f/a et SI w est ce que devient -v- pour /■ = i

Mais V,i et par consrquent l)V„ est holomorphe en 0, o, et t]^, toutes les fois que la fonction v l'est elle-même, c'est-à-dire pourvu que l'on n'ait pas à la fois A = Al = o. II en est donc de même de w.

Quand r>i, la fonction u est holomorphe, mais elle se réduit à — v pour /■ := I + £, et est par conséquent discontinue pour /• — i . Quant à la

fonction —ri elle se réduit à dr

p-t-p,(Vo-DV„)

pour r = I -I- £, puisque r -r- se réduit à — tt- i' — Vq d'après le paragraphe 4. Soit maintenant / ce que devient — -j- — pour r = i . Un aura

r/M, r/M,- dMi rf.M, f/M,

dr dx ■' dy dz dt

H. P. — IV. ao

l54 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES.

Ainsi, le produit >i y/A- + A ; restant fini quand A et Ai s'annulent à la fois, la fonction 1 est inlf^grable, et nous pourrons écrire, en appelant V ce que devient 1 quand on y change 0, (p, 'ji en 0', 9', 4'' :

J 1 — 2ar-hr- J i — a

W sera une fonction potentielle analogue à V, et W„ sera holomorphe en 6, tp, ip en même temps que 1, c'est-à-dire toutes les fois que M,- ne s'annulera pas. Définissons maintenant notre fonction .1," ainsi qu'il suit; elle sera égale :

pour r > I à

pour ;• < I à

Quand r tendra vers i soit par valeurs supérieures, soit par râleurs inférieure à i , J" et -^ tendront respectivement vers

!:A^ et 1^ + ^ + ^.

2 2K- 2X- 'ITZ- '171- 1

Ainsi les deux fonctions Jf et —7^ sont continues pour ;• =; i , et elles se

réduisent pour r ~ \ à des fonctions de 0, cp, <]^ qui sont holomorphes pourvu

que Mi ne soit pas nul.

Mais d'après le théorème de M""" de Kowalevskj, il n'j a qu'une seule

fonction analytique F de r, 0, o, <^ qui satisfasse à l'équation AF = o et qui se

réduise ainsi que sa dérivée ^r à dos fonctions analytiques données de 0, cp el 4"

quand on fait r=i. Les deux portions de la fonction J" sont donc la continuation analytique l'une de l'autre, f^a fonction J° satisfait donc bien aux conditions imposées. On peut voir d'ailleurs qu'elle est inlégrable sur la surface hjpersphérique R".

Ce que je viens de dire s'applique évidemment à une région hjpersphérique quelconque.

8. La fonction J" peut se mettre sous la forme suivante. Soient Ç, rj, Ç, t quatre fonctions de m et de p telles que l'on ail identiquement

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. l55

soit 0 une fonction convenablement choisie de u et de f , on peut écrire

S ffu riv

"-Il

i — xy^-h(-r\~y)- + Ci — ^)--<-{- — t')-

rinlégrale double s'élendant aux valeurs de u et de p- telles que le point E, yj, Ç, r soit à l'intérieur de R,".

!). Si une fonction potentielle u est holoniorphe à l'intérieur et à l'extérieur d'une certaine région R; si elle tend vers zéro quand x- -{- y- -\- z- -\- t- ^= rcroîl indéfiniment; si elle est encore holomorphe sur la limite même de la région R, excepté sur une certaine ligne singulière pour laquelle nous ne savons rien; si enfin elle est intégrable sur la limite même de la région R, je dis qu'elle est identiquement nulle.

Je suppose d'abord que la région R soit hjpersphériquc et. pour fixer les idées, qu'elle a pour équation

x--hy--h z--i- t-= I .

Si l'on fait /' ^ i , notre fonction u devient une certaine fonction r de 9, o, ij>, qui par hypothèse est intégrable. Soit i'' ce que devient f quand on y change 0, 9, <\) en 0', cp', ij»'. La fonction c étant intégrable, nous pourrons former les Intégrales suivantes :

-- J (l — iar-\-r-y- J l — lar -h r- J I

Pour r > \ ^ on aura U := — (i et pour r < i , on aura U ^ m; on aura donc pour /•=! + £ :

et pour r := I — c :

^=-..--l(V„-DV„),

Mais la fonction étant holomorphe par hypothèse même pour /• = i , sa dérivée doit être continue, c'est-à-dire que l'on a pour r = i :

J. =-P, V„-DV„ = o.

l56 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES.

Mais alors les deux fonctions polenlielles u et — ''77"' ayant même valeur

sur la surfiico lijpersphérique, seront identiques et l'on aura

Celle identilé entraîne la suivante :

Mais u doil être liolomorphe pour r ^ o, et cela ne peut avoir lieu vu l'idenliU' précédente, que si c et u sont identiquement nuls. c. q. f. d.

10. .le sup|)(jse mainlenanl que la région- U soil la partie commune à deux régions hjpersphériques S et Si, donl j'écrirai les écjuations sous la forme

S = o, Si = o,

de telle sorle que la région II se compose de l'ensemble des points x, y, s, t, qui satisfont à la fois aux deux inégalités

S<o, Si<o.

