TRAVAUX SUR LES FONCTIONS M DEUX VARIABLES

AITE PAR H. POINCAHE.

Acta iiiathcmatica, t. ijS. |i. 70-73 (nj3i).

Il semble d'abord que, pour éludier les fonctions de deux variables, il sutlil d'appliquer, sans rien y changer, les principes qui ont servi à établir les propriétés des (onctions d'une seule variable. Il n'en est rien; il y a entre les deux théories des difi'érenccs essenlielles et l'on ne saurait passer de l'une à l'autre par une simple géniW-alisation.

Cette difi'érence apparaît dés (jue l'on considère les polynômes entiers qui sont décomposables en facteurs s'il n'y a qu'une varial)le et ne le sont plus dans le cas conirairc. Je laisserai de côté pour le moment les diflicultés que l'on a éprouvées en voulant généraliser la théorie des résidus de Cauchy, car j'y veux consacrer le paragraphe suivant. J'insisterai seulement sur un exemple qui met bien en évidence les difTérencos dont je viens de parler; c'est l'étude des fonctions méromorphes dans tous le plan, c'est-à-dire des transcendantes qui ne présentent à distance finie d'autres singularité que des infinis.

On sait que M. Weierslrass a démontré que, si une fonction d'une seule variable est méromorphe dans tout le plan, elle peut être regardée comme le quotient de deux fondions entières. Pour arriver à ce résultat, le célèbre

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géomètre de Berlin conslruil uue fouclion enlière qui s'annule pour Ions les infinis de la fonction méromorphe donnée. Le produit des deux fonctions, ne devenant plus infini, est une fonction entière. Pour construire la transcendante en question, il faut considérer séparément les diliérents infinis de la fonction iiK'iouiorplie donnée.

La iniHhode de M. Woierslrass paraît donc, au premier abord, ne pas pouvoir s'étendre aux fonctions de deux variables, dont les infinis sont non plus des points isolés, mais des multiplicités continues, et ne peuvent par conséquent être envisagés séparément. Aussi les géomètres qui tentaient de généraliser le théorème de M. VVeierslrass ont-ils été longtemps arrêtés [32, 67].

J'eus l'idée de tourner la diflicultc en t;énéralisaiit la notion de fonction de deux variables. Soit en ell'et V + AV une fonction des variables imaginaires X + (')• et z -+- it. La partie réelle V satisfera à l'équalion

„ r/2V rh\ ,h\ r/^y

Mais cette condition n'est pas suffisante |)our qiie V soit la partie réelle d'une fonction de nos deux variables. Il faut en outre que V satisfasse aux relations

^'-) 777^ ^ 77?^ = "' 7J71/Z "^ TJTT/t = '^•

Envisageons maintenant toutes les fonctions \' qui satisfont à l'équation ( i) sans être assuj(ttlies à satisfaire aux équations (2). On pourra alors construire une fonction qui remplira celte unique condition (1) et qui de plus admettra une partie seulement des infinis de la fonction méromorphe donnée sans en adineltre d'autres. Cela était impossible au contraire quand celte fonction restait assujettie aux conditions (2).

Pouvant alors considérer séparément les infinis de notre (onction méromorphe, nous n'avons plus tju'à appliquer la méthode même de M. Weierslrass pour construire une fonction e^ qui s'annule pour tous les infinis de la fonction méromorphe donnée et telle que V satisfasse à l'équation (i). On peut même en trouver une infinité. Soient en effet V„ l'une d'elles et G une fonction enlière, c'est-à-dire toujours finie, de x, y, z, t, satisfaisant à l'équation AG=:o; toutes les fonctions V„-|- G rempliront, comme la fonction Vq ellemême, les conditions énoncées plus haut. U reste à faire voir que, parmi ces fonctions, V,|+G, il y en a une qui peut être regardée comme la partie réelle

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d'une fonction de x -j- iy cl de z -{- it, ce qui veiU dire que l'on peut disposer de la fonction entière G, de telle façon que

C'est ce que j'ai fait, démontrant ainsi le théorème suivant :

Si une fonction de deux variables imaginaires est partout niêromorphc, elle sera le quotient de deux fonctions entières. Je suis revenu sur celte même question [190] et je suis ]iarvenu à simplifier considérablement les démonstrations.

En ce qui concerne les fonctions non uniformes, j'ai contribué à l'élude de leurs propriétés dans le voisinage d'un point donné, par les lemmes que j'ai démontrés au début de ma tliése inaugurale. .Supposons qu'une équation

F( Z, .T,, Xo, . . ., x„) = o,

définissant ; comme f(jntion implicite de x,, X'j, .... x,,, soit satisfaite pour le systèuKî de valeurs

et que nous étudions la fonction dans un domaine voisin de ce système de valeurs. Je suppose de plus que dans ce domaine la fonction F soilholomorphe.