XIV. — Seconde démonstration

On peut arriver au mémo résultat d'une fac^on plus simple par une autre voie. Observons d'abord ([ue nous pouvons supposer que la ligne L,,, qui limite Di se réduit à une circonférence concentrique àC'„. En eflet rien ne nous oblige à prendre pour limite de Di, les frontières de divers éléments de D, puis(jiie ces éléments ont été tracés sur D d'une façon très arbitraire el qu'on aurait pu remplacer D par un domaine équivalent au sens du paragraphe II. Si nous avions supposé plus haut que L,, est une circonférence, plusieurs des raisonnements précédents auraient pu être simplifiés.

Soil O' le centre commun de C'„ el de L,,, Tu le rayon de L,,, /■, celui de C',, /■ la dislance d'un point quelconque à O'. Considérons la f(jnction V, elle est égale à i sur L,,, et sur C„ elle est < A <; i; je dis que nous pouvons assigner une limite inférieure à la dérivée

dV dr H. P. - IV. 17

l3o UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

en un point quelconque de Lo; celte expression est d'ailleurs essentiellement positive; et en effet cette limite inférieure est

/•O log -;-

Je l'appellerai q.

Soit ensuite à l'intérieur de Lo,

= log-.

Nous aurons sur Lo,

Construisons alors une fonction U satisfaisant aux conditions suivantes : i" Dans D| ou a

a" A l'intérieur de Lo on a

3" Sui- L,i on a

qr„ <]r„

Considérons deux points très voisins de L„, l'un à l'extérieur, l'aulre à riatt''rieur : au premier on aura

( — \ - Zi '^ •> -Lau second on aura

et par conséquent

ce qui veut dire que la fonction Ll, harmonique dans Di et à l'intérieur de Lq, présente sur L» une discontinuité correspondant à des « niasses génératrices » posilii-es.

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l3l

Cela pos('. je dis que la fttnclion de Green

M(D, O') existe; formons en eilel par balayages successifs les foiiclions

elles admellent une masse 4- i en O', el en oulre des masses génératrices qui sont toutes négatives. La dillérence

n'est plus discontinue en O' et comme en dehors de O' le potentiel U n'admet que des masses positives, el ii„ que des masses négatives, la diilérence U — u,i ne peut avoir que des maxima, el pas de miiiiina; elle est d'ailleurs positive pour tous les points qui n'appartiennent pas aux ('•[('■ments qu'on a déjà balayés; car avant d'obtenir u„ en ces points on a

On a donc dans tout le domaini' D

ce qui veut dire que la suite des u„, constamment croissante, lend vers une limite finie.

On aurait pu évidemment, avec (pielques changements, raisonner de la même manière sans supposer que Lu est une circonférence, mais cela n'a pas d'intérêt.

Il résulte de là par les raisonnements des paragraphes V, VI, VII et Mil que le domaine D est rcprésentable sur un cercle.