La région R aura alors pour limites deux portions s et Si des deux surfaces hyperspliériques S et S, ; et par hypothèse noire fonction u pourra cesser d'être holomorphe sur deux lignes singulières /et /i situées respectivement sur s et ii, ma/s sans cesser d'être intégrable.

Considérons une surface hypersphérique i avant pour équation

S -I- Si = o,

et passant par conséquent par l'inlersection des deux surfaces iiypersphériqnes S et Si. Je suppose que s et / soient extérieures à i et que .?i et /j soient intérieures à i; nous pourrons, en faisant jouer à noire fonction u le même rôle que jouait logM; dans le paragraphe 7, construire une fonction Wj, jouissant des propriétés suivantes :

1" Elle sera holomorplie à l'extérieur de -, et par conséquent sur la portion de surface s.

2° \jH différence u — «1 sera holomorphe à l'intérieur de i, et par conséquent «1 ne pourra cesser d'être holomorphe que sur la ligne singulière /, mais sans cesser d'être intégrable.

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. l57

D'après le paragrajjhe précédent la fonction u^ est identiqiiemenl nulle. On verrait de même que la fonction u — Ui qui ne peut cesser d'être holomorplie que sur la ligne singulière li et (jui ne cesse pas d'être intégrable, doit être identiquement nulle. U en est donc ainsi de la fonction u elle-même.

Formation des fonctions J/.

11. Considérons d(!ux régions lijperspliériqucs R° et R^', les deux surfaces hypersphériques S,- et .S/, qui leur servent de limite, et les fonctions J," et J],' correspondantes. Je puis, en faisant jouer à J" le même rôle que jouait logM, dans le paragraphe 7, construire une fonction J,' qui soil liolomorphe à l'extérieur de R," et telle que la différence J° — J,' soil holomorplie à l'intérieur de R". Considérons la région R/ formée par la partie commune à R° et à Wl et limitée par deux portions de surfaces hypersphériques .?, et */, appartenant respectivement aux deux surfaces S,- et S/,. Notre fonction J,' est alors liolomorphe à l'exlérieur de R,' el sa dilférence avec logM, est liolomorphe à l'intérieur de R^,' .

On peut construire de la même manière une autre fonction K' qui soit holomorphe à l'extérieur de R? et telle que la différence J" — R/ soit liolomorphe à l'intérieur de R". Celle fonction est identique à J,', car la dilférence K/ — ,(-' ne peut cesser d'être holomorphe que sur les portions de surfaces s/ et A/, et seulement aux points où M, s'annule. Elle ne cesse d'ailleurs pas il'rlre intégrable. Elle est donc nulle.

12. Considérons maintenant l'ensemble des deux régions R" et RJ et la fonction J,'-|-J" — J,' ; supposons qu'eu un point quelconque intérieur à

l'une des deux régions R" et R^', F se mette sous la forme ! ; je dis que la différence

Jf + J);.— J,' — logllKidl»

est holomorphe.

Eu effet, si le point consid(''ré n'appartient pas à Si ou à s/,, C(;la est évident; mais supposons qu'il apparli(;nne à l'une de ces portions de surfaces, par exemple à 5,; les difTcrences J)J. — -logmodDelJ" — .1/ seront holomorphes d'après la façon même dont ces fonlions J" et J,' ont été construilcs. Il en est donc de même de leur somme .l^-j-J" — J,' — log mod D.

13. On formerait de même les fonctions J,°, J,", J-. Supposons que l'on envisage n régions hyperspliériques Pi,, R", .... R,"; puis toutes les régions R,' formées des parties communes à deux quelconques de ces n régions; puis toutes les régions R,", R,", R,' formées des parties communes à trois, à quatre ou à cinq quelconques de ces n régions hjpersphériques. Formons les diverses fonctions J,", J/ , J;, J,% J/ correspondant à ces diverses régions R", R/, R,", R,", R*. On voit aisément, comme au paragraphe 12, que si en un poiut quelconque

intérieur à l'une des n régions R°, la fonction F se met sous la forme ., > la

fonction

S J,° — IJ,' -+- zr- — SJf -I- SJ,' — log modD

est holomorplie.

Formation de la fonction .

14. Pour former la fonction <I» il suffit d'appliquer, sans y rien changer, la méthode par laquelle M. Weierslrass a démontré le théorème de M. Mittag- Leftler.

Une fonction potentielle U qui ne présente pas de singularité à l'origine peut se développer suivant les puissances croissantes de .r, j', z, t. Si la série ainsi obtenue est convergente, toutes les fois que

r sera le rayon de coiwergence.

