IS
Elle représente au facteur — 2- près, les niasses négatives que les balayages ont amenés sur L; la masse négative totale étant — 1 , on a
Supposons d'abord
je dis que dans ce cas V n'est pas conslaiumenl égale à 1 .
En elFet envisageons le domaine d,, limité par L„ el Lu et imaginons (|ue O fasse partie de ce domaine, ce qui arrivera pourvu ijue /i soit assez grand. Ecrivons simplement u au lieu de m( D, , U) el V„ au lieu de \ {d„ ) ; nous aurons la formule de Green ;
Dans celle formule V" est la valeur de V„ en O; l'intégration est étendue
à tous les éléments ds de la frontière d'un domaine contenant O ; les dérivées -y
représenlenl les dérivées estimées suivant la normale à celte frontière, cette normale étant dirigée vers l'extérieur.
Nous pouvons appliquer celte formule au domaine d,i dont la Irontière se compose d'un nombre fini d'arcs de cercle, de sorte que toutes nos fonctions s'y comporlenl réguliéremenl.
.Sur L., on a
Sur \^n on
tt'/
UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l33
On a donc
.(rX='^'"' X-^"' ir
d'où
■i::V,';<Il; on a donc à la limite
V" élanl la valeur de V au point O, el H <; 27r
La foiicliou V n'est donc pas conslaimnont égale à i , ce qui permet d'appliquer les démonstrations des deux paragraphes précédents et de conclure que 1) est représenlable sur un cercle.
Supposons maintenant H = 27:.
Dans ce cas, je dis que le domaine D, est représenlable sur un cercle.
En effet continuons à écrire u au lieu de ;<(Di, O) et déduisons-en les fonctions V el z comme au paragraphe V. Bien f(ue le domaine D, ne soil pas simplement connexe, la fonction j sera uniforme, et en effet quand on tourne autour de l>o, v augmente de H, c'est-à-dire de 27r, ^ est multiplié par e-''^ el ne change pas.
A chaque point de D,, correspond donc un point du plan des :; et ce point est situé à l'intérieur du cercle F de centre () et de rayon i. Il faut voir maintenant si la fonction z ne peut pas reprendre plusieurs fois la même valeur.
Reprenons les notations du paragraphe XIII en posant
W et W'„ avant même sens que dans ce paragraphe XIII.
Les conclusions précédentes subsisteront, c'est-à-dire que la varialile /.„ donnera la représentation conforme du domaine d„ sur un anneau circulaire,
compris entre les deux circonférences concentriques de rayon i ete '^". Seulement dans le cas qui nous occupe, K,j qui va constamment en décroissant, tend vers zéro, el l'on a K =; o, V ^ i , W = ao. Je dis que K„ va constamment en
lJ4 UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.
décroissant avec n; et en effet \ {d,,) va constamment en croissant, sauf sur L^ ou elle reste égale à i ; il en résulte que sur L„
dF-'
et par conséquent K,i vont en décroissant.
Gela posé, considérons u{dn, O) comme fonction de Z„. C'est une l'onction
harmonique dans l'annean circulaire ' i, e "'■ j , sauf au poinlcorrespondantàO où elle devient logarithmiqucment inlinic, et qui s'annule sur les deux circonférences qui limitent cet anneau. C'est donc le logarithme du module d'une fonction douhlemenl périodique de troisième espèce par rapport au logarithme de Z„.
Je précise; considérons un sj'stème de fonctions doublement périodiques
admettant pour périodes ■j.ir. el~, de sorte que si F(logZ„) est l'une de ces
fonctions on ait
!• ( log Z„ ) = V ( log Z„ + 2 ( î:) = F ( l..g Z„ + '^^ ■
Nous pourrions les considérer comme des fonctions de Z„, mais il \audra mieux poser
de telle façon que | Y„ | = i le long de L„ cl | Y„ | = e *•" le long de L„. Si nous posons alors
F('logZ„) = <I>(Y„),
nous vojons que <^ est une fonclion uniforme île Y„ telle que
<KV„) = <I.(Y„e'*" ).
