se rapproche de la frontière du domaine primitivement donné D. Partons d'une fonction V,, ainsi définie :

i" A l'intérieur de Lq (c'est-à-dire dans la partie de D qui ne fait pas partie de Di) on a Vo= I .

2" Sur Lo on a Vo ^ 1 .

3" En dehors de C'„ et sur la circonférence de C„ on a Vo= o.

4" Dans le domaine ô, c'est-à-dire entre la circonférence C'„ etLo, la fonction Vo est harmonique, elle tend vers zéro quand on se rapproche delà circonférence C'„ et vers 1 quand on se rapproche de L,, ; elle est donc toujours comprise entre o et 1.

Nous allons maintenant, en partant de cette fonction V,,, balayer successivement les divers éléments de Di.

Cette fonction Vo se comporte comme un potentiel logarithmique engendré par diverses masses situées sur L(, et à l'intérieur de Lq (donc en dehors des éléments de Di)etsur lesquelles par conséquent ne porteront pas les balayages, et par des masses négatives situées sur la circonférence de C'„.

Les masses balayées étant toutes négatives, les fonctions V„ seront toujours croissantes, toujours comprises entre o et i. La suite des V„ convergera donc vers une certaine limite V qui sera harmonique dans le domaine Dj.

Je dis que V tend vers i quand on se rapproche de Lq. Soit en cfl'et ), un des arcs de Lq, soit c la circonférence à laquelle cet arc appartient et qui limitera un cercle c correspondant à un élément de D conligu à Cj ; je suppose d'abord que l'on se rapproche de l'arc )., je construis une fonction T, harmonique à l'intérieur do c, égale à i sur À et à zéro sur le reste de la circonférence c. Au moment où l'on vient de balayer c, la fonction V„ est harmonique dans c; et l'on a

V„=T = i sur).,

Vn> o = T sur le reste de la circonférence c.

On a donc à l'intérieur de c

et par conséquent à la limite

Quand on se rapproche de /, T tend vers i , il en est donc de même de V. 11 reste à voir ce qui se passe quand on se rapproche de l'extrémité d'un des arcs À, c'est-à-dire du point d'intersection de deux circonférences telles que c. 11 n'est pas nécessaire pour cela de répéter la discussion. Soient c et c' ces deux circonférences, A leur point d'intersection, /. et À' les deux arcs de Lq qui font partie de c et c'; du point A comme centre décrivons un cercle y de rajon très petit, et considérons le domaine £ commun à y et à Di et qui sera limité par une partie de la circonférence de y et par une partie des arcs À et À'; dans ce domaine la fonction V est harmonique, elle tend vers i quand on se rapproche d'un quelconque des points de ?. ou de X', le point A excepté; cela suffit, d'après les propriétés bien connues des fonctions harmoniques, pour qu'elle tende encore vers r quand on se rapproche du point A.

On pourrait seulement se demander si la fonction V ne se réduit pas à une constante et n^est pas partout égale à i .

Supposons d'abord qu'il n'en soit pas ainsi. Je dis qu'en tout point intérieur au domaine D, elle est plus petite que i. Considérons en effet la représentation conforme du domaine D., défini plus haut sur le cercle K. Nous voyons que la fonction V [considérée non plus comme fonction d'un point N du domaine Di (ouD.,) mais comme fonction du point correspondant M du cercle K] est encore harmonique; elle est d'ailleurs toujours comprise entre o et i. De plus en un point M au moins intérieur à R, la fonction V est < i, puisque par hypothèse elle ne se réduit pas identiquement à i. Soit alors M' un autre point intérieur

à K; soient V(M) et V(M') les valeurs de V en ces deux points. Comme la fonction harmonique i — V est toujours positive, nous pouvons appliquer le théorème de Harnack el assigner une limite inférieure au rapport

Comme i — V(M) n'est pas nul, il en est de même de i — ^'(M'). Ainsi la fonction V n'est pas égale à i, sauf peut-être aux points de Di (ou de D^) qui correspondent à un point situé sur la circonférence de K. Mais les seuls points intérieurs à D, qui correspondent à un point de la circonférence de K sont ceux qui appartiennent à la frontière de Dn, c'est-à-dire les points de la coupure Q. Mais comme cette coupure Q a été arbitrairement tracée, et qu'on peut la changer, le théorème est vrai pour tous les points intérieurs à Di.

En particulier on peut assigner une limite inférieure différente de zéro à la différence i — V sur la circonférence de C'„.

Nous aurions pu, au lieu d'appliquer les procédés précédents au domaine Dj, les appliquer au domaine d,, que nous avons défini plus haut et qui est limité par les lignes L„ et L,, (cf. p. 122). Nous aurions obtenu une fonction V((/,i) qui aurait él(; à d„ ce que V est à D|.

Ces fonctions \{d,i) présentent une grande analogie avec les fonctions Up^o du paragraphe VI; on pourrait les obtenir en effet en partant de V et en balayant une infinité de fois tous les éléments de d„ avant de passer au balayage des autres éléments de Dj.

