Considérons maintenant la fonction suivante

r-')v' dv>'

rif

Cette fonction, d'après ce qui précède, est une fonction holomorphe pour r5 I ; pour r = 1 elle se réduit à :àz i> selon que /• tend vers i par valeurs inférieures ou supérieures à celle limite. Or la fonction c est une fonction donnée quelconque, qui n'est assujettie qu'à être intégrable. Nous savons donc construire une fonction potentielle qui reste holomorphe à l'intérieur d'une région hjpersphérique et qui prend des valeurs données sur la surface de cette région. C'est le principe de Dirichlet étendu aux fonctions de deux variables.

6. Ce qui précède s'applique évidemment à une région hjpersphérique

l52 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES.

quelconque. On peut même étendre, en appliquant directement la belle méthode de M. Schvvarz, le principe de Dirichlet à une région quelconque et en particulier à une région limitée par des portions de surfaces hjpersphériques. Mais il j a une différence essentielle avec la théorie des fonctions d'une seule variable. 11 n'y a qu'une seule fonction potentielle holomorphe u qui prenne sur les limites d'une région donnée une suite de valeurs déterminées, et ciîtte fonction ne satisfait pas en général aux équations

Al u = A-. M = An u = ^lU = o,

de sorte qu'il est impossible en général de construire une fonction de x -\- iy et de ; + it qui n'ait pas de singularités dans une région donnée, et dont la partie réelle prenne des valeurs déterminées à l'avance sur les limites de celte région. C'est là qu'il faut chercher la véritable explication des différences si profondes que l'on observe entre les fonctions d'une variable et celles de deux variables et en particulier do ce fait que l'on ne peut construire une fonction de doux variables ayant quatre périodes quelconques.

Formation des fonctions J".

7. Considérons une des régions que nous avons appelées R" et supposons

Nqu'à l'intérieur de cette région on ait F==-'; N; et D,; étant liolomorphes

en X et en Y.

Jo pose

Je suppose enfui que la région R" soit hypersphérique et, pour fixer les id(''es, je supposerai comme aux paragraphes 4 et 5 qu'elle ail pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Sur la surface hypersphérique qui limite R°, le logarithme de M; se réduit à une fonction de 0, (f el >^ que j'appelle c. Cette fonction est intégrable d'après la règle exposée à la fin du paragrapiie é. Le principe de Dirichlet nous permet donc de former une fonction potentielle.

I r (i — /■•;)i'V/io'

n- J (1 — 2«r-H /■-)qui est holomorphe pour r <^ i et se réduit à ç pour /• ^ i — ■ e.

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. l53

Si nous posons comme plus haul

nous aurons

d'où

du ^d\ d'\

dr " dr dr-

Mais l'équation AV = o peut s'écrire

di- dr

en posant pour abréger

DV = —r, 1- coséc^e -n-T + coséc-0 cosécL -r— - + 2 cotgO -^ -^coséc"0 cotg'^ -tt ,

d'où

dr dr