Soient £ et s^ deux nombres positifs quelconques, le premier plus petit que i . Soil U,„ ce que devient le développement de la fonction U suivant les puissances de .r, y, z, t quand ou y supprime tous les termes d'ordre inférieur à m. On pùuira toujours prendre m assez grand pour que

modU,,, < i','„

toutes les fois que

On pourra alors trouver un nombre e ■< i et une série do nombres positifs e^^ dont la somme soit convergente. Supposons de plus, ce qui est permis, que l'origine ail été choisie de telle sorte qu'aucune des fonctions Jf n'y présente de singularité, J'^ pourra alors être développé suivant les puissances de t^ y, z, t; appelons K-'^[ ce que devient J^| quand on y supprime les termes de degré

inférieur à «2^. INous supposerons que m'; a été choisi assez grand pour que :

modK'^ <£^;, toutes les fois que

rj étant le rayon de convergence de la série J^j. La fonction

n it n n n

satisfera alors aux conditions énoncées, c esl-à-dire que si dans le voisinage d'un point quelconque on a

la différence

— log mod D

sera holomorphe.

Formation de <I», et de G.

15. La fonction O satisfait a l't'quation A*I> = o ; mais elle ne satisfait pas en général aux équations

A, = Ai '1' = A, '1' = A. 4> = o.

Les expressions Ai<I», Ao»!», AjO, A^O sont dos fonctions potentielles. Je dis qu'elles sont entières. En effet, dans le voisinage d'un point quelconque la fonclion $ — log mod D est holomorphe; il en est donc de même de Ai<t — Al log modD et de A|<I», puisque A, logmodD =: o.

Les fonctions Ai<l>, AjO, A^O, A, sont donc entières cl par conséquent développables suivant les puissances de x, y, z, t quelles que soient les valeurs de ces quantités.

16. 11 s'agit de former une fonction «I>i satisfaisant à la fois aux équatious

A,<P, = Ai*, = Ari<l>, = Al*, = o,

et telle que la différence 4» — «I»i ~ G soit une fonction entière. Pour cela, il suflit de trouver une fonclion entière G qui satisfasse aux équations

\ Al G = Ai*. a, g = A,<J>:

^'' iA3G = A3<I', A4G = A.*.

iGo FONCTIONS DE DEUX VARIABLES.

Je dis que cela est toujours possible. Posons en eilet

Voici la condition pour que G soit une f(jnction entière. Posons

«i -f- /i -I- jO -+- Çf = s,

et considérons un instant s comme un nombre donné. Soit 11^ la plus grande valeur que puisse prendre le module de A,„.„./j.^. G sera une fonction entière si l'expression

tend vers zéro quand s croît indéfiniment et cela quel que soit r. Posons

Ai*= SB,,,.,,.,,.,, — •- . —. —.•, ' ' m ! « ! /) ! q\

<l-m ytt ^J> fif ' ' lui /l '. Ji'. Ij'.

:r"' y" zl' il

' ia\ II'. /i\ q\

^iti ytt -rit ta

' ' in\ n.\ p\ q\

Soit Pj la plus grande valeur que puisse prendre le module de B,,,. „./,.,/, Cni.//./j,'/; D,„. „./,.,/, E„i.„./j.,,; s élanl toujours supposé constant. Le |)i'(nluil

tendra vers zéro quel que soit /■ quand .ç croîtra indédnimcnl, puisque les A, 4» sont des fonctions entières.

Les équations (i) nous donnent

^m.n.iJ.q~'^ i^m—l.ji-^l.p.q = ^' m—l.fi.f.i/j

'^ in.n.p.t/ ~^ A,,,.,,./,— o.y-,--! ^ ^rn./i./'—'^.'/j

1^ ni.lt. p. 1/ -^/,i+) ./( — !./, — l.i/-)-! ^^ ^^ ni,ll — \.p~\ .qi

'^ iii.n.p.f; '^ ^iii—\.n + \.p—\.il^\ ^^ *^in — \ ./i.p—\.i/'

Ï5i nous supposons toujours j constant, nous avons

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES l6l

incoamies qui sonl les A el ^ ■> i équations a résoudre. Mais

nous savons que ces équations sont compatibles, puisqu'on peut toujours satisfaire aux équations (i) en faisant G = . Nous pouvons même nous donner aiijilrairement les p..?+ i coefficients

Nous les prendrons é";aux à zéro. On a alors, comme on le voit aisément,

d'où

Donc G est une fonction entière. Donc «I», est une fonction qui satisfait aux ([iiatre équations A;$i=;o, de sorte qu'on peut trouver une fonction imaginaire "1*1+ \ — ! *I*'| dont elle soit la partie réelle. D'ailleurs 11 est clair que la difTéronce

<l'i -h \ — l'I'', — logD

est partout lioloniorplie.

Le théorème est donc démontré.

!7. Il n'est pas douteux que des considcralions analogues à celles qui précédent ne puissent être très utiles dans l'élude de divers points délicats de la théorie des fonctions de deux \arlablos.

Elles peuvent servir à démontrer le lliéorème suivant : Si Y est une fonction quelconque de X, non uniforme, qui ne présente pas de point singulier essentiel ci distance finie et qui ne puisse pas, pour une même valeur de X, prendre une infinité de valeurs finies infiniment voisines les unes des autres; elle pourra être considérée comme la solution d'une équation

oii G est une fonction entière.