Mais si nous posons
„(•./„, 0) = Ios|q(y„)y;, I,
il sera une fonction de Iroisiéuie espèce, c'est-à-dire que ce sera une fonction uniforme de Y„ satisfaisant à la condition
il\\„e^") = o.V.(\„)
UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i35
a el ). sont des constanles. Si Y," est la valeur de Y„ qui correspond aupoiiil O, valearque nous pouvons toujours supposer réelle puisque l'argument de Y „ n'est dàterininé qu'à une constante près, la fonction 12 devient infinie pour
el nulle pour
V„= V;|, V„ = ^,",6*^" (m entier positif ou négatif)
Y — — , Y — L fiXr
Elle se réduit à i, pour Y„ = i , et elle est par là enlicrement déterminée par le quotient de deux fonctions 0.
Il est aisé de voir que si nous posons
rduid,,. O) , "" = ~i dr ^^'
on aura H„-< it., 2 7:)i = H — H„=: 2- — H„. On aura d'ailleurs
Lorsque n croît indéfiniment, i — V(rf„) et K„ tendent vers zéro, mais leur rapport reste limite; je ne sais pas encore s'il tend vers une limite finie. En effet la fonction harmonique
estconstammentpositive el elle s'annule sur Lo ; nous pouvons donc lui appliquer
le théorème de Harnack, ce qnl nous fournira une limite supérieure et inférieure
du rapport
V(./„^i)-VCr/„) k„— K„+,
Ces limites s'appliqueront au rapport ou en faisant croître/? indéfinlmenl, au rapport
Ainsi en chaque point du domaine Di, nous pouvons assigner une liinilc supérieure à
lus
Nous pourrions de même nssigner une liniile supérieure à ses dérivées : car si V représente une des dérivées de V, le lliéorémc de Harnack nous fournira encore une limite supérieure du rapport
Cela posé nous avons
logiQ ! = «(./„, 0) + ),
.le dis que quand n croît indéfiniineut, log | i2 1 tend uniformément vers »(Di, O); en cH'ct u(D„, O) tendant uniformément vers m(Di, 0),on peut prendre n assez grand pour que
De plus À tendant vers zéro et log r- restant limité, «n peut prendre n assez grand pour que
). loï
d'où
K(D,, 0)-l..gll2
On démontrerait de même que les d(''rivées de log | i2 | tendent uniformément vers celles de (/(D, , ()), puisque celles de u(d„, O) tendent vers u{Di, O) et
que celles de log r^ sont limitées.
On en conclura que i^ tend uniformément vers :;, et les dérivées de £2 vers celles de •: quand /i croît indéfiniment.
On verrait que dans le domaine d„ la fonction iî peut prendre la même valeur deux fois au plus. Si alors l'on considère deux points O et M du domaine D, et les valeurs correspondantes Y,'| et Y„ de Yn ; nous avons vu que
et log ^ sont limités; nous pouvons donc assigner une limite infé-
loE
vu
' Il
rieure à | Y)) | et à ] Y„ ]. Soit alors M' uu point du domaine (/„ pour lequel il
UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l37
reprenue la même valeur qu'au poinl M, el ^ '„ la valeur correspondante de V„. On dàmontrerail, en se servant de l'expression de il par les séries 0, que quand n tend vers l'infini, el par conséquent K„ vers zéro ( Y„ el Y", restant au-dessus d'une certaine limite), Y'„ tend vers zéro, de sorte que le point M' s'éloignera indéfiniment sur le domaine Dj, il ne pourra par exemple rester dans le domaine <//,, où /> est un nombre fixe plus petit que n. On peut donc prendre n assez grand pour que l'on soit assuré que ii(Y,i) ne prendra pas plus d'une fois la même valeur dans le domaine d,,; mais nous avons vu que Î2( Y,i) tend uniformémenl vers s quand n croit indéfiniment (et qu'il en eslde même pour les dérivées) donc en répétant le raisonnement du paragraphe XIII, on verrait que z ne peut prendre qu'une seule fois la même valeur dans le domaine d,, et par conséquent dans le domaine Dj.
