Considérons la région hypersphérique dont l'équation est

X- -t- y- -^ z--h t- = 1 el qui a par conséquent pour centre l'origine et pour ra^on l'unité. Je pose

j: = rcosO, v ^ /' siii 0 ros'J^, s = r siii 0 siii 'J/ cns o, < = /■ siii 0 siii tL siii 9. Soient ;, ri, Ç, r quatre quantités liées par la relation

r--l--rr'-t-^--*-T:- = I,

et posons

Ç = cofO', T| =: sin 0' cosil/', ^ = sin 0' siii il' cosœ', t = sin 6' siii i}*' fin ?';

sin2 6' sin i|;' rf9' rf?' rftj/' = f/io'.

Soit i> une fonction quelconque des angles 0, ij/) 9; soit v' ce que devient c quand on y remplace 0, 'ji, (f par G', <]/' et o'. Considérons l'intégrale triple

v' rf io'

étendue à toute la surface hypersphérique. Celte fonction V sera évidemment une fonction potentielle qui sera holomorphe tant à l'intérieur qu'à l'extérieur de la région hypersphérique, mais cessera de l'être sur la surface hypersphérique elle-même. Supposons maintenant que le point x, y, z, t vienne sur cette surface, c'est-à-dire que r se réduise à i ; V se réduira à une fonction Vo de 0, o, et (]> définie par l'intégrale triple

1 f v' (fo)'

la limite de V est toujours V,, quand r tend vers l'unité, soil par valeurs inférieures, soit par valeurs supérieures à l'unité; donc V est une fonction toujours

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. l5l

rfV

continue. Il n'en est pas de même de sa dérivée -3- comme on le verra plus

loin. De plus on peut démontrer que V^ sera holomorphe en Q, 9, et (J/ pour les mêmes valeurs que la fonction v elle-même. La fonction

rf\' r(f"' — r-)v' diit'

nfr "J ( I — îar -h r- )'-

est aussi une fonction potentielle holomorphe à l'intérieur et à l'extérieur de la région hjpersphérique; mais celte fonction présente une discontinuité pour r = I. Elle tend vers tt-c — Vq pour /• ^ 1 — s, c'est-à-dire quand r tend vers 1 par valeurs inférieures à i et vers — tt-c — V,, pour /• = !-{-£, c'està-dire quand r tend vers i par valeurs supérieures à i.

Tout ce qui précède ne suppose pas que i' reste fini; celte fonction peut devenir infinie pour certaines valeurs de 0, cp, di, pourvu qu elle reste intégrable; j'entends par là que l'intégrale triple

c'y dio

(oii /est une fonction quelconque finie de 0', o' et 'h') doit être finie. Ainsi, si A et Al sont deux fonctions holomorphes de 0, 9, ij^) dont les déterminants fonctionnels par rapport à deux de ces variables ne s'annulent pas à la fois, la fonction v pourra devenir infinie toutes les fois que A^.\, = o pourvu que v{X- + A^)'" reste fini, m étant supposé plus petit que i .