L'essentiel c'est que

va eu croissant avec /i ; l'application du théorème de Harnack nous apprend alors que la suite des V{dn) converge uniformément vers V, et que [si \" est une dérivée quelconque de V et V'(rf„) la dérivée correspondante de V(o?„)], la suite des V'(rf„) converge uniformément vers V. Posons maintenant

Les intégrales sont prises le long de la circonférence do C'„ ; ds est l'élément u arc de cette circonférence; les dérivées -y-^» — y. — sont prises pai- rapport a

la normale à cette circonférence; il résulte de ce qui précède que la suite desK,, converge vers R; nous poserons alors

On voit que la suite des W„ converge uniformément vers W, cl que la suite des W^ converge uniformément vers W (en désignant par W et W,', une dérivée quelconque de W et de W„).

Nous allons maintenant définir des fonctions qui seront à W et Wn ce que v et :; étaient à u au paragraphe V. Posons, à cet efTet, comme dans ce paragraphe V :

dW >l\\'

d\\ dW

d\ du •

Nous voyons que Z„ et ses dérivées convergent uniformément vers Z et ses dérivées. Les fonctions Z et Z„ sont uniformes, en effet, quand on tourne autour de L^, WelW;, augmentent de 271, tandis que Z et Z„ ne changent pas.

La variable Z„ nous donne la représentation conforme du domaine </„ sur un anneau circulaire; en effet la frontière de dn se compose de L,, et de L„,

sur Lo on a V„ = i , W„ = =r^ , et sur L„ on a W„ = o ; il n'y a pas de difficulté

pour établir ce dernier point puisque les lignes Lo et L„ qui limilenl le domaine dn se composent d'un nombre fini d'arcs de cercle. Il résulte de là que Z„ ne peut prendre plus d'une fois la valeur A et par conséquent que l'intéarale

dl.„ A

prise le long d'un contour fermé quelconque ne peut être égale qu'à zéro ou à 2t7r. Mais nous avons vu rpie Z„ et ses dérivées convergent uniformément vers Z et ses dérivées, d'où il suit que J„ tend vers

ce qui montre que cette intégrale ne peut être égale qu'à zéro ou lir.^ et que Z ne peut prendre plus d'une fois la valeur A.

Donc la variable Z nous donne la représcnlaùon conforme du domaine Dj

sur un domaine plan, à un seul feuillet, c'est-à-dire dont les diverses parties

ne se recouvrent pas mutuellement et qui est limité intérieurement parla cirait conférence de rajon e "^ et extérieurement par une ligne fermée ne pouvant

sortir de la circonférence de rayon i (ce dernier point provient de ce que W

est essentiellement positif).

Il faut maintenant établir que cette ligne fermée, qui limite extérieurement

ce domaine plan n'est autre chose que la circonférence de rayon i. C'est un

problème analogue à celui du paragraphe VIII. Nous n'avons qu'à répéter

l'analyse de ce paragraphe que nous ne reproduirons pas. L'ensemble E des

points du plan auxquels correspond un point de Di n'est plus simplement

connexe, puisque D| n'est pas simplement connexe; mais il est doublement

VI connexe, étant limité intérieurement par la circonférence de rayon e ^ ; celle

circonférence et une courbe fermée tracée dans E limitent alors toujours une

aire faisant partie de E; si donc une circonférence de même centre, a tous ses

points dans E, il ne pourra y avoir à l'intérieur de cette circonférence aucun

point de l'ensemble Ei des points du plan extérieurs à la circonférence de

rayon e "^ et n'appartenant pas à E.

En s'appuyant là-dessus on définira comme au paragraphe Vlll la fonction auxiliaire de Osgood cp(tv).

Nous prendrons ensuite

/ = A log ■

le coefficient A étant assez grand pour que t soit plus grand que ^ > c'esl-à-dire

que W„ le long de la circonférence de rayon e " qui limite intérieurement E. Le reste de la démonstration se poursuit comme au paragraphe VIII et l'on arrive à la même conclusion : tout point q de la frontière de E est sur la circonférence de rayon i .

Donc la fonclion L nous donne la représentation conforme de D, sur un anneau circulaire.

Nous avons ainsi :

i" Le domaine Di applicable sur un anneau circulaire; 2" L'élément C'„ qui est un cercle.

Ces deux domaines onl une partie commuue o et leur ensemble forme le domaine

On peut alors appliquer un lliéoréme eonnu de M. Scliwarz el conclure que l) est applicable sur un cercle. La fonclioii de Grecn m(D, O) existe.

Où dans le raisonnement qui précède, avons-nous été amenés à supposer que la fonction V ne se réduit pas à une constante égale à i; c'est que si V se réduisait à i , la quantité R serait nulle. Ce qui rendrait la démonstration illusoire. Supposons donc que V ne se n'uluit pas à i, je dis que K ne sera pas nul. Nous avons en ellel comme nous riiv<ms vu plus liaul, une limite siipi'Tieurc de \ , [)lus petite que i sur la circonférence C,,, c'est ce que nous avons expliqué plus haut, soit A celte limite; soit alors T une fonction harmonique dans le domaine ô, se n'^diiisant à i sur L,, el à A sur la circonférence C', ; on aura

as.

et l'intégrale du second mciiiLre n'est pas nulle.