Ainsi soit C le cercle de centre O et de rayon i ; la fonction z nous donnera la représentation conforme du domaine Dj sur ce cercle, de telle façon qu'à tout point du domaine corresponde un poinl du cercle et un seul, el qu'à tout poinl du cercle ne puisse correspondre plus d'un poinl du ilomaine; à un poinl de Ln correspondra un point de la circonférence du cercle et réciproquement.
Nous serons ainsi conduits à répartir les points du cercle C en deux ensembles, l'ensemble E des points auxquels correspond un poinl du domaine, (ensemble dans lequel nous ferons entrer la circonférence dont les points correspondent à ceux de L,,) et l'ensemble Ei des points auxquels ne correspond aucun poinl du ilomaine.
Tous les points do E| sont intérieurs à une circonférence, intéricuie ellemême à la circonférence de rayon i. Les points de la frontière de E, sauf ceux do la circonférence de rayon i, font paiiie de E,. Le domaine E esl doublemoiil Connexe, comme D, dont il (^sl l'image. Si donc nous considérons une courbe fermée tracée dans E, tous les points de Ei seronl intérieurs à celte courbe ou tous extérieurs.
Deux hypothèses sont donc possibles :
1° Ou bien E, se compose d'un >rul poinl;
2" Ou l)ieii E, en contient une infinité; car si Ei conlieiil |)lus d'un point, il ne peut admettre de points isolés.
Soient dans cette deuxième iiypolhéso (j. //i et q-, trois points de E,, le pre- H. P. — IV. ,8
l38 UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.
niier sur la frontière do E. Construisons avec ces trois points les fondions auxiliaires d'Osgood :
Cette fonction l est harmonique dans E sauf en O où elle devient logarithmiquemenl infinie; elle est partout positive et tend vers o (|uand on se rapproche de q. La fonction w est uniforme dans E, parce que toute courbe fermée trac(!'e dans E n'enveloppe aucun des points singuliers q, qi q^ ou les enveloppe tous trois.
On a donc < > w (rf„, O) et par conséquent
ce qui montre que ?<(Di, O) tend vers zéro quand on se rapproche du point q\ on en conclurait comme au paragraphe VIII que le point q doit se trouver sur la circonférence de rayon i. Mais il n'en est pas ainsi puisque tous les points de El sont intérieurs à cette circonférence.
Nous sommes donc ramenés à la première hypothèse, d'après laquelle E( se réduit à un seul point.
Pour nous résumer, la fonction z donne la représentation conforme de Di sur un cercle pointé.
Nous avons donc les deux domaines D, et C'„,, qui ont une partie commune ô, et représentahles le premier sur un cercle pointé, le second sur un cercle. Nous pouvons alors, en appliquant les procédés de M. Schwartz {Monatsberichte de V Académie de Berlin^ octobre 1870, p. 75)2) conclure que le domaine total
D = Di-t-C'o— 3
est représentable sur une sphère pointée.
En résume, un domaine D simplement connexe quelconque est susceptible de représentation conforme soit sur un cercle (paragraphes XIII et XIV), soit une sphère pointée (paragraphe XV).
Si alors nous nous reportons à la fin du paragraphe XII, nous verrons que le premier cas ne peut être que celui où l'arc B'A.' ne se réduit pas à un point, et le second cas celui où cet arc se réduit à un point. On peut donc donner au critère qui permet de discerner les deux cas plusieurs formes entièrement diflé-
UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. iSg
rentes les unes des autres et différentes aussi de celle qu'avait adoptée M. Brodén.
Revenons pour terminer à notre fonction Y„ ; nous avons vu que nous pouvions lui assigner une limite supérieure et une limite inférieure; mais il pourrait encore se faire qu'elle oscille entre ces limites quand n croît indéfiniment au lieu de tendre vers une limite déterminée. Les considérations précédentes montreraient qu'elle tend efTectivement vers une limite déterminée qui est
Zo étant l'affixe du point unique auquel se réduit l'ensemble Ei, tandis que :;'„ est le point inverse de Zo par rapport au cercle C-
ANALYSE
