PROPRIETE DES FONCTIONS UNIFORMES

sera discontinu si l'on peut diviser le plan ou une partie du plan en régions Ro, Ri, .... Ri, . . . telles que /,(-) parcoure R,: quand c parcourt Ro, cl la fonction uniforme F(~) admettra ce groupe si l'on a identiquement

Gela posé, soit un groupe discontinu quelconr|iie; envisageons les deux séries

Dans ces deux séries, m est un entier plus grand que i ; H et Hj sont les algorithmes de deux fonctions rationnelles quelconques.

Ces deux séries seront convergentes sans que leur somme soit altérée quand on change l'ordre des termes; elles définiront deux fonctions uniformes de x;, jouissant de In [jropriété suivante :

La fonction

Qiz)

sera donc uniforme et jouira de la propriété suivante

\nj\(.z)] = ¥{z),

c'est-à-dire qu'elle admettra le groupe proposé.

// existe donc une infinité de fonctions uniformes admettant un groupe discontinu donné.